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16/03/03 22:16
임의의 수 하나를 제외하고 나머지에서 4개를 고르면 되니까 9C4가 되겠죠.
그런데 제비에 9도 포함이 되어 있는 거죠?
16/03/03 22:17
네 9를 빼먹었네요. 수정했습니다.
임의의 두수를 제외하고 남은 8개의 수중 3개를 고르고 남은 한수는 제외한 두수중 하나를 골라 선택해도 됩니다. 이 경우엔 8C3=56 으로 더 적은 복권으로 가능하죠. 제 나름의 풀이긴 한데 이게 맞는 건지 잘 모르겠어서 질문하게 되었네요.
16/03/03 22:44
저도 맨 처음엔 님처럼 생각했다가
위 댓글의 방법을 발견한거긴 한데... 맞는지는 잘 모르겠어요. 더 작은 수로 가능할 거 같기도 하고... 헷갈리네요.ㅠㅠ
16/03/04 00:19
그렇게 계산을 한다면 8C3 곱하기 2 해서 112 아닌가요? 남은 두 수에서 하나를 고르니까 두가지 경우를 곱해야하는 것 같은데...
16/03/03 23:30
제가 생각해본건 이렇습니다.
4개의 당첨번호가 정해져있는 경우 1등 + 2등 + 3등 + 4등 + 5등 = 1 + 24 + 90 + 80 + 15 이렇게 210개가 있고(계산이 맞았는지 모르겠네요) 90+80+15 = 185니까 186개를 사야 반드시 2등 이상이 되지 않을까요?
16/03/03 23:44
가님의 생각대로라면 4등이상의 복권(숫자 하나 일치)이 반드시 있으려면 복권을 16개 사야 하지만
실제론 (1,2,3,4) (5,6,7,8) (9,10,1,2) 세개의 복권이면 4등이상 당첨이 보장됩니다. 제가 위에 쓴 댓글의 풀이를 풀어서 설명해 볼께요. 1,2 를 제외합니다. 3,4,5,6,7,8,9,10 중 3개를 뽑는 조합의 수만큼 복권을 구입해 적어 넣습니다. 8C3 개의 복권을 구입한 것이고 각각 한자리가 비어 있습니다. 거기에 모두 1을 써 넣습니다. 이렇게 하면 1) 당첨제비에 1,2 가 없을 경우 3개의 수가 일치하는 2등 복권이 여러개 있습니다. 2) 당첨제비에 1만 포함될 경우 2등은 물론 1등 복권도 있습니다. 3) 당첨제비에 2만 포함될 경우 2등 복권이 단 하나 있습니다. 4) 당첨제비에 1,2가 모두 포함될 경우 1을 포함한 2등복권이 여러개 있습니다. 그래서 제 생각엔 8C3=56 개의 복권이면 2등이상 당첨이 보장됩니다. 문제는 이보다 작은 갯수로는 불가능한가? 인데... 이걸 잘 모르겠어요.
16/03/04 02:33
저도 일차적으로는 이렇게 생각했네요.
비둘기집 원리는 비둘기들이 멍청해서 기초적인 데나 쓰일 수 있는 걸로.. ㅠㅜ
16/03/04 00:50
제가 위의 댓글에 달린 제 풀이가 의심이 가는 이유는 숫자를 줄이면 성립을 안하기 때문입니다.
예를 들어 1,2,3,4,5,6 의 숫자중 4개가 당첨제비인 문제로 바꾸었을 때, 제 방법대로라면 4C3 인 4가지 복권을 구입해야 하는데 실제론 (1,2,3,4) , (3,4,5,6) , (1,2,5,6) 세개로 2등 당첨을 보장할 수 있습니다.
16/03/04 01:21
[아 이런 8개가 아니라 10개군요...이건 틀린 풀이입니다.]
일반화하는데 시간이 걸릴것 같지만, 일단 여기까지는 가능한것 같습니다.[더 작은수가 있을지도 모르겠습니다.] [2 + 4C1*4C3] 설명드리자면 일단 짝수만으로 한개, 홀수만으로 한개의 복권을 구입합니다. 짝수 혹은 홀수가 3개 이상인경우 위의 2개의 복권으로 커버되므로, 이 두개의 복권으로 커버가 안되는 조합은 짝수 2개 홀수 2개로 구성된 당첨번호입니다. 여기에 홀수 1개 짝수 3개로 만들어지는 모든 조합의 복권 4C1*4C3의 복권을 구입하면, 한개의 홀수와 2개의 짝수가 같은 복권이 1개 존재하게됩니다. 제 느낌상 16까지 줄일수 있을것 같은데 좀더 찾아보시면될것 같습니다.
16/03/04 01:33
짝수 세개 홀수 한개 일 때 안될 것 같네요.
짝수 (2,4,6,8) 홀수 (1,3,5,7) 복권을 구입했을 때 당첨번호가 (6,8,9,10) 이라면 2등이상 당첨이 되지 않습니다.
16/03/04 01:53
실수로 8개의 숫자중에서 4개를 고르는것으로 풀었습니다.ㅠㅠ
일단 42개로는 된다고 증명하긴했는데, 더 줄일수있을걸 같은데 방법을 모르겠네요..
16/03/04 02:12
42증명을 쓰는 동안 34가 증명되어서,
더 줄여서 30으로 증명을 쓰도록하겠습니다. 문제를 더 쉽게 만들기위해서 n개의 숫자중 2개의 당첨번호를 고르는 복권을 생각해보면, 1등이 보장되는 복권의 갯수는 nC2이고, 2등이 보장되는 복권의 갯수는 [n/2(버림)]입니다. n이 4이면 최소 2개의 복권 (1,2), (3,4)를 구매해야하고, n이 7이면 최수 3개의 복권 (1,2), (3,4), (5,6)을 구매해야하지요. 이 수열을 An이라고 하겠습니다. 그 다음으로 n개의 숫자중 3개의 당첨번호를 고르는 복권을 생각해보겠습니다. 1등이 보장되는 복권의 갯수는 nC3이고, 2등이 보장되는 복권의 갯수를 Bn이라고 하겠습니다. 이때 다음과 같은 식이 성립합니다. [ B(n+1) <= Bn + An ] 왜냐하면 새로운 숫자 n+1이 생기면서, 복권의 당첨번호는 n+1을 포함하거나 포함하지 않는 2개의 부류로 나누어지는데, n+1을 포함하지 않는경우 기존의 Bn으로 커버되며, n+1을 포함하는 경우 일단 n+1을 채워넣고, n개의 숫자중 2개의 당첨번호를 골라 1개이상 맞추는 경우 즉 An의 번호를 적어주면됩니다. 마지막으로 n개의 숫자중 4개의 당첨번호를 고르는 복권을 생각해보겠습니다. 1등이 보장되는 복권의 갯수는 nC4이고, 2등이 보장되는 복권의 갯수를 Dn이라고 하겠습니다. 이때 다음과 같은 식이 성립합니다. [ D(n+1) <= Dn + Bn ] B4=1 B5=2 B6=2 B7<=5 B8<=8 B9<=12 이고 여기서 우리는 D6=3임을 알고 있으므로 D10 <=D6+B5+B6+B7+B8+B9<=30입니다.
16/03/04 01:56
다시한번 생각해봤습니다.
우선 (1,2,3,4)를 삽니다. [1장] 그리고 나머지 5~10까지 6개중에서 2개를 택하는 6C2=15개의 복권을 2장씩 삽니다. [30장] 이 30장에는 2개의 숫자를 아직 채워 넣지 않은 상태입니다. 예를들면 (5,6,?,?) 2장 , (5,7,?,?) 2장 이런식으로 구성되어 있습니다. 이 비어있는 자리에 각각 (1,2)와 (3,4)를 써 넣어 30장을 만듭니다. (5,6,1,2) , (5,6,3,4)와 같은 식으로 15쌍을 구성하는 것이죠. 그러면 위의 [31장]은 아래와 같은 경우에는 무조건 2등 이상으로 당첨됩니다. 1. 당첨번호가 (1,2,3,4)인 경우 -> (1,2,3,4)를 샀으므로 당첨 2. 당첨번호가 (1,2,3,4)중 3개를 포함한 경우 -> (1,2,3,4)를 샀으므로 2등 당첨 3. 당첨번호가 (1,2,3,4)중 2개를 포함한 경우 -> 나머지 6개중에 2개를 택한 것 + (1,2)와 (3,4)에서 최소 한개씩 하여 2등은 당첨 4. 당첨번호가 (1,2,3,4)중 1개를 포함한 경우 -> 위와 마찬가지 이제 남는 경우는 당첨번호가 (1,2,3,4)를 포함하지 않는 경우, 즉 {5~10} 6개의 숫자중에 4개의 당첨번호가 있는 경우입니다. 그러면 위에서 말씀해주신대로 6개일때는 최소 3개를 더 사면 해결되므로 [3장]을 추가 구입합니다. 이를 위의 31개와 합쳐서 총[34개]까지 줄여봤습니다. 어디 잘못된 부분이 있을까요?
16/03/04 03:53
30보다 작다는 것이 밝혀져서 비슷한 방법으로 조금 더 줄여봤습니다.
적어도 1장은 사야하므로 (1,2,3,4)를 샀다고 가정합니다. 이제 경우를 나누어 생각해 보겠습니다. case1 [1장 = (1,2,3,4) ] (1,2,3,4)중에 당첨번호가 4개 또는 3개인 경우 이 경우는 (1,2,3,4) 1장으로 해결됩니다. case2 [7장 = (5,6,7,8), (7,8,9,10), (9,10,5,6), (5,6,8,10), (5,6,7,9), (5,6,7,10), (5,6,8,9)] (1,2,3,4)중에 당첨번호가 0개, 즉 (5,6,7,8,9,10)에 당첨번호가 4개인 경우 이 경우는 앞서 언급해주셨던 대로 (5,6,7,8), (7,8,9,10), (9,10,5,6)과 같은 형태로 6개의 숫자로부터 적어도 2등(3개 당첨)을 노리는 최소의 개수인 3장만 구입하면 해결됩니다. (1,2,3,4)중에 당첨번호가 1개, 즉 (5,6,7,8,9,10)에 당첨번호가 3개인 경우 이 경우는 앞의 (5,6,7,8), (7,8,9,10), (9,10,5,6)에 (5,6,8,10), (5,6,7,9), (5,6,7,10), (5,6,8,9)를 추가하면 2등이상을 노릴 수 있을 것입니다. case3 [ 18장 ] (1,2,3,4)에 당첨번호2개, (5,6,7,8,9,10)에 당첨번호 2개가 있는 경우 이 경우에 숫자를 (1,2,3,4)에서 3개 택하고, (5,6,7,8,9,10)에서 1개 택하여 복권을 구매하는 방법을 생각해보겠습니다. 동시에 (1,2,3,4)에서 당첨2개를 보장받고, (5,6,7,8,9,10)에서는 당첨 1개를 보장 받아서 최종적으로 당첨 3개를 보장받을 수 있도록 생각해보겠습니다. 그러면, (1,2,3,4)에서 3개를 다음과 같이 (1,2,3) (2,3,4) (3,4,1) 3가지 경우로 생각해보면 무조건 이 3가지중 한가지에는 당첨번호가(2개) 있고 (5,6,7,8,9,10)에서 (5), (6), (7), (8), (9), (10)의 6가지 경우를 생각해보면 무조건 이 6가지중 한가지에는 당첨번호가 적어도 (1개) 있습니다. 따라서 이를 조합하여 3X6 = 18개의 복권을 만들게 되면 이 18개 중에 적어도 하나로부터 당첨번호 3개를 보장받을 수 있습니다. 결국 1+7+18 = 26장만 있으면 최소 2등을 보장받을 수 있지 않을까 합니다. 시간이 시간인지라 잘못된 부분이 있을수도 있는 점 양해해주시면 감사하겠습니다 아마도 case2, 3에서 더 좋은 방법을 떠올리면 더 줄일 수 있을 것 같습니다!
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