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11/10/12 16:55
친구 말이 맞습니다. 본질적인 이유는 A를 제곱해서 대각원소가 양수인 대각행렬이 된다면 A는 실수에서 대각화가능하기때문입니다.
계산해보시면 대각원소가 양수라는 조건이 정확히 A의 고유값을 계산하는 방정식이 실근을 가질 조건과 일치하게됩니다.
11/10/12 17:25
중복도를 가진다고 가정하고 계산하기 편한 좌표로 행렬을 변환하고 방정식을 만들어풀면, 초등적인 계산으로 서로다른 실근을 가져야하는데 모순을 일으킴을 증명할수도 있습니다.
하지만 증명과 이해는 별개의 문제라서 행렬을 선형변환으로 이해하여 기하학적으로 접근하는게 좀더 감각적으로 빠르게 현상을 이해할수있습니다. 중복도가 있는 행렬에다가 벡터2개로 만들어지는 사각형을 넣어 변환후의 움직임을 추적하면, 사각형의 한변을 고정하고 인접한 남은한변을 움직여서 평행사변형으로 찌그러뜨리는 식의 변환을 하게됩니다. 그런 변환을 제곱작용하여도 그것이 실수대각행렬은 절대로 될수없습니다. 실수대각행렬이 되려면 고유벡터가 존재해야하는데 그러러면 행렬로 변환후에 하여도 방향이 변하지 않는 벡터-고유벡터-가 2개존재해야하는데 그것이 불가능합니다. 행렬에 의하여 어떻게 벡터가 움직이는지 잘따져보시면 이해하기 그리 어렵지 않을겁니다.
11/10/12 17:45
생각해보니 2차원이 아닌 일반차원인 경우에는 제 풀이를 이용하려면 Jordan -canonical form을 적용해야할듯 하군요.
그거 안써도 될것같으니 좀 쉬운 풀이 생각정리해서 쪽지 드리겠습니다.
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