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08/09/26 13:29
n^3 + 1 = (n+1) (n^2 - n + 1)
n이 2 이상이라면 n+1과 (n^2 - n + 1)이 각각 3 이상의 정수이므로 n^3 + 1은 소수가 아니다 -> n은 1 이하의 정수 n <= 0이면 n^3+1 <= 1 (소수 아님) -> n = 1, p = 1^3 + 1 = 2
08/09/26 13:44
수학전공도 아니고 정수론은 전혀 모르지만, 문제를 보니 쉽게 증명이 가능할 것 같은데요...
문제의 역을 써보면 2가 아닌 모든 소수 P는 n^3+1의 형태를 갖지 아니한다. (문제에는 안 써 있지만 n이 자연수라고 보겠습니다.) 귀류법을 써보면요.. n^3+1의 형태를 갖는 소수가 존재한다라는 가정을 세우고. (단, n>=2 이상일 경우, n=1일 경우는 P=2임) n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1) 로 인수분해하고 n+1 은 항상 3보다 큽니다. (n>=2) n^2-n+1 = (n-1/2)^2 + 3/4 이고 역시 항상 3보다 큽니다. (n>=2) 즉, n^3+1은 항상 3보다 같거나 큰 두 정수의 곱으로 표현되므로 소수가 아닙니다. 귀류법을 통해 가설이 거짓임이 증명되었으므로 맨 처음 원래의 가설이 참입니다.
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