0. 시작하기 전에
본 문서는 VaR에 관한 소개, VaR을 추정하는 방법, 실제 VaR 추정, 그리고 결과 검증의 순서로 이어집니다. 자신이 재무관리론에 대해 자세히 알고 싶다면 부디 본문의 내용을 맹신하지 마시고, 만약 본인이 관련 분야의 고수로 본문에 오류가 발견된다면 지적 부탁드립니다.
1. VaR(Value at Risk)란?자신이 모 은행의 포트폴리오 매니저라고 합시다. 시장 상황이 순조롭고 내가 보유한 종목이 오르기만 하면 아무 문제도 없습니다만, 주식은 오르는 빈도만큼 내려가기 마련(실제로는 오르는 날보다 내리는 날이 실증적으로 더 많습니다)이며 특히 주기적으로 발생하는 금융 위기 때는 평소에는 발생하지 않는 극단적인 수익률이 발생하곤 합니다. 이 때 자신이 아무런 부채 없이 그저 현물주식을 보유하고 있을 뿐이라면 사실 큰 문제는 없겠습니다만, 그렇지 않은 경우가 대부분이겠죠.
만약 자신이 스탁론을 활용해 주식을 구매한 개인투자자이며, 혹시라도 주식이 하락할 경우에 대비해 일정량의 현금을 보유해두었다고 가정해봅시다. 저는 2019년 12월에 100만원을 빌려 100만원의 주식을 샀으며, 만약 주식 가격이 100만원 아래로 하락한다면 저는 이 계좌에 현금을 입금해서 다시 100만원의 현금+주식 잔고를 맞춰 놓지 않으면 강제로 주식이 반대매매가 됩니다. 저는 이것을 바라지 않으므로 적당히 감으로 10만원의 현금을 준비해놓았습니다. 그런데 이런, 2020년 2월 모종의 사태가 터지고 주식이 50만원이 되었네요? 제가 주식이 오를 것이라는 것을 알고 있더라도 제 주식은 반대매매가 되고 저는 손해를 보았습니다.
시장에서는 1997년 아시아 금융위기, 1998년 러시아 부채위기 등을 겪으며 극단적인 사건에 대한 리스크관리 방안이 필요하다고 판단하여 수많은 리스크관리 도구를 발명했는데 VaR은 그 중에서 가장 유명하고 널리 쓰이는 도구입니다.
VaR은 ① 정상적인 상황 하에 ② 일정한 기간 동안 ③ 주어진 신뢰수준 하에서 ④ 특정한 자산에 발생 가능한 최대 손실규모를 측정하는 도구입니다. 즉 "이 삼성전자 주식이 향후 1년 간 99%의 확률로 -10% 미만의 손실을 기록할 것이다."라고 추정한다면, 그 삼성전자 주식의 VaR은 10%인 것(-10%이 아니라 10%인 경우는 VaR은 손실의 경우만 바라보기 때문에 통상적으로 절대값으로 표기하기 때문입니다)이죠.
VaR은 세계 주요 은행을 규율하는 바젤이라는 금융조약에서도 사용할 것을 권장하며, 국내에서도 광범위하게 활용되고 있습니다만, 몇 가지 널리 알려진 문제가 있습니다. 조금 전 개인투자자 예시에서도 말씀드렸듯 "극단적인 상황" 발생 시 리스크 관리 방안이 필요한데, VaR은 "정상적인 상황"을 가정하며, 또한 "정규분포"를 가정하는데 실제 주식 수익률(이나 여타 모든 금융자산)의 분포는 정규분포에 비해 꼬리부분이 두터운 수익률 분포를 가지고 있습니다.
뭐 이 내용이야 널리 알려진 내용이고 기초적인 재무관리라도 수강하셨다면 다들 들어보셨을 내용입니다. 이제 어느 정도 VaR의 기초 개념에 대해 알아보았으니 실증적으로 어떻게 VaR을 계산하는지 알아봅시다.
2. 분석대상자료
아래의 값은 모두 1990년 1월 1일부터 2021년 7월 22일까지의 KOSPI 일일 종가를 활용하여 산출하였으며, 모든 수익률은 로그 차분한 수익률입니다. 우선 수익률의 분포를 한번 봅시다.
[그림 1] KOSPI 수익률 분포
히스토그램은 실제 수익률을 기반으로 그린 것이고, 파란색 선은 정규분포를 가정할 경우의 분포를 그려둔 것입니다. 얼핏 봐도 평균 언저리의 가운데 부분과 가장자리 부분이 정규분포 밖으로 불쑥 튀어나와있고, 그 사이에는 정규분포 안쪽으로 쑥 들어가있는 것처럼 보이네요. 기초통계량을 한번 살펴봅시다.
[표 1] KOSPI 일일수익률 기초통계량
| |
| 평균 | 0.00929% |
| 표준편차 | 1.70804% |
| 왜도 | -0.29 |
| 첨도 | 8.83 |
평균은 0에 가깝고, 첨도가 3보다 월등히 높은 꼬리 부분이 두터운 분포(leptokurtic)를 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 그리고 왜도가 음수(left-skewed)인데, 이러한 금융시계열 자료에서 보이는 특성들을 자세히 보고 싶으시면 Rama Cont의 Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues 페이퍼를 한번 읽어보시면 잘 설명되어 있습니다.
3. 각종 VaR 추정방식
ⓐ Delta-Normal VaR
1. 에서 설명드린 VaR이 바로 이 Delta-Normal VaR입니다. 가장 직관적이고 광범위하게 사용되는 도구이나 그에 걸맞게 "정규분포"의 가정이 있다는 크나큰 단점 또한 가지고 있습니다. Delta-Normal 방법을 사용하여 1일 간 99%의 확률로 발생할 수 있는 최대손실규모는 다음과 같습니다.
VaR = -μ + α·σ
그러나 기초통계량에서 보이듯 1일 간 VaR을 계산할 경우에는 평균에 0에 가까우므로, 통상적으로 μ = 0으로 가정하게 됩니다. 만약 장기간에 대해 계산할 경우는 포함하게 되죠.
α는 자신이 정한 신뢰수준의 Z-score를 입력하면 되고, 99%의 경우는 2.33이 되겠습니다. 즉, 2.33표준편차만큼 자산이 하락하지 않을 확률이 99%이니, 최대손실규모를 측정할 수 있게 됩니다.
[그림 2] 인터넷에서 대충 긁어온 Delta-Normal VaR 설명그림
ⓑ GEV분포 VaR
위 Delta-Normal 방식은 정규분포를 가정한다는 문제가 있으며, 금융자산의 수익률은 꼬리 부분이 두꺼운 분포를 가진다는 점도 알았습니다. 그래서 학자들은 그런 극단치들에 대한 연구를 진행했는데, 이는 100년에 한번 쯤 오는 태풍에 대비해 제방 높이를 계산하던 수문학에서 발생했다고 합니다.
[그림 3] 극단치분포
극단치분포는 (a) Block maxima 방식처럼 한 블록 중에서 가장 높은 값을 극단치로 설정하거나, (b) POT 방식처럼 일정 threshold를 설정한 후, 그보다 높은 값을 극단치로 설정하게 됩니다. 이 경우 이 "설정한 극단치들이 일정한 분포를 가지게 된다"는 것이 극단치분포이론(Extreme Value Theory)의 기본입니다.
그리하여 극단치분포이론 중 Generalized Extreme Value(GEV) 분포를 활용하여 VaR를 산출할 수도 있습니다. GEV가 무엇이냐 하면,
[수식 1] GEV 분포 수식
대충 저런 수식을 가졌으며, ξ는 Shape 패러미터로 꼬리의 두께를 측정하며, 숫자가 커지면 조금 분포가 납작해집니다. 이 방식의 문제점이라고 하면 "블록" 단위로 극단치를 보기 때문에, 한 블록 내에 극단적으로 큰 값이 여러 개 있을 경우 나머지 극단치를 무시한다는 점입니다.
[그림 4] 일반적인 GEV 분포 모양(Shape = 1)
[그림 5] 1개월 단위 블록으로 극단치를 설정한 KOSPI 일일수익률 분포
위 자료는 KOSPI 일일로그수익률 자료 중 1) 마이너스 수익률만 추려내서 2) 한달으로 블록을 설정하여 극단치를 뽑아낸 후 그린 분포입니다. 어떤가요. 위 일반적인 GEV 분포와 꽤 비슷하게 생겼습니다.
[수식 2] GEV 분포를 사용한 VaR 계산식 (Login, 1999)
식은 복잡해보이지만 개념은 Delta-Normal VaR와 동일합니다. μ는 Location 패러미터(평균), σ는 Scale 패러미터(표준편차), ξ는 Shape 패러미터(꼬리 두께)를 의미하고 n은 블록의 크기, q는 신뢰수준입니다.
ⓒ GPD분포 VaR
위에서 극단치분포이론에서는 블록을 설정하는 방법 외 일정 기준치 이상을 모두 극단치로 설정하는 방식도 있다고 말씀드렸는데, 이 GPD 분포가 바로 그 방식입니다. 이 방식의 문제점이라고 한다면 기준치를 설정하는 방식이 주관적이며, 기준치를 낮게 하면 극단치가 아니므로 의미가 없고 기준치를 높이면 값의 갯수가 너무 적어 분포를 형성하지 못한다는 점입니다.
[수식 3] GPD 분포 수식
ξ는 GEV와 동일하게 꼬리 두께를 설명하는 Shape 패러미터고, β는 GEV의 Scale 패러미터입니다.
[그림 6] GPD 분포(Shape = 1)
[그림 7] GPD 분포를 활용한 KOSPI 일일수익률 분포
위는 임의로 약 1.8%의 음의 수익률을 기준치로 설정하여, 그것을 초과하는 일일수익률의 분포를 그린 히스토그램입니다. 만약 기준치를 조금 더 높여서 3.0%으로 설정한다면 아래와 같은 히스토그램이 됩니다.
[그림 8] GPD 분포를 활용한 KOSPI 일일수익률 분포 2
극단치의 표본 수가 적어서 1.8% 기준처럼 예쁜 GPD 분포를 그리지 못하고 다소 벗어난 모습입니다.
이 GPD 분포를 활용해서 VaR을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.
[수식 4] GPD 분포를 활용한 VaR 계산식
u는 기준치(threshold), n은 샘플의 표본수, N은 기준치를 초과하는 표본 수이며 이외 패러미터는 위에서 설명한 것과 동일합니다.
이제 위 ⓐ ~ ⓒ 방법을 활용해 계산헌 KOSPI의 1일 VaR를 한번 계산해보겠습니다.
4. VaR 계산
Delta-Normal VaR의 경우 계산이 용이하니 생략하고 GEV의 경우부터 살펴보겠습니다.
ⓐ GEV VaR
우선 KOSPI 로그수익률자료를 두 뭉텅이로 나눠서, 2019년 이전과 이후로 나누어 1990년 ~ 2019년까지의 자료를 표본기간, 2019년 ~ 2021년까지의 자료를 검증기간으로 분류하겠습니다.
표본기간 역시 절반을 들어낼 예정인데, VaR은 손실의 경우만 측정하므로(SaR, Surplus at Risk라고 수익 쪽을 보는 도구도 있습니다만 무시하겠습니다) 우측 꼬리에 해당하는 절반을 들어내고 음의 수익률만 남겨놓은 뒤 -1을 곱해주어 최종 표본자료를 만들겠습니다.
이 최종 표본자료에서 KOSPI 로그수익률 자료를 월 단위(블록에 포함되는 표본 수 = 22일, 주말 제외)로 쪼개 각 블록에서 극단치를 하나씩 뽑아낸 후 히스토그램을 그리면 위 [그림 5]와 동일한 히스토그램이 나옵니다.
[그림 5]
위 자료에 대해 최우도법(MLE)을 활용해 GEV 분포의 패러미터(location, scale, shape)를 추정할 수 있습니다. R의 SpatialExtremes 패키지, 혹은 mev 패키지를 활용하면 딱 한 줄로 패러미터를 구할 수 있습니다.
[표 2] KOSPI 수익률의 GEV 패러미터 추정
| GEV 패러미터 | |
| location | 0.01901 |
| scale | 0.01166 |
| shape | 0.28201 |
위 패러미터를
[수식 2]에 대입하면 VaR을 손쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어 95% 신뢰수준 하 1일 최대손실은 0.01762682, 혹은 1.76%이 계산됩니다.
ⓑ GPD VaR
GPD의 경우에는 최종 표본자료를 뽑아온 뒤 일정한 기준선을 정하여 데이터를 추출해야합니다. 이 기준선은 어떻게 정할까요?
사실 이 기준치를 정하는 방법은 표준화된 방법이 없으며, 각 연구 및 논문마다 다른 방식을 주장하고 있습니다. 방법의 선택과 관계없이 이 기준치의 설정은 자의적인 요소가 개입할 수 밖에 없으므로, 저는 적당히 몇 가지 수치를 대입해보고 히스토그램이 예쁘게 나오는 기준치 하나와 수치를 굉장히 높인 기준치 하나, 총 두 개를 설정했습니다. 위 그림 7-8에서 나오는 히스토그램이죠.
[그림 7]
위 그래프에서 설정한 임계치는 u = 0.01815842이며, 그림 8에서 설정한 임계치는 u = 0.03071747입니다.
[표 3] KOSPI 수익률의 GPD 패러미터 추정
| u = 1.8% | scale | 0.01301 |
| shape | 0.08059 |
| u = 3.0% | scale | 0.01335 |
| shape | 0.10520 |
이 역시 추출한 데이터셋을 R의 mev 패키지에 쑤셔넣으면 위 값이 뿅하고 튀어나오게 됩니다. 이 패러미터를 [수식 3]에 대입하면 VaR을 계산할 수 있는데, 1.8% 임계치의 95% 신뢰수준 하 1일 최대 손실은 0.02762341, 혹은 2.7%이 나옵니다.
5. VaR 결과값 비교
신뢰수준 95%, 97.5%, 99%, 99.9% 대비 세 가지(+1) 방식을 위와 같은 표로 정리하였습니다.
[표 4] VaR 계산 결과 비교
| VaR 비교 | α = 95% | α = 97.5% | α = 99% | α = 99.9% |
| Delta-Normal | 2.81% | 3.35% | 3.97% | 5.28% |
| GEV | 1.76% | 2.64% | 4.10% | 9.90% |
| GPD(u = 1.8%) | 2.76% | 3.74% | 5.13% | 9.10% |
| GPD(u = 3.0%) | 2.81% | 3.75% | 5.10% | 9.13% |
극단치모형이 높은 신뢰수준에서 Delta-Normal 대비 높은 VaR을 보이는 것이야 당연하지만, 또 흥미로운 내용이 보입니다. GEV의 경우에는 낮은 신뢰수준에서는 Delta-Normal에 비해서도 굉장히 낮은 VaR 추정치를 보이지만, 신뢰수준이 높아질 수록 급격히 높아져 GPD를 앞지르게 되어 신뢰수준 설정에 따른 VaR의 변동성이 매우 크게 나타납니다.
GPD의 경우 전 구간에서 Delta-Normal보다 VaR이 높게 나타나며 비교적 신뢰수준에 따른 변화가 안정적이네요.
이제 위에서 계산한 수치가 얼마나 현실과 들어맞나 한번 볼까요?
95% 신뢰수준에서 VaR이 10%라는 뜻은 5% 확률로 VaR이 10%를 초과한다는 뜻입니다. 만약 사전에 계산한 VaR을 초과한 손실이 매번 발생한다면 VaR을 고생해서 계산하는 이유가 없겠죠.
표본기간은 총 5,326일의 수익률 자료로 이루어져있으므로, 95% 신뢰수준에서는 5,326 × (1 - 0.95) = 267일간 Delta-Normal 기준 2.81%을 초과하는 손실이 발생하여야 제대로 평가가 이루어졌다고 볼 수 있습니다.
[표 5] 인샘플 기간 중 VaR 초과 횟수
| 인샘플 초과횟수 | α = 95% | α = 97.5% | α = 99% | α = 99.9% |
| 기대값 | 267 | 134 | 54 | 6 |
| Delta-Normal | 259 | 177 | 115 | 49 |
| GEV | 556 | 285 | 106 | 5 |
| GPD(u = 1.8%) | 264 | 131 | 53 | 5 |
| GPD(u = 3.0%) | 259 | 131 | 54 | 5 |
위 표를 살펴보면 Delta-Normal VaR가 낮은 신뢰수준에서는 높은 정확성을 보이고 있으나, 신뢰수준이 높아질수록(= 꼬리 분포로 다가갈수록) Delta-Normal VaR를 초과하는 손실이 굉장히 많이 발생하는 것을 볼 수 있는데, 이는 실제 수익률 분포보다 꼬리가 얇은 분포를 가정하였으므로 저희가 예상했던 결과와 동일한 결과인 것을 확인할 수 있습니다.
GEv의 경우 신뢰수준이 낮을 경우 VaR보다도 부정확한 모습을 보이나, 오히려 높은 신뢰수준에서는 굉장히 정확한 모습이며, GPD의 경우 임계치를 어디로 잡건 간에 꽤나 정확한 측정을 하고 있습니다.
마지막으로 따로 뺴두었던 검증기간을 한번 살펴봅시다.
[표 6] 검증기간 중 VaR 초과 횟수
| OOS 초과횟수 | α = 95% | α = 97.5% | α = 99% | α = 99.9% |
| 기대값 | 32 | 16 | 7 | 1 |
| Delta-Normal | 17 | 11 | 6 | 2 |
| GEV | 38 | 18 | 5 | 0 |
| GPD(u = 1.8%) | 17 | 8 | 2 | 0 |
| GPD(u = 3.0%) | 17 | 8 | 2 | 0 |
별 생각없이 검증기간을 대충 잘랐더니 생각보다 표본 수가 적어졌네요. 몇 년 된 1일 VaR으로 수 년 후의 1일 VaR을 예측하는 것은 사실 알맞은 방법은 아니지만, 어쨌건 Delta-Normal은 신뢰수준이 오를수록 부정확하며, GEV는 신뢰수준이 낮을 때는 부정확하나 신뢰수준이 높으면 정확하며, GPD는 전체적으로 정확합니다.
6. 마치며
Delta-Normal VaR의 문제점은 위에서 보셨듯 실제 Delta-Normal VaR를 초과하는 손실이 기대값 대비 훨씬 많이 발생한다는 점입니다. 다르게 말하면 Delta-Normal VaR는 손실의 크기를 과소평가한다고 볼 수 있습니다. 그를 보완하기 위해 극단치분포이론을 활용하는 것이 하나의 대안이 될 수도 있겠지요. 아니면 단순히 Delta-Normal VaR에 특정 계수를 곱한 보수적인 값을 활용할 수도 있는데, 바젤에서도 Delta-Normal VaR에 3을 곱하여 자기자본비율을 산정하도록 규약한 것으로 기억합니다.
이 외에도 GARCH를 활용한 방법 등 VaR을 추정하는 방법은 수없이 많습니다만, 제 이해가 닿지 않으므로 여기에서 마치겠습니다.
참고 문서
극단치이론을 이용한 VaR의 추정과 검증 - 국내 주식시장을 중심으로 / 2006 / 홍익대학교 / 최종원
다양한 GARCH모형의 VaR 예측력 비교분석 / 2004 / 건국대학교 / 최인영
극단치이론을 이용한 VaR의 추정 및 성과 / 2003 / 건국대학교 / 문성주
극단치이론(Extreme Value Theory)과 Value-at-Risk: GPD 모형을 중심으로 / 2005 / 한국금융연구원 / 오세경
