수학의 발명과 발견




20세기 최고의 두뇌를 가진 한 사람으로 칭송받는 천재 수학자 존 폰 노이만이 말하길..

"수학적 영감의 뛰어난 부분은 경험에서 나온다. 인간의 경험과 무관한 수학적으로 엄밀한 절대불변의 생각이 존재한다는 것을 도저히 믿을 수 없다"

20세기 수학계의 첨단을 선도했던 필즈상 수상자이자 현존하는 수학자들 중 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명으로 평가받는 영국의 마이클 아티야 Sir도 노이만 견해에 궤를 같이 하여 발명에 그 무게를 실었습니다

"수학에서의 인상적인 모든 구조 및 설계는 자연 세계을 관찰함으로써 구축된 인간의 창조다" "인간은 물리적 세계의 요소를 이성을 통해 이상화 추상화함으로써 수학을 창조했다"

"자연수의 개념조차 경험적 물리적 세계에 그 기원을 두는 인간의 발명이다 지적인 생물이 인간이 아니라 깊은 바다 속에서 홀로 외로이 살고 있는 해파리라고 생각해보자 이 해파리는 오로지 물로만 둘러싸여 있고 낱낱이 떨어져 있는 개체를 한 번도 경험한 적이 없다 이 해파리가 감지하는 기본적인 정보는 물의 흐름과 온도와 압력이 될 것이다 이와 같이 완전히 연속적인 환경 속에서는 불연속성이 나타나지 않을 것이며 셀 수 있는 것도 전혀 없을 것이다"

물론 이 지도적 수학자들인 노이만,아티야 Sir 모두 수학이 현실 세계에서 존재하지 않는 실체 없는 수학적 대상의 특성을 다루는 연역적인 체계의 학문이고 자연 과학처럼 귀납적인 검증 즉 실험과 관찰에 얽매이지 않고 인간의 이성과 직관을 통해 추상화 엄밀화 일반화의 과정을 거치는 논리적 추론의 결과물이다 라는 점은 기꺼이 인정하였지만 수학이 철저히 경험의 근원에 종속돼 있다는 점은 분명히 했습니다 즉 물리적 세계에 살고 있는 인간이 끊임없이 세워가는 수학이란 학문은 결코 어떤 현실의 경험적 측면에 전혀 무관한 상태로 존재하는 건 이론적으로 불가능하다는 의견을 피력했습니다
이들은 객관적이고 선험적이며 절대불변의 수학적 실체(진리)가 초월적인 세상 어딘가에 실재하며 수학자들은 그 진리를 이성으로써 발견하는 것뿐이라는 수학적 플라톤주의의 입장을 단호히 배격하였습니다 이와 반대로 불완전성 정리와 일반화 연속체 가설의 긍정(참이라고 가정,반증 불가)을 증명했던 괴델은((부정(거짓으로 가정,증명 불가)은 코헨이 증명하여 연속체 가설은 ZFC 공리계와 독립적이다 즉 ZFC에선 연속체 가설은 결정 불가능한 명제 라는 게 최종적으로 증명되었죠)) 수학적 플라톤주의의 열렬한 신봉자였습니다


반대로 수학적 플라톤주의를 지지하는 수학자들을 살펴보면

리만 가설 증명에 관한 새로운 방법론(비가환 기하학)을 제시한 프랑스의 필즈상 수상자인 수학자 알랭 콘느

"수학적 실체는 우리를 둘러싸고 있는 물리적 세계에 존재하지 않는다 수학 세계는 우리와 무관하게 존재한다 근데 신기하게도 하지만 설명하기 힘든 방법으로 수학은 물리적 세계와 긴밀히 연결돼 있다"  

살아생전 수학의 응용을 아주 극렬적으로 거부했던 어찌보면 역대 수학자들 중 가장 순수한 계열에 속한다 볼 수 있는 영국의 위대한 수학자 고드프리 해럴드 하디(라마누잔의 재능을 단박에 알아봤던 수학자로도 유명하지요)

"수학적 진리의 불변성과 절대적 타당성을 인정하지 않는 수학자에 대해서는 어떤 철학도 공감의 목소리를 내지 않는다 수학 정리는 반드시 참이거나 거짓이다 수학 정리의 진위 여부는 인간의 지식과는 무관하다 어떤 의미에서 수학적 진리는 객관적 실재의 부분이다"

(아이러니하게도 하디의 논증 중에는 괴델의 정리의 결과와 상충되는 부분이 존재합니다;; 현대에서도 거의 대부분의 수학자들이 수용하는 배중률의 원리 같은 경우 바일과 푸앵카레 브라우베르로 위시되는 직관주의 학파들은 그 논리학 법칙을 거부 및 반대하였지요)


이처럼 수천 년 동안 절대적 참으로 인식된 유클리드 기하학(공리)의 신념을 깨고 태동한 비유클리드 기하학 그리고 공리의 절대적 진리성을 더 이상 인정하지 않은 채 새로운 토대 위에 수학을 구축할려는 시도 즉 공리는 단순히 게임의 규칙에 불과하며 의미가 사상된 그런 무의미한 형식적 기호의 나열인 공리적 증명 이론을 통해 수학의 완전성과 무모순성을 동시에 증명하고자 노력했던 20세기 최고의 수학자 힐베르트 등 명백한 흐름의 노선이 분명 있었지만 절대주의 수리 철학 사조의 매력을 놓치고 싶지 않는 현대 수학자들 사이에선 수학적 플라톤주의는 현재까지도 그 명백을 유지하고 있으며 결단코 잃고 싶지 않는 신념 즉 진리로 가는 견고한 신성으로 비춰지고 있는 실정입니다 물론 힐베르트의 형식주의 자체는 직관주의 논리주의 집합론주의와 마찬가지로 절대주의 수리 철학을 이루는 한 학파입니다 형식적인 공리화를 통해 반박의 여지가 없는 수학의 완전성과 일관성 그리고 결정 가능성을 성립시키려 했으니깐요. 여담으로 결정 가능성 문제(decidability problem)는 앨런 튜링이 괴델의 불완전성 정리를 참고하여 해결하였습니다

(괴델의 불완전성 정리에 관한 자세한 논의는 이 정리에 대한 여러가지 해석들과 오류가 많아 빼겠습니다 수학적 플라톤주의자인 괴델은 생전에 자신이 증명한 수학적 증명에 대한 타인의 해석 즉 인간 이성의 한계를 비로소 밝혀냈다 절대 진리는 없다는 게 증명됐다 포스트 모더니즘 사상을 괴델이 입증했다는 식의 해석들을 극히 거부하였고 그런 방식으로 오인되는 일련의 상황들을 매우 싫어하였습니다 타자가 바라보는 시각과 해석이야 어찌됐든 괴델 본인은 죽을 때까지 수학적 플라톤주의의 초월적 진리에 대한 믿음을 버리지 않았으니깐요 바로 그런 괴델이기에 당시 러셀과 비트겐슈타인이 주지했던 쌍방의 견해에 대해 논박한 사례도 존재합니다 정리하자면 괴델은 자연과학을 믿지 않았고((학문 말미에 괴델의 우주 같은 과학적 결과물을 보여주기는 했습니다) 초월적 진리만을 신봉하였습니다))



1.우주의 삼라만상 자체가 수학적 구조로 설계되었기에 수학은 바로 "물질 세계의 진리"를 내포하고 있다 바로 이런 점 때문에 수학이라는 도구가 자연 현상을 그렇게 합리적이고 비교적 정확하게 설명해내는 것이다 자연 현상은 오직 수학적으로만 표현이 가능한 물리적 법칙에 의해 설계되었다 고로 수학은 물질 세계에 존재하는 진리의 실체를 발견해낸다

2.수학은 인간이 물리적 세계의 요소를 관찰 즉 경험의 근원이 되는 지각 질서를 이성에 의한 추상화와 이상화의 과정인 개념 질서로 바꿔 내는 불완전한 인간 사고의 인지적 발명품이다 그리고 논리학과 수학의 공리들 더 나아가 전반적인 수학과 논리학은 추상화와 엄밀성이라는 직관과 논리적 추론의 학문적 특성과는 별도로 경험(물리적 세계)에 어쩔 수 없이 그 근거를 둘 수밖에 없다 유클리드라는 자명한 공리의 붕괴라는 역사적 사례를 조망해 볼 때 절대적 진리가 아닌 가정의 공리 위에서 연역되는 수학은 결국 인간의 발명품이며 외부 세계의 초월적 진리를 발견하는 게 아니라 인간 스스로가 수학을 통해 진리를 구축한다고 볼 수 있다 그 수학적 진리는 절대적으로 확실치 않고 잠정적이며 상대적이다 수학적 증명이란 사실 절대적인 게 아니라 오랜 검증 절차를 견뎌낸 수학적 정리에 대하여 그 정리의 근간을 이루는 공리의 의심에서 발현되는 수학적 반론이 제기되기 전까지 진리로써 인정받는 것이며 증명의 타당성에 관한 당대 수학자들의 의견의 일치를 보인 결과물인 셈이다 어떠한 증명을 수용하는 수학자들의 견해는 조금씩 다르며 개중에는 증명을 거부하는 학자들도 있다는 점이 이 주장을 뒷받침한다 즉 수학자들 사이에서 증명에 관한 완전한 의견의 합치를 영원히 보인다는 건 불가능하다 결국 언젠가는 정리의 타당성을 이루는 핵심인 공리의 의심에 의한 수학자들의 의미있는 반론이 나오기 마련이다 완전한 확신은 불가능하다 그리고 수학도 인간이 행하는 학문이기에 불확실성의 단점은 필연적일 수밖에 없다 최종적으로 수학은 인간의 감각 능력과 두뇌를 통해 표현되는 이성과 직관 그리고 물리적 세계의 경험적 요소들이 서로 상호작용하여 발명되는 뛰어난 사고의 산물이다

3.물질(=물리적) 세계의 진리 혹은 경험적 근원을 통한 창조적 발명이 아닌 인간은 지성을 통해 인간과 무관한 상태로 실재하는 객관적인 외부 세계(이데아)의 절대적 수학적 진리들을 발견한다 이런 수학의 성격상 물리적인 자연 현상을 합리적으로 기술해내는 상황은 굉장히 역설적인 부분이라 말할 수 있겠다
우리가 사는 물질 세계는 실체의 본질이 아닌 이데아의 모사일 뿐이다 진정한 진리는 이데아에만 존재하며 오로지 인간의 이성과 직관으로만 그곳에 가닿을 수 있다 그리고 엄밀한 증명을 통한 수학적 정리는 의심할 여지가 없는 절대성을 띤다 고로 수학은 철저히 확실성만을 띨 수밖에 없는 진리 발견의 학문이다
  


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