우리는 어떻게, 도대체 왜 수학문제를 틀리는가?

https://pgr21.com/?b=8&n=62820
1년전 수학은 왜 공부해야 하며, 어떻게 공부해야 하는가? 라는 글을 쓴 적이 있습니다. 아래 글은 위 링크글과 연속성에 있는 글입니다. (이후에 나오는 ‘발췌’라는 부분은 모두 위 링크글에서 발췌하였음을 밝힙니다.)

최근, 저는 수학과외를 하고 있는데요. 직장을 다니면서 과외를 병행하는 것이 벅차기도 합니다만, 누군가를 가르친다는 것이 그 힘듦을 상쇄하는 기쁨을 주는 면도 나름 있습니다. 2살, 4살 두 아이의 아빠라 많은 시간을 투자하진 못하지만요.

서두가 길었습니다.

----
과외를 하면서 수학문제를 틀리는 유형이 몇 가지로 압축되더군요.

[1. 몰라서요]

가장 명확한 이유입니다. 우리는 모르기 때문에 수학문제를 풀지 못했고, 틀립니다. 그런데 가만히 들여다 보면 모른다는 말은 세가지 뜻이 있고, 그에 따라 대처 방법이 다르다는 것을 알 수 있어요.

(1) 배운적이 없어요.

이 경우는 가르치면 됩니다. 설명할 것도 없어요.^^

(2) 배웠는데 기억이 안나요.

배웠는데 일부를 잊어버리거나 어려워서 즉시 기억이 나지 않는 경우입니다. 몰라서 틀렸다라고 말할 때 대부분의 경우가 이 유형에 속합니다. 왜 이런 문제가 발생할까요? ‘복습하지 않아서’입니다. 정확히 말하면 배운 것을 자기 것으로 만들지 않아서죠. 복습에서 중요한 것은 ‘배운 후 얼마나 빠른 시간 내에 복습을 하는가’하는 것입니다. 시간싸움이라는 것이죠. 대학교시절부터 2-30여명 과외를 해본 개인적인 경험으로는 새로운 단원을 학습한 뒤 1~2일 내에 복습 및 숙제를 하는 학생들의 경우 성적이 좋았습니다. 다음 과외시간 당일 문제를 풀어오던 학생들에 비해서 말이죠.
[발췌
자신이 ‘안다’는 것은, 그것을 남에게 표현하고 가르칠 수 있을 때 정말로 ‘안다’라고 할 수 있습니다. 아이들을 가르치다보면 그 때에는 다 이해하고 고개를 끄덕이는데, 실제 문제를 접했을 때 멍한 표정을 짓거나 괴로워하는 경우가 많습니다. 결국 몰랐다는 것입니다.
이를 잘 활용하면 더욱 효과적인 공부를 할 수 있게 됩니다. 옆 친구에게 내가 알고 있는 것을 가르쳐주거나, 일대일 과외 등의 방법으로 선생님에게 내가 이해한 것을 다시 설명하면 본인이 생각한 것보다 엄청난 성과를 볼 수 있습니다. 왜냐하면, 설명하고 가르치기 위해서는 본인이 다시 본인의 것으로 체득화하는 과정이 필요하기 때문입니다.]


(3) 배운 것을 어떻게 활용해야되는지 모르겠어요.
즉, 응용을 하지 못하는 경우입니다. 인수분해 공식을 외워보라고 하면 다 외우는데, 막상 서술된 문제를 풀어내지 못합니다. 수학은요. 단순히 1+1=□ 라는 문제를 주지 않습니다. ‘사과 1개를 가지고 있는데 친구가 하나 더 주면 내 손에는 사과가 몇 개일까요?’라고 문제를 제시합니다. 이 서술된 문장을 풀어낼 때 수학의 공식을 사용하게끔 하죠.
수학능력시험 즉 수능에서는 이 응용력을 시험합니다. 어려운 문제일수록, ‘응용’을 잘 하는가의 싸움입니다. 이를 잘 해결해내는 방법은 2가지가 있습니다. 첫째는 배운 것을 머릿속에 잘 정리하는 것이고, 둘째는 많은 유형을 접하는 것입니다.

전자를 저는 ‘서랍정리’라고 이야기하는데, 이전 글의 일부를 발췌합니다.
[발췌
수학의 문제는 다음의 예와 같습니다. “당신의 집에서 ”스키장갑, 후시딘, 보온병, 전분가루, 드라이버, 보험계약서류, 스타1CD’을 찾아서 가져오십시오. 제한시간은 20분입니다.“ 당신은 위 물건 중 어떤 것은 분명한 위치를 알고 있지만, 주방기구와 같은 낯선 물건을 찾는데에는 애를 먹을지도 모릅니다. 어디에 두었는지 빠르게 기억해서 정확히 뒤져보고 찾은 다음 그것을 꺼내야 하는 것, 이것이 수학문제를 푸는 것과 같습니다.
수학문제의 풀이는 다음의 3단계를 거칩니다. (암기-기억-인출)-(변환-활용)-(문제풀이)입니다. 먼저 이 문제는 내가 외운 공식중에 무엇을 사용해야 하는가를 빠르게 캐치하는 것이 시작입니다. 식이 아닌 글(혹은 그림)으로 제시된 어떤 문제에 필요한 공식은 인수분해인데, 집합단원의 공식을 계속 떠올린다면 당신은 그 문제를 해결할 수 없습니다. 두 번째는 그 문제를 식의 형태로 변환할 수 있어야 합니다. 인수분해를 사용하는 것은 알겠는데, 도대체 변수x를 무엇으로 둘 것인지 인수분해 공식중에서도 무엇을 활용해야 할 것인지 결정해야 합니다. 여기까지 끝나면, 마지막 단계는 그 식을 풀어나가면 끝입니다.
결국, 수학의 문제는 ‘내가 배운 것을 빠르게 기억해내고’, ‘기억해낸 것을 빠르게 대입하고 응용하여’, ‘수학적 방법으로 풀어내는 것’이라고 할 수 있습니다.]

후자는 많은 유형을 접해보는 것인데, 이에 대한 의견은 사람마다 차이가 있습니다. 많은 문제집을 풀어보는 것이 좋다고 생각하는 분도 있는 반면, 하나의 참고서(문제집)을 파는 것이 좋다고 생각하는 분도 있습니다. 저는 한 문제집의 문제를 반복해서 푸는 공부방법이 좋다고 생각합니다. 역시 이전 글을 발췌합니다.
[발췌
같은 문제를 반복하고, 틀린 문제를 다시 한번 푸는 것이 알고 있는 개념을 본인의 것으로 체득화하는데 도움이 됩니다. 여려 유형의 문제를 대비해야하지 않는가 라는 반론이 있을 수 있는데, 최근 시중 수학서적은 상당한 퀄리티를 가지고 있어서, 기본서 한 권으로 거의 대부분 유형의 기본골자를 체험하는데 전혀 무리가 없습니다. 둘째, 장기간의 기억력을 위해서는 어려운 문제에서 쉬운 문제로 풀이하는 것이 효과적입니다. ‘어떻게 공부할 것인가’라는 책에서의 실험결과가 이 부분에 대해 잘 다루고 있는데, 우리가 알고 있는 착각 – 쉬운 것부터 공부한다 –으로부터 벗어나, 장기적 학습에 있어 어려운 문제를 두 번째 풀면서 쉽게 느끼는 경험이 필요합니다.
그렇다면, 다량의 문제집을 푸는 것이 효과적일 수 있다는 개인적 경험에 의한 반론이 분명 있습니다. 이 부분에 대해서도 인정할 수 있는 두 가지 경우가 있습니다. 첫째, 기본기가 확실하여 다량의 문제를 푸는 것이 본인의 학업성취도에 도움을 주는 경우(일반적인 성적상위생) 둘째, 수능 및 모의고사를 앞두고 본인의 실력을 체크해야 하는 경우입니다. 이를 제외하고 일반적인 스타터학생이나 중하위권 학생들은 1개의 문제집을 마스터하는 것이 훨씬 효과적이라고 반복해서 말하고 싶습니다.]


[2. 계산실수 했어요]

제일 안타깝지만, 반드시 발생하고 빈번한 유형입니다. 아는데 틀렸어!! 억울하죠. 학교시험에서 실수해도 눈물나는데, 수능에서 계산실수로 몇 문제 틀리면 피눈물 나죠.

이 유형도 2가지로 나눠서 살펴보겠습니다.

(1) 성격이 급해요.(혹은 어수선해요)

경험으로 말씀드려보면, 계산 실수는 ‘성격’에 밀접하게 기인하는 것 같습니다. 원래 정리정돈을 잘하거나 깔끔한 학생들은 그렇지 않은 학생보다 계산실수의 빈도가 확연이 낮습니다. 그렇지만 계산실수를 줄이기 위해 ‘네 성격을 고쳐!’ 라고 인과를 바꿔 학생들을 다그칠 수는 없습니다. 성격이 급하거나 어수선한 것도 결국 자신의 필요에 따라 보완해야 할 점만 알려줄 수 밖에 없죠.

(2) 문제풀이 과정에서 실수했어요.

수학문제를 푸는 학생은 크게 두가지로 나뉩니다. 답안지의 풀이과정처럼 논리적으로 문제풀이를 적어 나가는 학생이고  문제집 혹은 시험지 온 여백에 난잡하게? 적으며 문제를 푸는 학생입니다.
x=3 일때
2y-5=3x+2
2y=3x+7
2y=9+7=16 (x=3대입)
y=8
과외하는 선생님의 입장에서는 위와 같이 문제풀이를 한 학생은 문제가 틀려도 어디에서 틀렸는지 그 지점을 명확히 알 수 있지만, 후자의 학생은 지도할 방법이 없습니다.

수학은 논리적 사고과정입니다. 옛 철학자들은 모두 수학자였던 것처럼, 수학은 논리위에 집을 지은 학문입니다. 그래서  논리적 사고과정이 질서가 없다면 좋은 추론(답)을 이끌어내기 어렵습니다. 단호히 말하지만 계산실수를 막는 유일한 방법은 모든 문제의 풀이과정을 자세히 적어 내려가는 연습이라고 말할 수 있습니다.
[발췌
공부를 잘하는 사람은 풀이과정도 완벽합니다. 학생의 수학성취도를 평가할 때 직접적인 테스트 외에도 이를 구별하는 방법이 있는데, 학생이 풀었던 문제집을 살펴보는 것입니다. 문제집의 상태만으로도 그 학생의 등수를 어림짐작 할 수 있습니다. 문제집의 비좁은 공간에 차분히 풀이과정을 적어놓은 학생이 있는가 하면, 넓은 여백의 공간이 있음에도 도대체 어떻게 답이 나왔는지의 경로를 알 수 없는 친구들이 있습니다.
풀이과정이 필요한 이유는 내가 어디서 틀렸는지의 그 지점을 알 수 있기 때문입니다. 내가 문제를 푸는 과정에서 어느 한 지점에서 풀이가 막히거나 오류를 범할 가능성이 많은데, 풀이과정이 난잡하면 그 중요한 지점을 알 수 없습니다. 기억하세요. 풀이과정이 깔끔한 사람이 다 공부를 잘하는 것은 아니지만, 공부를 잘하는 사람은 반드시 풀이과정이 깔끔하다는 것을요.]


[3. 시간이 모라자요]

제가 오늘 글을 적고 싶었던 이유입니다. 우리는 일반적으로 문제를 틀렸다고 하면, 몰랐거나 실수했다 라고 대답합니다만.. 반드시 기억해야 할 것이 하나 있습니다. 수학문제는 정해진 시간 내에 풀어야 한다는 것을요. 여러분이 아무리 어려운 한 문제를 한시간 동안 고민하여 풀었다해도, 시험이라면 나머지 19개의 문제는 틀린 것과 마찬가지입니다. 그리고 우리는 시험으로 평가를 받는 시대에 살고 있죠.

단언컨대, 시간 배분을 효율적으로만 사용할 수 있다면 학생의 수학점수는 약 10점정도 상승한다고 자부합니다. 중상위권 학생의 경우에는 60점이 70점으로, 80점이 90점이 되는 기적을 경험할 수 있을 겁니다. 제 개인적으로 수학과외 시 학교내신 시험을 앞두고는 중점을 두며 강조하는 부분도 이 지점입니다. 시간 배분을 어떻게 실패하는가? 는 아래 두 가지 유형으로 나눌 수 있겠습니다.

(1) 이 문제는 풀고 말 거야

잠시 시뮬레이션을 돌려보겠습니다. 길동이의 수능시험이 시작되었습니다. 쉬운 계산문제 1,2,3,4번이 지나갔습니다. 5번에서 맞이한 문제는 약간의 응용력이 필요한 문제군요. 풀 수 있을 것 같은데 풀릴 듯.. 잘 풀리지가 않습니다. 여기에서 길동이는 두 가지 선택을 할 수 있습니다. 6번으로 넘어갈 것인가. 아니면 계속 붙잡을 것인가.

무슨 이유를 막론하더라도, 어떤 문제가 자신에게 어렵다면 잠시 보류하여야 합니다. 왜냐하면, 어려운 문제는 더 많은 시간을 요구하기에 충분히 생각할 시간을 확보할 때 풀어지는 확률이 높기 때문입니다. (모든 문제가 어렵다고 하면 그건 다시 1번 몰라서 챕터로 돌아가 학습해야겠지요.)
30문제 90분이면 1문제 당 3분입니다. 아니, 답안지 마킹까지 생각하면 더 적겠지요. 쉬운 문제는 2분컷, 어려운 문제는 3분컷으로 예상하고 어려운문제를 만났을 시 1분 내에 판단하고 다음문제를 풀어가야겠다는 기본적인 마인드를 가지고 시험에 임하여야 하겠습니다.

(2) 순서대로 풀 거야

사람은 어려운 난관이나, 순간적으로 일이 닥칠 때엔 눈앞의 일들을 먼저 처리하곤 합니다만 그럴 때일수록 잠시 앉아 무엇을 먼저 할 것인지 중요한 것은 무엇인지 고민해야 합니다. 그 때, 전체적인 일의 시간을 효율적으로 사용할 수 있습니다. 최근 어떤 뉴스기사에서는 출근해서 10여분간 ‘오늘 내가 무엇을 해야 할지 고민하고 일을 시작’하는 사람이 그렇지 않은 사람보다 몇 시간 효율적으로 일 한다는 결과가 있더군요.

저는 위 논지를 지지합니다. 수학문제를 받았다고 가정합시다. 전체적으로 문제를 한번 빠르게 훑어보는 것이 시간을 허비하는 일일까요? 저는 시간을 잘 사용하는 것이라고 생각합니다. 훑어보면서 직감적으로 어렵겠다 혹은 쉽겠다 하는 문제를 번호 위에 간단히 체크해 두는 것은 적금과 같은 개념이라고 봅니다. 잠시 저금해두었던 시간이 나중에 이자로 치환되어 나에게 주어질 것이니까요.

저는 수능 치기 3개월 전 언어영역을 풀 때에 문학 문제를 먼저 풀고 비문학 문제를 풀었던 기억이 있습니다. 비문학은 무조건 처음 보는 지문이기 때문에 접근성이 어렵고, 이해하는데에 시간이 많이 걸릴 것이라는 단순한 이유 때문이었습니다. 그 때부터 언어영역의 점수는 상승했죠.
모든 문제를 1번부터 풀어나가는 것은 모든사람에게 정답은 아닙니다. 쉬운 문제부터 풀어나가고 어려운 문제는 많은 시간을 가지고 풀어보는 것이 시간 활용에서 중요한 핵심중의 하나입니다. 어쩌면 우리는 이런 사실을 중요치 않게 생각했는지도 모르겠습니다.


이상, 우리가 왜 수학문제를 틀리는가에 대해 3가지 정도로 탐구해보았습니다.


[몰라서, 실수해서, 시간이 없어서 틀리곤 했던 우리는 그냥 다음에는 공부 열심히 하면 성적이 오르겠지 하며 애써 무시했지만, 이제부터의 우리와 우리의 자녀들은 이 사실을 통해 조금 더 자신의 습관을 다듬고 보완해서 좋은 결과를 얻기를 바랍니다.] 그런 목적에 이 글이 조금이라도 보탬이 되었으면 좋겠다는 마음으로 글을 마칩니다.