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11/02/25 09:51
제가 알기론 어느방에 차가 있는지 아는 사회자가, 처음 방선택 이후 선택하지 않은 두 방중 염소가 들어있는 방하나를 무조건 열어주는게 몬티홀문제인걸로 압니다. 1번 좀 부자연스럽다고 느낀 그 문제가 아마 원래 몬티홀 문제 맞을껄요.; 아닌가
11/02/25 09:54
사회자가 알고 염소가 있는 문을 골라서 연다면, 1/3이 됩니다. 바꿀기회를 준다 안준다 약속하는 것은 의미가 없습니다. 또한, 도전자가 사회자를 자신의 편으로 생각하든 생각하지 않든 상관이 없습니다.
객관적 상황은 아래와 같습니다. 1. 염소방 2개, 페라리방 1개가 있고, 그 중에서 1개를 선택 2. 결과를 알고 있는 사회자가 random이 아니라, 염소가 있는 문을 열어줌 3. 이후 사회자가 도전자에게 바꿀 기회를 줌 이 경우, 도전자가 안바꾸면 1/3이 됩니다.
11/02/25 09:54
'확률의 영역을 넘어선 갬블의 영역'이란게 무엇인지^^;; 애초에 확률은 도박을 위해서 나온 겁니다.
1. '우리편이니까'가 아니라 '계산해보니'입니다. 문제 자체는 정확하게 이해하고 계십니다. 2. 마찬가지로 사회자의 '의도'는 중요하지 않습니다. '열었다'라는 행위와 '답을 알고서'라는 사실만이 중요합니다. 3. 이 문제는 몬티홀이 아닙니다. 몬티홀에서 가장 중요한 것 중의 하나는 사회자가 답을 알고 있어서 오답을 제거했다는 것입니다. 말씀하신대로 답을 모르고서 열었는데 오답이었다면 바꾸나 안바꾸나 확률이 1/2로 같습니다. = 애초 선택한 선택지의 확률이 이후 일어난 사건에 영향을 받습니다.
11/02/25 10:02
< 구하고자 하는 확률은 안바꾸면 1/3으로 동일한데(이미 고르는 시점이 끝난거니), >
위의 상황에서 이 문장이 틀렸습니다. 바꿨을 때가 1/2인건 맞으셨는데 그럼 안바꾸셨을 땐 당연히 1-1/2 = 1/2이겠죠. 내가 처음에 차를 고르는 사건과 그 후에 사회자가 무작위로 염소를 고르는 사건은 서로 독립적이지 않기때문에 영향을 미치게 됩니다. 확률이라는 것은 어떤 독립적인 시험이나 실행을 할때 일어날 수 있는 사건들중에서 특정 사건이 일어나는 상대적 빈도를 구하는 것이라고 생각하시면 됩니다. 여기서 내가 처음 문을 정하고 확인했을 때는 1/3이 맞지만, 내가 뽑은 후 사회자가 염소를 한마리 무작위로 뽑았은 후에 내가 차를 뽑은 확률은 내가 한장뽑고 사회자가 염소를 뽑은 사건들 중에서 내가 차를 뽑고 사회자가 염소를 뽑은 사건이 될 확률을 구하는 것입니다. 즉, 사회자가 한장 뽑은 후에 확인하게 되면 염소와 차가 나오는 상대적 빈도가 당연히 상대적으로 다르겠죠. 그래서 사회자가 무작위로 염소를 뽑았다면 둘다 1/2이 됩니다.
11/02/25 10:06
수학 전공이고, 몬티홀 맵의 제작자입니다.(-_-;)
일단 몬티홀 문제의 원본은 '사회자가 페라리문이 어딘지를 이미 알고 있다'가 맞습니다. 몬티홀 문제를 좀 바꿔서 이렇게 생각해 보면 쉽습니다. 문이 100개쯤 있고(그중에 하나만 페라리고 나머지 99개는 다 염소..), 플레이어는 하나를 선택하고, 사회자는 어떤 문이 페라리인지 알기 때문에 그 문을 피해서 98개의 문을 열어준다.. 그러면 당연히 플레이어 입장에서는 '저놈이 페라리만 피해서 98개를 열었는데, 내가 처음에 페라리를 제대로 골랐을 확률은 희박하니까(1/100) 당연히 바꿔야겠구나..'라는 생각을 해야 합니다. 그렇기 때문에 '문이 두개 남았으니까 1/2다'라는 논리는 깨지게 되는거에요.
11/02/25 10:06
1. 사회자가 알고 모르고를 떠나서 염소 하나 제거한게 중요합니다.
결국, 남는 것은 염소와 차밖에 없고 바꾸면 안의 결과물은 무조건 바뀌죠. 바꾸기전에 소유하고 있는 것이 염소 일 확률이 2/3이고, 이것을 바꾸면 차가 되니 2/3이 되는 것이구요. 2. 애초에 내가 차를 택했을때만 사회자가 나에게 혼동을 주기 위해 기회를 준다고 가정을 한다면, 애초에 내가 염소를 택한다면 사회자가 나에게 기회를 주지 않을 것이고 (2/3은 무조건 꽝) 애초에 내가 차를 택했을때 사회자가 나에게 기회를 준다면 (1/3의 경우에서 바꾸면 0%, 안바꾸면 100%) 사회자가 내가 차를 갖고 있는 경우에만 날 속인다고 가정하면, 안바꾸면 1/3 바꾸면 0%가 되겠네요. 그런데 이것도 가정 자체가 말이 안됩니다. 사회자가 거짓말을 하고 있는지 없는지는 확률로 정의내릴수 없죠. 이것은, 문제에서 주어줘야만 합니다. 굳이 따지자면 몇%의 확률로 날 속인다 이런식으로요.
11/02/25 10:08
그러면 원래 몬티홀 문제는 첫방을 고르기전에 사회자가..
"자, 저는 K7이 어디있는지 알고 있어요.. 근데 한방을 먼저 고르시면 나머지 두방중에 브로마이드가 있는방을 제거할거에요.. 그러면 처음 방을 바꿔서 나머지방을 고르실래요? 아니면 원래 선택을 고수하실래요?" 라고 한다는거죠? 근데 이건 누가 들어도 안바꾸면 바보인거 아닙니까? 애초에 이게 몬티홀 문제가 맞다면 왜 이문제가 논란이 됐는지 자체가 의문입니다. 쩝. 그리고 만약에.. 도전자가 1번방을 골랐어요.. 근데 갑자기 사회자가 제시합니다. "1번방을 고르셨네요.. 제가 어디에 K7이 있는지는 알고 있어요.. 지금 2번방은 브로마이드가 있는데, 그러면 3번방으로 바꾸실래요? 아니면 그냥 계실래요?" 라고 묻는다면.. 이경우는 겜블의 영역이 되니까 바꾸는게 유리하다고 할수 없는거고.. 이것도 당연하잖아요. 그러니까 제생각은.. 이게 문제나 논란이 되려면... 제가 대본을 쓴 저런 상황이 되어야..되는거 아닌가요? 그래야 헷갈리는거 같은데 쩝. .... 그냥 제가 머리가 나쁜게 아니라 확률을 원래 잘 이해하고 있는건가요? 쩝...
11/02/25 10:22
게다가 플레이어 입장에서 사회자가 정답을 아는지 여부를 아는건 사실 확률 자체에는 관계가 없죠. '사회자가 정답을 안다'는 사실이 애초에 중요한겁니다. 그 정보가 플레이어에게 들어갔나 여부는 중요하지 않아요.
11/02/25 11:24
/카이사르
자게글에서 한번 언급된 적이 있는 것 같은데, 수학문제는 수학문제 그 자체로 받아들이셔야지, 말씀하신 것처럼 사회자의 의도같은 걸 고민하시면 답을 도출하기가 어려워 집니다. 사실 이런 문제들은 숫자로 제시하는 건 딱딱하니까 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록(사실은 트릭일 때가 더 많지만) 물건이나 사람에 빗대어서 말하는 것 뿐입니다. 문제에 제시한 것 만이 그대로 이루어지는 이상적인 실험공간이라고 생각하시는 것이 문제를 해결하는 데 도움이 될 거라고 생각합니다.
11/02/25 13:11
수학 문제인데 왜 사회자가 구라꾼인지 아닌지 판단해야 합니까.. 사회자가 답을 아는 상태에서 염소를 제거해 준다는 상황이 나오는 것이 몬티홀 문제입니다. 결과적으로 1개를 선택하느냐 2개를 선택하느냐의 아주 심플한 논리입니다.
11/02/25 16:40
일단 바꿀기회를 안주는 경우라면 이런 경우의 수를 따질 일조차 없죠. 사회자가 2번째 문을 열던 말던 퀴즈참여자의 최초선택에 그 누구도 개입할 여지가 없으니까요.
또 사회자가 우리편이고 말고는 별로 중요한게 아니고, 사회자는 3개의 문중 어디에 상품이 있는지 알고 있고, 퀴즈참여자 또한 사회자가 그것을 알고 있다는걸 인지하고 있어야겠죠. 이런 전제하에 몬티홀 문제가 성립되는데, 말씀하신 3가지 경우중에.. 1번이 몬티홀 문제입니다. 2번은 애초에 문제가 안되죠. 선택전에 약속을 했던 말았던 최초선택-남은2문중에 사회자가 꽝인 문 개봉-이후 바꿀기회제공됨. 이라는 흐름은 완전히 동일합니다. 1번과 동일한 몬티홀 문제죠. 3번은 앞서 말한 전제가 깨진 경우이고, 몬티홀 문제가 논란이 된 이유가 많은 사람들이 몬티홀 문제가 3번 상황이라고 생각했기 때문입니다. 또 엄청난 댓글이 달린 카드문제의 원본과 동일한 형태구요. 단순한 조건부 확률이죠. 3번에 대해 잘못생각하시는게 이 경우에는 선택을 바꾸던 바꾸지 않던 확률은 같아요. 본문에서 ' 가. 첫번째방에 브로마이드인 상태(2/3)에서 사회자가 연방이 브로마이드일 확률(1/2) = 1/3 이고.(남은방은 K7이겠죠) 나. 첫번째방에 K7인 상태(1/3)에서 사회자가 연방이 브로마이드일 확률(2/2) = 1/3 다. 첫번째방에 브로마이드인 상태(2/3)에서 사회자가 연방이 K7일 확률 (1/2) = 1/3 구하고자 하는 확률은 안바꾸면 1/3으로 동일한데(이미 고르는 시점이 끝난거니), 바꾼다고 하면 다. 확률을 제거해준 상태에서 두가지 경우 중에 고르게 되니 (1/3) / (1/3 + 1/3 ) = 1/2 그래서 안바꾸면 1/3 , 바꾸면 1/2의 확률이 되니까, 바꾸는게 유리한거아닌가요? ' 이렇게 말씀하셨는데, 선후관계를 잘못 잡으셨어요. 다. 의 확률을 제거해준 상태에서 2가지중 고르는게 아니죠. 사회자가 남은2개의 문중 하나를 열었는데 K7이 나왔다면, 이미 바꿀기회 따윈 하늘나라로 간 상황이니까요. 그냥 꽝인거죠. 사회자가 문을 열어서 브로마이드가 나온 사건이 발생한 후이기때문에 고려할 필요가 없는 경우의 수죠. 그래서 그냥 조건부 확률로 남은 두문의 확률은 반반. 바꾸던지 말던지 복불복인거죠.
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