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10/03/18 22:36
행렬은 벡터와 다르다고 보시면 됩니다. 일반적으로 벡터는 벡터 합과 inner product가 잘 정의될 때 벡터라고 부르는데요... 뭐 그건 그렇다 치구요. 일반적으로 행렬은 정의상 벡터의 상위 개념이라고 보기 좀 힘들 수도 있는데, 실제로는 행렬이 뭔가 대상을 서술할 때가 많고, 주로 벡터를 다른 벡터로 transform할 때 씁니다. 물리학에서는, 어떤 좌표에서 보든 같은 대상을 서술하는 수학적 대상이 필요한데, 이것을 텐서라 합니다. n차원 텐서의 경우 rank 0의 텐서는 스칼라로 나타나고, rank 1의 텐서는 n개의 component를 가지는 벡터로 나타나고, rank 2의 텐서는 n^2의 component를 가지는 행렬로 표현할 수 있고... 등등입니다. 물론 텐서의 수학적 정의는 tensor product의 특수한 경우이고, 이 tensor product를 정의할 때 dual space 왱알앵알할 텐데 제대로 배운 적이 없어서 잘 모르겠네요. 하여튼 반대라고 보기는 좀 힘듭니다.
그리고 두 번째 질문은 notation이 명확하지 않아서 명확한 답변을 해 드리기가 힘드네요.
10/03/18 22:40
결론부터 말씀드리면 행렬과 벡터는 상위 개념같은건 아니고, '같은 것' 입니다(!?!?!?).
사실 정의를 어떻게 하느냐에 조금 다르긴 하지만 일반적인 것대로 따라가면 벡터와 행렬은 다른 데서 나오긴 하였지만, 행렬에서 행의 수가 1이거나 열의 수가 1일 때에는 생긴 것과 온갖 성질이 벡터와 비슷하다고 하여 관습상으로 이러한 특수한 꼴의 행렬들을 벡터로 취급할 수 있는 것이지요. 그래서 열벡터, 행벡터와 같은 말을 쓸 수 있습니다. 결국 우리는 벡터는 1xn 행렬과 '같다' 고 취급하는 것으로 볼 수 있겠습니다(이에 대해서는 조금 뒤에 이야기해볼게요). nx1 행렬도 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터의 내적과 관련해서는, 벡터를 1xn 행렬로 본다면? 어.. 행렬의 곱이 잘 정의되어 있지 않네요. 차원이 n인 내적공간(...)에서 정의된 벡터 q = (q1, q2, ..., qn) 와 p = (p1, p2, ..., pn)의 내적 p dot q 는 p dot q = sum_ i=1 ^n p_i q_i 로 정의됩니다. 그래서 벡터를 행렬로 취급해서 다루는 경우에는, 보통 p 를 1xn 행렬, q를 nx1 행렬로 취급하는 경우가 많습니다. 그러면 행렬의 곱이 잘 정의되고 곱해진 행렬의 원소는 내적의 정의와도 상응하죠.
그렇다면 과연 벡터는 nx1 행렬과 같다라고 했는데.. 또 1xn 행렬과 같다고 볼 수도 있고.. 그럼 1xn 행렬과 nx1 행렬이 같은건가 ?!?!?!? 수학은 본디 엄밀성을 추구하는 학문인데 이런 애매한 경우가! 라고 물어보신다면, 이건 어떻게 보면 철학적인 문제이고 우리가 '실질적으로 같은 개념'을 추상화해서 생각하고 있다는 걸 주목해 보시면 될 것 같습니다. 수학에서는 이렇게 실질적으로 같은 것들을 동형(isomorphic)이라고 합니다. 즉, 1xn 행렬이나 nx1 행렬, 심지어는 a*b=n 인 a*b 행렬도 아니면 n-1차 다항식도(?) 벡터공간의 입장에서 보면 결국에 같은거고.. 그래서 벡터를 1xn 행렬로 봐도 nx1 행렬로 봐도 무방하다는 것이지요. 이 얘기는 수학과 전공과목들을 들어보시면 들으실 수 있을것 같긴 한데, 모르셔도 아무런 상관이 없습니다. 이야기가 조금 샜네요. 도움이 되었길 바랍니다.
10/03/19 00:27
벡터를 행렬로 볼 때 두 벡터 a, b의 내적을 설명하려면 보통
a, b를 nx1 행렬이라 정의하고, a·b=(a^t)b로 정의합니다. (a^t : a의 전치행렬). a의 전치행렬과 b의 곱셈. 그러면 a^t 는 1xn 행렬이고, b는 nx1행렬이므로 곱셈이 가능하고 결과는 1x1 행렬이 나오므로 상수취급합니다..
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