※ 해당 글은 제가 교생 실습 연구수업으로 시연했던, 확률 단원 대단원 마무리 수업을 피지알에 맞게 수정한 것입니다.
    혹시나 읽으시는 데 도움이 될까하여 개인정보를 삭제한 수업지도안과 ppt를 올립니다. (이 글의 구성과는 조금 다릅니다.)
    애초 대상이 고등학교 2학년이었던 고로, 이 게시판에서 보기에는 보는 분에 따라 조금 [꼰대]스러울 수 있습니다.
    이 점 먼저 양해 부탁드립니다.
  



안녕하세요.
첫글이네요.
사실 위 두 줄을 써넣고 한 일년동안 이 밑으로는 지웠다 썼다, 제목은 수십차례 바뀌고 그랬더랬습니다.
과연 피지알의 글쓰기 버튼은 무거웠지요.
오늘 이런 저런 생각을 하다가, 역시 피지알 첫 글로는 자신있는 것을 쓰는 것이 좋겠다 싶어서 작정을 하고 컴퓨터 앞에 앉았습니다.
수학에 관련한 내용입니다.
수학, 이라는 두 자에 바로 이전 버튼을 누르지는 마시고.. 좀더 읽어주시면 감사하겠습니다.



0.
저는 개인적으로 "학교 수업 왜 들어 쓸데없는 거 천지삐까리" 이 말을 듣기 싫어합니다.
물론 천상 사회에 나와서 한 거라곤 남 가르치는 분야에서 종사해본 일 밖에 없어 그런 것일수도 있습니다만,
길지 않은 세월 살아본 바로, 들어서 손해보는 경우는 [어설프게 배워서 다시 배워야 하는] 상황 외에는 없었다고 생각하기 때문입니다.
확률 수업도 마찬가지입니다.
확률 정말 어렵죠.
나름 중고딩 수학은 좀 한다고 생각하는 저도, 확률에서는 벼라별 희한한 모델에 고개를 젓곤 합니다.
그럼에도 피지알에 방정식도 아닌, 공간도형도 아닌, 확률에 대한 글을 쓰는 이유는,
확률, 그리고 나아가 통계 단원은
(확률과 통계가 수학의 분과로서 인정받는가에 대한 논쟁은 차치하고)
수학을 왜 배우는지에 대한 가장 명확한 통찰을 제공하고, 나아가 우리가 삶을 사는 데에 큰 도움을 주기 때문입니다.



1.
이 글을 보시는 분들 중 상당수의 분들이 주업 부업 넘어서 3~4순위 정도의 직업으로 소환사의 협곡에 종사하고 계십니다.
그리고 이 라이엇 소속 재택근무자 분들 중 또 상당수는 검색에서 네이버 구글을 쓰듯이 전적사이트 op.gg를 쓰시고 말이지요.
우리는 왜 같은 팀의 아이디를 op.gg에서 검색을 할까요?

예를 들어서, 같은 팀에 열파참마이 스탯을 주구장창 찍어대는 팀원 A가 있다고 합시다. 이 사람은? 트롤입니다. 정확하게는, 높은 확률로 무분별한, 무차별의, 무관용적 트롤을 할 거라고 추측할 수 있습니다. 다른 예를 들죠. 5경기 연속으로 높은 kda로 명백히 팀을 캐리한 사람이 우리 팀원 B입니다. 이 사람은? 대리입니다. 역시 정확하게는, 높은 확률로 기사님이 전용차로로 운전중이시라고 추측할 수 있지요.
그렇다면 그 다음 우리의 선택은 어떠한가요? A를 만난 우리의 유효한 전략 중 하나는 '닷지' 입니다. 약 5분 정도(맞나요? 제가 lol을 한게 시즌2가 마지막이라..)의 시간 낭비를 통하여 무기력한 20분과 부조리한 mmr의 감소, 그리고 1패의 스트레스를 방지할 수 있습니다. B를 만난 우리의 마음가짐은? 캐리하겠다는 욕심을 버리고, 궁휼한 마음으로 1인분을 충실히 지켜 기사님 전용차로 지나가시는데 방해가 되어서는 안되겠죠.


lol과 op.gg의 예시에서 보듯, 인생은 정보의 취합과 그에 기반한 선택의 연속이죠. 이 과정에서 여러 가지 선택에 대한 기준이 제시됩니다만, 오늘 제가 얘기하고자 하는 것은 확률입니다. 확률을 정확하게 아는 것을 통하여 우리는 [미래를 예측하고, 그 예측을 토대로 현재의 선택을 결정하는 데] 도움을 받을 수 있습니다. 현재의 선택을 온전히 결정하는 것은 아닙니다. 미래 또한 그렇죠. 대부분의 경우 확률은 1이 아닙니다. 위에서 보았던 A가 이번 판부터는 마음 잡고 정상적으로 게임을 할 수도 있는 것이고, 우리가 B를 만난 판이 하필이면 기사님 운행 끝나고 본주가 잡기 시작한 판일 수 있습니다. 이렇게 되면 희비는 정반대가 되겠지요. 하지만 우리가 이런 예외적 상황을 알고 있음에도, 자주 op.gg를 이용하는 것은 그만큼 이런 정보 수집의 경험들이 유효하다는 것이겠지요.

확률은 이처럼 우리가 [바른 판단]을 하는 데 유용한 도구가 되어 줍니다. 사실 이것은 수학 교육에서의 목표이기도 합니다. 여러 가지 수학적 능력을 기르는 것의 궁극적인 목표는 결국 실생활에서의 [바른 판단]을 하기 위해서입니다. 현재 수학 교육이 이 목표를 정확히 쟁취하기 위하여 움직이는지는.. 다른 글에서 나중에 논의해 볼만한 사항입니다. 하여간 확률에 대한 고민은 인생 사는 데 도움이 됩니다.


몇 가지 예시를 제시해볼까 합니다.



2.
먼저, 이 두 문장입니다.

1) 스타벅스를 이용하는 소비자 비율은 남성보다 여성이 더 높다.
2) 여성 소비자가 스타벅스를 이용하는 비율은 남성보다 높다.

이 두 문장은 같은 의미를 가지고 있을까요?




이 글은 수학에 대한 글이고, 따라서 생각보다 많은 분들이 눈치채시리라 믿습니다. 실제로 두 문장은 다른 의미를 가지고 있지요.
하지만 놀랍게도, 맥락이 없이 저 두 문장만 던져줬을 때, 굉장히 높은 비율로 사람들은 위 두 문장을 같은 의미로 해석합니다.
두루뭉실하게, 그냥 대충 남자보다 여자가 더 많이 간다는 거 아냐? 이런 식으로 해석하지요.

하지만

이 표를 토대로 각 문장을 분석해보면,

1) 스타벅스를 이용하는 소비자는 총 25명, 그 중 여성은 60%이므로 남성의 40%보다 높습니다. 따라서 참입니다.
2) 여성 소비자 전체 중 스타벅스를 이용하는 비율은 15/45, 즉 1/3이며, 이는 남성의 10/15, 즉 2/3보다 낮습니다. 따라서 거짓입니다.

따라서 위의 두 문장은 다른 의미를 가지고 있습니다.

이 예시는 확률을 전체 경우의 집합 중 사건의 집합의 비율로 해석한다는 점에서, 상황에 대한 확률 접근시 상황을 명확하게 파악하고 그에 맞는 적절한 모델링을 해야 한다는 것을 반영하고 있습니다. 약간의 변형만으로도 상황이 극적으로 변할 수 있으며, 그 지점을 명확히 파악해야만 확률을 바르게 판단할 수 있다는 것이지요.



3.
다른 예시를 하나 더 들어보겠습니다. 이 글의 모델이 된 수업은 5월말에 이루어졌는데, 하필이면 전염병 관련 이야기라 해놓고 나서 나중에 시껍했던 기억이 있습니다. 좌우간..

"유병율이 천 명당 한 명인 바이러스성 질병을 진단하는데, 보균자는 100 % 양성 판정을 할 수 있으나, 비보균자에 대해서는 1 %의 오진율을 가진다고 한다. 이 진단법은 훌륭한 진단법이라고 할 수 있는가?"

이 물음에 대한 정확한 답은 무엇일까요?





정답은 없습니다. (...)
open-ended problem라는 유형의, 학생의 사고를 자극하여 마음껏 답을 요구하는 문제이기 때문이지요.
상당수의 학생, 그리고 대부분의 일반인들은 적절한 진단법이라고 답변하곤 합니다. 일단 보균자는 100 % 다 걸러낼 수 있기 때문이라는 근거가 있습니다. 비보균자도 1 %만 오진이 나고, 그게 보균자들을 감시 범위망 밖으로 나가게 하는 경우는 아니니까 괜찮다고 얘기합니다. 맞는 말이지요.
하지만 의학계에 종사하시는 분들은 본능적으로 이 검사에 문제가 있다고 여기십니다. (몇 분들이.. 그랬습니다. 다 그런지는 몰라요.)
그리고 약간 더 깊게 생각하면, 생각보다 그렇게 좋은 진단은 아닐 수 있습니다.
만약, 이 진단을 단 한 번 시행할 수 밖에 없는 긴급한 상황이라면? 혹은 정말 아주 위험한 질병이라면?
저는 그다지 추천하고 싶지는 않습니다. 왜냐하면, 실제로 [이 검사로 실제 보균자를 골라낼 수 있는 확률은 10 %도 채 되지 않기 때문]입니다.

예를 들어, 인구 2만의 소도시에 이 진단을 적용한다고 치면,
- 보균 판정(그리고 실제 보균자): 20명
- 보균 판정(하지만 비보균자):     19980*0.01=199.8명......... 얼추 2백명
입니다. 즉 보균 판정을 받은 사람 중 실제 보균자는 10 %도 채 되지 않는다는 것이지요.
만약 전염병 발생에 의한 격리 차원에서 시행되는 진단이라면, 2만의 인원을 2백2십으로 줄인 것에 아주 고무적인 진단이라고 할 수도 있겠지요. 하지만 격리되었을 때, 2백명의 실제 비보균자에 대한 인권은? 뭐 일단은 모델이니까 인권은 치우고서라도, 만약 이 진단이 임상실험, 그것도 반복진단할 시료가 부족하여 아주 정밀한 결과가 요구되는 실험에 사용되는 진단이라면? 실격이지요.
가타부다 사설이 많지만 어쨌든, 중요한 것은 이 진단으로 보균자를 뽑아낼 수 있는 확률은 생각보다 매우 작다는 것입니다.

이 예시는 상황을 적절히 이해하고 있다 하더라도, 필요하다면 (여기서는 확률을 이용한) 심도 있는 분석을 통해 상황에 대한 숨겨진 정보를 명확히 이끌어내야 한다는 것을 반영하고 있습니다. 드러난 정보만을 이용하여 직관적으로 판단하는 것은 적당한 판단이 되는 경우가 상당수 있고 어떤 때에는 굉장히 훌륭한 결과를 이끌어내기도 하지만(아이들에게 무한도전의 정총무가 쏜다! 특집을 편집하여 보여줬더니 다들 난리가 나더군요), 때에 따라서는 위 예시와 같이 아주 치명적인 결과를 초래할 수도 있기 때문이지요.




4.
두 가지 예시를 드리면서 이 글을 마무리하까 하는데요. (아이들과는 하나를 더 했습니다만, 그건 진짜 수학 문제라서..)
이 내용을 피지알에 정리하게 된 이유는, 생각보다 우리가 살면서 확률에 대하여 너무 쉽게, 그리고 잘못 생각한다는 안타까움에서 출발했습니다.
얼마 전 올라온 [야구계의 대표적인 헛소리 5가지] https://pgr21.com/pb/pb.php?id=freedom&no=59115 의 일례만 들어도,
수학적 확률과 통계적 확률 사이의 간극과 그 함의, 독립시행의 의미와 의의, 독립과 배반의 차이 등등..
이런거 고등학교 때 다 했거든요. (물론 선생님이 어떻게 가르쳐주셨느냐에 대한 논의는 있겠습니다만.. 엉엉)
학교에서 배우는거 다 천지삐까리 쓸데없다, 는 말은 최소한 확률에서는 지워주셨으면 하는 바램이 있습니다. 허헣

뭐 지금 고등학생이라고 사실 크게 다르지는 않습니다. 사실 수능에서 확률과 통계 영역은 난이도가 낮은 편이고, 학생들은 그 바람에 이 단원은 조금 등한시하는 것이 사실입니다. 그러다보니 학생들은 확률이 어렵네 귀찮네 해도 문제 자체는 기계적으로 풀 수 있는 편이니, 이해가 잘 안간다고 해도 크게 신경을 쓰지 않고 넘어가는 편이지요. 개인적으로 그런 부분들이 안타까운 마음이 있었는데, 이번에 마침 교생 실습 진도가 확률이었고, 지도 교사 분이 연구수업은 선생님 하고 싶은대로 맘대로 하세요~ 하시는 바람에 이런 연구수업 치고는 무모한 주제를 건드렸었습니다. 다행히 학생들 반응이 좋아서 만족스러운 수업이 되었던거 같구요. (이시키들은 사실 그냥 진도 안 나가는 게 좋았던 걸지도..)


교육에 관련한 학도로서 이것저것 고민하고 있는 요즘인데, 자료 정리를 하다가 이건 피지알 분들도 보시면 좋겠다 싶어서 정리해서 이렇게 올립니다. 첫글이라 중언부언 하는데 용서해주시길 바라며..