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09/04/13 11:45
페르마의 작은 정리 증명법 말하는 거 같네요. 정수론에서 많이 쓰는...
아이디어는 대충 다음과 같습니다. n 개의 element 를 a1, a2, ... , an 이라고 했을 때, G 의 원소 g 에 대해서, g*a1, g*a2, ... , g*an 을 생각해 보면, 이 n 개의 곱이 서로 다 다른 값이 되야 한다는 것을 알 수 있습니다. ( 마치 G에서 G로의 one-to-one 함수처럼요. 증명은 만약 g*ai 와 g*aj 두 개가 같다면 g 의 역원을 곱해봐라~ 뭐 이렇게 하시면 됩니다. ) 그러면, a1 ,a2, ... , an 이 G 의 서로 다른 n 개의 원소이고, g*a1, g*a2, ... , g*an 역시 G 의 서로 다른 n 개의 원소라면, a1 * a2 * a3 * ... * an 의 값은 (g*a1) * (g*a2) * ... * (g*an) 와 같아야 합니다. 이 때 뒤에 꺼를 아벨 군의 성질을 이용해서 다시 정리 하면 (g*a1) * (g*a2) * ... * (g*an) = g^n * ( a1 * a2 * a3 * ... * an ) 이게 됩니다. 그리고 당연히 a1 * a2 * a3 * ... * an 는 G 의 원소이고, 따라서 역원 b 가 존재해서 (a1 * a2 * a3 * ... * an) * b = 1 이 됩니다. 따라서 a1 * a2 * a3 * ... * an = (g*a1) * (g*a2) * ... * (g*an) = g^n * ( a1 * a2 * a3 * ... * an ) 의 양 변에 b 를 곱하면 1 = (a1 * a2 * a3 * ... * an) * b = g^n * ( a1 * a2 * a3 * ... * an ) * b = g^n 이 됩니다.
09/04/13 13:21
개념less님// 오호라~~~ 감사합니다~!
천재테란님// 교재가 지금 없는지라;; 정리로 나온건 페르마정리 증명하는거 나오고 연습문제 마지막번호로 그걸 힌트로주고 증명하라고 문제가 나오더라고요;;
09/04/13 14:06
라그랑즈 정리를 배우시면 가환이 아니더라도 성립하는 성질임을 알 수 있습니다.
G의 항등원을 1, 위수를 n이라고 할때, g로 만든 순환군 <g>는 G의 부분군이 되고 <g>의 위수는 G의 위수 n의 약수가 됩니다. 또한 g의 위수는 <g>의 위수와 같고, 따라서 g의 위수는 n의 약수가 됩니다. 따라서 g^n=1 이 됩니다. 페르마 정리는 G=Z_p* = ( 1,2,3,4,....,p-1 , * ) 의 특별한 경우입니다.
G의 위수는 p-1 이고 임의의 원소 a에 대해서 a^(p-1)=1 이 성립합니다. 또한 기약잉여계에 라그랑즈 정리를 적용시킨것이 오일러 정리입니다.
09/04/13 15:47
묻어가는 질문인데요 혹시 이게 수학과에서 배우는건가요?? 고등학교때나 재수떄 수학에 제일 자신있어서 잠시 수학과를 가볼까 생각도 해봤는데 문제 보니 엄청 어려워보이네요;
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