|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
이전 질문 게시판은 새 글 쓰기를 막았습니다. [질문 게시판]을 이용바랍니다.
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
11/02/25 17:46
1~4 전부 그냥 똑같이 1/2 아닌가요... 무엇이 고민을 일으키는지 도무지 모르겠네요.
물론 저는 능력 부족으로 명쾌하게 설명할 수 없으므로 자세한 설명은 생략한다...
11/02/25 18:07
x와 2x의 카드가 있다고 했을 때
최초 선택으로 얻을 수 있는 카드의 기대값은 1.5x입니다. 카드를 까서 얻을 수 있는 정보는 기대값과 아무 의미가 없는 노이즈입니다. 이 부분을 핵심적으로 설명드려야 할 텐데요, 카드를 까서 나온 금액을 a라고 했을 때, a는 1/2의 확률로 x이거나 2x입니다. 즉 1.5x입니다. 그런데 a는 1.5x가 아니라 x이거나 2x입니다. 따라서 a는 구체적인 어떤 금액이지만 여전히 변수일 뿐입니다. 그것은 판단이나 기대값에 아무런 영향을 끼치지 못합니다. 카드를 바꿀 경우 1/2의 확률로 돈이 2x가 되며 1/2의 확률로 돈은 1x가 됩니다. 이 경우 기대값은 1.5x입니다. 내가 선택한 카드는 확률적으로 1.5x이고 바꾸었을 때 얻을 수 있는 돈도 1.5x입니다. 이 부분은 강우량의 문제와 같습니다. 가령 내일 비가 올 확률은 50%이라는 것.
11/02/25 18:19
아마 이 설명만으로는 만족하실 수 없을 것 같지만 저는 이만 저녁먹으러 나가야하니 생각한걸 정리해보고 나갑니다.
50원, 200원으로 기대값을 계산하는 것 자체가 잘못된 논리입니다. 카드 뒤에 100원이 적혀있는 경우 표본공간은 50,100 이거나 100,200 입니다.
원래 카드 뒤에 50원, 100원이 적혀있는 경우 200원은 표본공간의 원소가 아니기 때문에 200원으로 기대값을 계산할 수 없고 100원, 200원이 적혀있는 경우도 50원이 표본공간의 원소가 아니기 때문에 계산이 무의미합니다. 즉 선택한 카드의 뒷면에 100원이 적혀있는 이상, 50원과 200원이 같은 표본공간의 원소가 될 수 없기 때문에 그 둘로 기대값을 계산하는 것은 확률론적으로 무의미합니다. 논리에 대한 명쾌하고 직접적인 반박을 원하시는 것 같지만 수학적으로 모순을 이끌어내기는 불가능하다는 것이 제 생각입니다. 이상이 제 답이고요. 요약하자면 : 논리의 시작 자체가 확률론적으로 논의될 수 없는 출발이다. 리플 달아주시면 다녀와서 밤이나 내일 아침 확인하겠습니다.
11/02/25 18:30
전 수학 같은 건 잘 모르지만 이해가 더 쉽게 될까 해서 다른 예를 생각해봤어요.
만약에 제 전재산을 1/2확률로 2배 또는 절반으로 만들어 주는 기회를 준다면 전 무조건 참여할꺼에요. 만약 제 전재산이 100만원이라면(실제로는 더 적지만;) 전 이겼을 경우 100만원을 버는 거고 졌을 경우엔 50만원밖에 손해가 없으니까요. 즉 100만원을 투자했을 경우의 기대값은 50만+200만/2 = 125 만원이기 때문이에요. (x+2x)/2 = 1.5x 그러나 제 전재산이 1/2확률로 2배 또는 절반이 되는 게임에 '이미' 참여했고 승패를 모르는 상황에서 바꿀 수 있는 기회를 준다면 전 내키는대로 할꺼에요. 왜냐면 바뀐 상태의 제 재산 a의 기대값은 이미 125만원이고 바꿀 경우의 기대값은 50만원일 경우가 절반, 200만원일 경우가 절반이므로 똑같이 125만원이기 때문이에요.
11/02/25 18:39
다시 처음부터; 윗분들이랑 같은 얘기긴 한데
카드를 열어서 a라는 값을 얻었을 때, 그것을 각각 1/2 확률로 1/2 또는 2배로 바꿀 수 있다면 그 기대값이 1.25a가 되는 것은 맞습니다. 그런 슬럿머신이 정직하게 운영된다면 자선사업일테고 금방 망하겠지요. 그런데 이 경우에는 얘기가 다릅니다. 확률은 어디까지나 (경우의 수/전체 경우의 수)입니다. 이 카드 변경의 경우는 한 장의 카드를 뽑은 그 상황에서 두 가지 경우의 수가 있는 게 아닙니다. 바꾸었을 때의 결과는 정해져있고, 다만 그것을 모를 뿐이지요. 즉 100원을 뽑아 손에 들고 있을 때 1/2 확률로 50원이거나 1/2 확률로 200원인 게 아닙니다. 물론 플레이어에게는 그렇게 경험될 수 있겠지만, 전체 사건을 보았을 때는 그렇지 않습니다. 두 사건은 균등하게 발생할 수 있는 같은 계열에 있지 않습니다. 일종의 분기입니다. 그 백원은 a조의 승자이거나 b조의 패자 둘 중의 하나인 셈입니다. 따라서 둘을 더해서 평균 기대값을 얻을 수 없습니다.
11/02/25 18:54
문제의 핵심을 추려서 단순화해보도록 하겠습니다.
카드의 뒷면에 금액이 적혀있는데, 이 중 한 개는 다른 것의 두배의 금액이 적혀 있다. 철수는 어떤 카드를 선택하고 금액을 확인했다. 그리고 철수는 카드를 바꾸는 것이 자신에게 이득이라 주장했다. 영희의 입장에서 철수를 논리적으로 비판하시오.
11/02/25 19:19
많은분들의 답변으로 상당부분 이해가 되고 있는것 같은 느낌이 듭니다 ^^..
저두 이제 퇴근하는데.. 주말동안 조용히 생각을 되짚어서 정리해보면 왠지 클리어해질것 같군요.
11/02/27 03:49
츄츄호랑이님의 답변을 인용해서 설명하자면
나에게 100만원이 있다. 여기 카드 두장이 있다.(한장은 1이 다른 한장은 2가 적혀있다.) 하나를 선택해서 1이 나오면 내가가진돈의 2배를 주고 2가 나오면 내가 가진 돈은 반으로 준다. 당신은 이게임을 할것인가? 라고 묻는다면 당연히 저는 합니다. 기대값이 125만원이기 때문이죠. 2장의 카드가 있다. 한쪽에는 다른쪽에 적힌 금액의 2배가 적혀있고 선택한 카드에 적히 금액을 준다. 하나를 선택했고 거기에 100만원이 적혀있다. 카드를 바꾸 기회를 준다. 바꿀것인가? 라고 묻는 다면 저는 할 수도 있고 안할 수도 있습니다. 기대값에 차이가 없기 때문입니다. 김연 아이유님이 헷갈려 하는 이유는 두가지 경우가 같은게 아닌가 하는 생각 때문입니다. 글에서 주어진 상황은 50만원이 적힌 카드와 200만원이 적힌 카드2장이 뒤집어져 있고 그중에 내가 하나를 선택해서 거기에 있는 금액을 주는 게임에서 기대값을 구하는 상황이 아님에도 불구하고 교묘하게 그런 상황을 가정하고 생각하도록 유도하는데에 함정이 있다고 생각합니다.
11/02/27 03:55
애초에 기대값은 75만원이었던지 150만원이었던지 이미 카드가 깔리는 순간 정해져 있었습니다. 다만 내가 몰랐을 뿐이지.
따라서 카드를 바꾸던 바꾸지 않던 정해져 있던 기대값은 변하지 않습니다. 다만 나의 선택에 의해 내가 가져갈 수 있는 금액이 변하는 것입니다.
|
||||||||||