|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
이전 질문 게시판은 새 글 쓰기를 막았습니다. [질문 게시판]을 이용바랍니다.
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
08/07/03 22:43
확실하진 않습니다만,
(3^n)/n!를 summation 하면 exp(3)이 됩니다.(by Taylor) 즉 X_n의 부분합을 아무리 해도 exp(3)보다 작죠. (모든 X_n는 non-negative이므로) 그러므로 임의의 X_n은 exp(3)보다 작습니다 --> bounded monotone decreasing에 non-negative이고 upper bound가 존재하므로 당연히 수렴하겠죠. 대수 손놓은지 5년 되서 Archimedean property가 뭔가 했는데, 아마 사용한다면 Taylor Series와 관련해서 이용될거 같네요. 도움이 되셨는지..(문제 의미가 잘 해석이 안됩니다 실은..^^;) cf. 보나마나 극한값은 0일테구요 (summation이 수렴하니까) Archimedean Property는 www.wikipedia.org에서 검색해보세요.
08/07/03 23:07
해석학 문제네요. 3^n / n!이 bdd 임을 보이는건 어렵지 않습니다. 다만 Xn은 bdd이긴 하지만 monotone이 아니므로 Monotone Convergence Thm.(모노톤 바운디드인지 모노톤 컨버젼스인지 햇갈리네요;;) 을 적용할수가 없습니다. 알키미디언도 별로 적용할 필요가 없어 보이는데요?;
풀이는 5!이 120이고 3^5가 243 6!이 720이고 3^6이 729정도 되니까.. Xn(n>=7) 부터는 감소하게 됩니다. 정확히 말해서 X(n) <= (10!/3^10)*(1/2)^(n-10) 이고 (1/2)^n-10이 0으로 수렴하는 수열이므로, abs(Xn - c) < An 이고 An 의 limit이 0이면 Xn 이 c로 수렴한다는 thm.에 의해서 위 수열이 수렴함을 증명할 수 있습니다. (비교판정법을 적용해도 같은결과가 바로 나옵니다. Xn < Yn 이고 Yn->0 => Xn -> 0)
08/07/03 23:15
아. .그리고 n = 1, 2 정도의 작은 n에 대해서 decreasing이 아니기 때문에 (n=1일때 3, n = 2일때 4.5) monotone sequence가 아닙니다. 물론 ultimately 는 decreasing 입니다만..
굳이 Monotone Convergence로 가시려면 처음 몇항을 제외하고 그 이후의 항들이 decreasing이라는것을 보여야 하고, 또 수열이 bdd 임을 보여야 하는데, 보통의 경우에 bdd임을 보이려면 수학적 귀납법을 써야 합니다. 이 과정이 상당히 귀찮죠. (decreasing역시 수학적 귀납법을 사용해야 하는 경우가 많습니다.) 그래서 부득이한 경우가 아니면 차라리 cauchy를 쓰지 MCT는 좀.. 귀찮죠. 그리고 Archimedean property는 해석학에서는 말 그대로 'property'로 받아들입니다. 증명을 하긴 하지만 자세한 과정은 대수에서.. 내용 자체는 너무나 trivial한 내용으로써 '자연수의 최대수는 존재하지 않는다' 정도로 이해하시면 되겠습니다.
|
||||||||||