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Date 2011/04/22 00:32:50
Name Love&Hate
File #1 1.JPG (15.0 KB), Download : 3
Subject 수학 동치류 관련 질문입니다..


그냥
한글로 써서 그림파일로 붙힐게요;;




함수 f가 단사함수일 경우 자명하다고 보여지는데..
꼭 함수는 단사함수는 아니지 않습니까..
그런데 일대일 대응이 존재한다는게 좀 의아합니다

고견 부탁드립니다.




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수학선생
11/04/22 01:02
수정 아이콘
쉽게 말하면 S의 동치류 원소와 T에서 동치류 원소를 일대일 대응시킬 수 있습니다.

T에서의 동치류는 S에서의 동치류를 위의 정의를 통해서 만들 수 있습니다.
LoveBoxeR
11/04/22 01:10
수정 아이콘
위에 전사함수란 말이 빠진거 같은데
f가 전사함수라 가정하면
함수 g: S/~ --> T 를 g([a])=f(a) 라 하면 g 는 일대일 대응 함수가 됩니다.
한번 해보시길 바랍니다.

님께서 일대일 대응이 존재한다는 것이 의아하다고 생각하시는 이유는 아마 동치류의 집합이 어떠한 형태인가를 잘몰라서 그러실수 있는데
동치류의 집합은 집합 S의 분할(partition)이 된다는 사실을 상기하면 이해하기 쉬울듯 합니다.
11/04/22 01:22
수정 아이콘
[Assumption] f : S->T is a surjective map.

Let [x] denote the equivalence class containing x, for each element x in S.
Let E =
[x] | x in S
. Note that [x] = [y] if and only if f(x) = f(y).

We give a one-to-one correspondence phi : E -> T as phi([x]) = f(x).
This map is well-defined since if [x] = [y] then f(x) = f(y).

phi is injective because
phi([x]) = phi([y]) => f(x) = f(y) => [x] = [y].

phi is surjective because for any t in T, there exists s in S such that t = f(s),
and thus phi([s]) = f(s) = t.

Therefore phi is a bijection between E and T. QED.
Love&Hate
11/04/22 01:32
수정 아이콘
모두 감사드립니다.
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