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11/03/31 10:49
0.9999=0.9999..... 이미 근사를 두었으니.
0.9999=1이 되는거 같네요. 제목에는 무한값이었네요. 이상한 댓글이 되어버린..
11/03/31 10:50
결국 이 문제는 "무한의 합이 유한이 될 수 있다.", "무한 집합이 하나의 집합이 될 수 있다."를 받아들일 수 있으냐 마느냔데
한번 제논의 역설에 대해 알아보시는 것도 좋을 것 같습니다.
11/03/31 10:59
0.999999999999999 는 1과 다릅니다. 즉 9가 유한개 있다면 이미 1과 값의 차이가 납니다.
0.999999..... 9가 무한히 많이 있을때 1이 됩니다. 여기 들어가는 개념이 극한인데요 0.999999..... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 이렇게 무한합에 극한을 취하면 1로 수렴한다는 걸 알 수 있습니다. 실제로 무한등비급수의 모양입니다. 초항이 0.9이고 등비는 0.1 이네요.
11/03/31 11:02
맞습니다.
이건 중학교 버전으로도 설명이 가능하고 고등학교 버전으로도 설명이 가능합니다. 중학교 버전으로는 X=0.3333333............. (1/3) ① 로 놓고 10X=3.3333333......... ② 로 놓고 ② 에서 ① 을 빼면 9X=3 , X=1/3..... ③ 즉, 1/3 = 0.333333..... 에서 양변에 3을 곱하면 1=0.999999......... 가 됩니다. 고등학교 버전으로는 무한등비급수로 설명이 가능한데 0.999....... 에서 이 순환소수는 초항이 0.9이고 등비가 0.1인 등비수열의 총합입니다. 여기서 무한등비급수를 구하는 공식이 무한등비급수 = 초항/(1-공비) 이므로 무한등비급수 = 0.9/(1-0.1) = 1이 됩니다. 따라서 0.99999999...........와 1은 같은 수 입니다.
11/03/31 11:35
0.9999.... 와 1은 완전히 동일한 수를 나타냅니다.
매번 돌고도는 떡밥인데, 아마 젊은피가 등장할때마다 한번씩 회자되는게 아닐까 싶습니다. 말씀해주신 증명은 사실상 무결하지만, 지적하자면 문제삼을수 있는 부분이 있는데 둘째줄에서 셋째줄로 넘어갈때 0.9999.. = 1/10(0.09999..) 라는 부분입니다. 고교시간에 무한소수로 표기된 수의 사칙연산에 대하여 모두 정확히 증명하지는 않습니다. 때문에 이경우 10진법으로 쓰여진 유한소수일때 1/10 을 곱하면 자리수가 하나씩 밀린다는것이 무한소수일때도 여전히 성립한다는것을 보여야만 하겠죠.
11/03/31 11:55
여기 묻어서 질문 하나 드릴게요;;
예전에 친구랑 대화하다가 친구가 1.99999....랑 2랑 뭐가 더 크게?(혹은 0.9999...랑 1 이었던가? 전자였던 것 같은데 기억이 애매하네요;;) 해서 제가 둘이 같은 거 아냐? 했더니 친구가 1.999999...가 더 크다고 하더군요. 식으로 풀면 그럴 수 있다고. 말이 안된다고 생각해서 약간 넌센스식인가? 하고 자세하게 물어볼려고 했는데 순간 전화가 오고 바쁜 일이 생기는 바람에 대화를 마무리 하지 못하고 헤어졌습니다. 이후 잊고 있다가 오늘 갑자기 생각이 났는데 이게 무슨 얘기인지 혹시 아시나요?
11/03/31 12:06
0.9땡 이마치 극한의이야기인듯이 1로 다가간다고 생각하는 분들이있는데 그게 아닐라 그냥 같은겁니다. 일로수렴한다고 할때의 이퀄과 저 이퀄은 아예다릅니다.
증명할방법은 위에서 이미 여러개가 나왔네요 [m]
11/03/31 13:24
고등학교까지 갈 것 없이 중학교 때 배우는 개념 아닌가요? 순환소수라고 반복되는 숫자 위에 점 땡하고 찍는거 있잖아요.
보통 교과서에선 이렇게 증명할 겁니다. 0.999999... = x 10x = 9.999999 10x - x = 9x = 9 따라서 x=1 이렇게요.
11/03/31 21:24
무한이라는 개념이 현실에 없는 것이라
원래 처음 0.99999...=1 라는 것을 배울때 이상하게 생각되는 것은 당연합니다. 이전에 배웠던 산수,수학과 다른 패러다임에 있기 때문에 꽤 충격적(?)이지요. 증명이고 뭐고간에 지금은 마음에 와닿지 않을 수 있습니다만, 나중에 무한개념을 응용한 미적분같은거 할때 쯤이면 저절로 당연하다고 생각될 겁니다.
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