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17/06/07 00:57
rank는 정확히는 column space의 dimension을 의미합니다. 아주 간단히만 표현하면, 주어진 column vector(와 얘네를 선형결합해서 만들 수 있는 모든 벡터)를 전부 만들 수 있는 가장 작은 선형독립 집합의 크기입니다.
말씀하신 경우 {첫 번째 열, 세 번째 열} 이렇게 잡으면 4개의 열을 다 표현할 수 있어서 (두번째 열 = 첫번째 * 2, 네번째 열 : 첫번째 + 세번째) rank가 2구요. rank가 1이려면 하나의 벡터를 선형결합해서, 즉 하나의 벡터를 n배해서 4개의 column vector를 다 만들 수 있어야 하는데, 첫 열과 세번째 열은 선형독립이라서 불가능합니다.
17/06/07 01:03
이해하신 부분 중에서 잘못된 부분은 "첫번째 열과 세번째열의 합이 네번째 열이므로 두번째 열이 독립된 열" 이 부분입니다. 첫 번째 열과 세 번째 열의 합이 네 번째 열이라고 첫번째, 세번째, 네번째가 독립되지 않은 게 아닙니다. {첫 번째, 세 번째, 네 번째} 이렇게 집합을 고르면 independent하지 않겠지만, {첫 번째, 세 번째} 이렇게 집합을 고르면 independent하기 때문이죠. 물론 {네 번째} 이렇게 골라도 independent 하겠지만, 이 경우 column space를 다 표현할 수가 없습니다. {두 번째, 세 번째} 이렇게 고르면 이것 또한 independent합니다. 즉 어떤 컬럼이 항상 independent/dependent한 게 아니고, set을 잡아야 판단할 수 있습니다.
여튼 그래서 "서로 관계가 없으면서 (=linearly independent하면서) 주어진 space를 다 표현하려면 최소 몇 개의 벡터를 골라야 할까?" 로 요약됩니다.
17/06/07 04:34
쉽게 말해서 두번째와 네번째 열은 첫번째와 세번째 열의 linear combination이라서 rank(A) = 4(총 열의 갯수)-2(두번째와 네번째를 뺀) = 2가 됩니다.
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