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11/04/23 11:40
'닫혀있다'는건 연산결과가 다시 원래의 집합의 원소로 들어가야 성립하는 개념입니다.
즉, 주어진 연산을 수행했는데 그 값이 A라는 집합 안에 들어가지 않는게 하나라도 있으면 성립하지 않는겁니다. A에 속하는 원소 z, w 있다고 가정하고 덧셈에 대한 연산을 수행하면 z+w가 되지요 이게 덧셈에 대해 닫혀있는지 확인하려면 (z+w)(z+w)! = 1인지 확인하면 됩니다. 그리고 쓱쓱 풀어보면 되지요... 나머지도 마찬가집니다. 제 생각엔 z=a+bi , w=c+di 로 놓고 풀면 증명이 될듯하군요. 도움이 되면 좋겠습니다 ^^
11/04/23 11:52
zz! = 1 이고 ww! = 1인데 zw! 와 wz!의 합이 -1이 나오리라는 보장이 없기 때문에 저 집합은 덧셈에 대해선 닫혀있지 않습니다.
간단한 반례로, z = 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) * i, w = 1/sqrt(3) + sqrt(2/3) * i 로 놓았을때 zw! + wz! != -1 입니다.
11/04/23 17:04
별로 좋은 해설은 아닌 것 같아요. zw!+wz!가 -1이 안되리라는 것은 직감으로 알기 어렵고 한 가지 반례를 넣어서 (물론 반례는 1이라는 쉬운 수로 해결됩니다만) 알아보는 것이 맞는 자세이지요. 이런 문제는 그냥 어느 정도 집합의 원소를 구하고 그걸 넣어서 반례를 찾는게 빠르고 쉽습니다. 물론 쉽게 푸는 방법은 복소평면을 생각하면 금방 풀리지만 아마 교과과정을 벗어나는것 같아서 안되기는 하겠군요.
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