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11/07/30 10:47
1.
15로 나누었을 때 나머지만 주목해 보면 2^1 : 2 2^2 : 4 2^3 : 8 2^4 : 1 2^5 : 2 2^6 : 4 2^7 : 8 2^8 : 1 ...... 반복되는 모습이 보이네요.. 1001은 4로 나눠서 1이 남는 수니까 2^1001을 15로 나눈 나머지는 2가 되겠군요.
11/07/30 11:00
2.
999^99 = (901+98)^99 = 901^99 + 99C1 * 901^98 * 1 + 99C2 * 901^97 * 98^2 + ...... + 99C98 * 901^1 * 98^98 + 98^99 이렇게 전개될 때 98이 안 들어있는 항은 901^99 항밖에 없군요... 그러므로 구하고자 하는 나머지는 901^99 을 98로 나눈 나머지와 같을 것입니다. 이런 식으로 쭉 가다보면 19를 98로 나눈 나머지, 즉 19가 이 문제의 답이 됩니다. 계산에서 틀렸을 수도 있지만 방법은 이렇습니다. 이항정리를 고1때 배우는 건지 기억이 잘 안나는데.. 저는 가장 먼저 떠오른 방법이 이거라서 이걸로 풀었어요...더 쉬운 방법 있으면 다른 분들께서 알려주실 거에요~~~
11/07/30 11:12
3. 앞 식을 연립해보면
x = y+z+1 = 2y+3z이므로 y+2z=1 z=t로 두면 y=1-2t, x=2-t 가 됩니다. 즉 (2-t, 1-2t, t)가 해가 되지요. 이제 뒤에 주어진 식에 t=1을 대입하면 a+b+c=3 t=2를 대입하면 9b+4c=3 t=0을 대입하면 4a+b=3이 됩니다. 미지수 3개, 식 3개이니 연립방정식을 풀면 됩니다. a=1, b=-1, c=3이 나오고 a+2b+5c=14가 됩니다.
11/07/30 11:13
3.
미지수는 x,y,z 세 개인데 식은 두 개 뿐이네요. 한 문자로 고쳐줍시다. 그러면 y=1-2z, x = 2-z 가 되죠. 이걸 ax^ + by^ + cz^ = 3 에 대입하고 z에 관해서 정리하면 z에 관한 2차식이 될테고 모든 x,y,z에 대해 성립한다고 했으므로 모든 계수가 0이어야 한다는 것을 이용하면 a,b,c에 관한 연립방정식이 나오겠네요. 한참 쓰다가 댓글 날려먹어서 설명은 여기까지만 할게요, 수식 치는거 엄청 귀찮은 일이네요 흐흐 계산이 어려운건 아니니 괜찮겠죠?
11/07/30 11:25
4번
f(x) = (x+1)^3 * P(x) + x^2 - x + 1 = (x-1)^2 * Q(x) + 3x - 2 = ((x+1)^2)(x-1) * R(x) + ax^2 - bx - c 우선 x에 -1을 대입합니다. 첫 식에 의해 f(x)는 3이므로, a + b - c = 3이 됩니다. 마찬가지로 x에 1을 대입합니다. 두번째 식에 의해 f(x)는 1이 되고, a - b - c = 1이 됩니다. 여기서 b가 1로 결정됩니다. 이제 a와 c를 알아내기 위해 식 하나가 더 필요한데, 첫 번째 식과 세 번째 식을 미분해봅니다. f'(x) = (3(x+1)^2)P(x) + ((x+1)^3)(P'(x)) + 2x - 1 = ((x+1)^2)S'(x) + 2(x+1)S(x) + 2ax - b S(x)는 어차피 x=-1을 넣으면 사라지는 항이므로 생략했습니다. 따라서 f'(-1)은 -3이 되고, 그래서 -2a - b = -3이 됩니다. 고로 a = 1이 되죠. 자연스럽게 c = -1이 됩니다. 그래서 a^2 + b^2 + c^2 = 3입니다.
11/07/30 11:28
우와~~~~~~~~~~~~ 여러분들 너무너무너무너무 감사드립니다~~~~~~~~~~~~~ 항상 좋은일만 있으시길 바랄게요~~~~~~
11/07/30 11:52
4번 미분 안쓰고 다시 풀어볼게요.
1. f(x)=(x+1)^3 Q(x) + x^ - x +1 을 변형시킵니다. f(x)=(x+1)^(x+1)Q(x) + (x+1)^ - 3x =(x+1)^ (x+1)Q(x) + 1 -3x
이 말은 f(x)를 (x+1)^ 으로 나누면 나머지가 -3x 가 된다는 말이겠죠. 2. 그래서 f(x)=(x+1)^ (x-1) + ax^2 - bx -c 를 다음과 같이 변형시킵니다. f(x)=(x+1)^ (x-1) + a(x+1)^2 - 3x 나머지 부분이 -3x 가 되는 이유는 'f(x)를 (x+1)^ 으로 나누면 나머지가 -3x 가 되니까' 입니다. -> 이 부분을 이해를 잘 하셔야됩니다. 1번 과정이 나온 이유거든요. 1번 과정은 사실 생각의 순서로 보자면 2번 과정 뒤 입니다. f(1)=1 을 이용해서 a를 계산하면 4a - 3 = 1 따라서 a=1 나머지 부분은 x^ - x +1 이 되어 문제의 a, b, c를 한꺼번에 구할 수 있습니다.
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