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09/09/01 17:48
쌍곡선위의 한점을 (t,2루트t)라 가정하고 쌍곡선식을 미분을이용해 (t,2루트t)에서의 접선의기울기를t에관한식으로구한다음 (-1,2)와 (t,2루트t)의 변화량과 아까구한 접선의기울기가 같다라고놓으면 t값이구해지고 t로나타낸기울기식에 대입해서 기울기찾으면 기울기와 한점을아니까 구할수있지않을까요;; 이방법은아닌듯 ㅠ 도움이안되서죄송합니다;
09/09/01 17:50
치환미분을 씁니다.(수정. 치환이 아니라 합성함수 미분이군요 ㅠㅠ 미분적분 과정입니다)
일단 양 변을 x에 대해 미분하면 dy^2/dx = 4x/dx (dy^2/dy)*(dy/dx)=4 2y*dy/dx=4 이고 기울기는 dy/dx이므로 dy/dx=4/2y
09/09/01 17:58
딴지는 아니지만 저건 포물선의 공식입니다 ;;
일단 윗분 말대로 미분을 하면 좌변인 y^2 은 x 로 미분했기때문에 2y * y' 이 되게 되구요. 좌변은 4x 에서 미분해서 4 가 되게 됩니다. 즉 양변을 미분하면 2y * y' = 4 가 되게 되고 양변을 2y 로 나누면 y' = 2/y 가 되게 되죠, 이때 점이 (-1,2) 이니까 y =2 를 대입하시면 기울기 y' = 1 이 나오게 됩니다. 기울기와 점 1개를 알면 뭐 선 방정식은 금방 나오겠죠. y-2 = 1*(x+1) 즉 y=x+3 이 됩니다.
09/09/01 18:04
방화동김군님// 아 포물선이었죠? 제가 헷갈렸네요. 근데 구우사마님 말씀대로 저 그래프 위의 점이 아닙니다. 그래프 위에 점이면 미분값으로
기울기 구하고 그걸 바탕으로 상수 n을 구하면 쉬운데 위의 점이 아니니까 문제네요.
09/09/01 18:08
구우사마님// (-1,2) 가 포물선을 지난다는게아니라 (-1,2)를 지나는 직선의 접선의방정식을 물어보시는것같은데요
미분과정은 Kaise님이 정확히써주셨고, 질문내용외에,,고등수학하시면 수능을목표로하시는 고3분같은데 수능이 72일남은 이시점에서 이차곡선을 좀더 심도있게 미분하여 접선의 방정식을 증명하는것보다 y=mx+p/m 으로 재빨리구하시고 공간에대한 이해도를 높히시는편이 이과수험생에게 더 좋은 길인듯하네요.
09/09/01 19:51
윗분들 답변도 많고, 좀 늦었지만, 문제의 답보다 문제푸는 사고를 하시는데 도움이 되실까해서 리플 답니다.
윗분들 말씀대로 포물선 위의 점 (x1,y1)에서의 접선의 기울기는 2/y1이 됩니다. 보기 편하게, 계산하기 편하게 하기 위해서 포물선 y^2=4x의 한점을 (k^2/4 , k)로 생각합시다.(k가 y좌표죠.) 이 점을 지나는 접선의 기울기도, 점도 k로 표현이 되었기 때문에 접선의 식을 세워 k를 구해 봅시다. 포물선의 볼록한면 바깥쪽에 있는 점에서 부터 시작되는 접선이므로 접선은 2개, 고로 k값은 2개로 나올 것이고 최종 방정식은 k에 관한 2차식이 나올 것이라고 충분히 예상할 수 있습니다. (근의 갯수와 연계지어 방정식의 형태를 예측하면서 문제를 푸는 것은 고등수학풀이 많은 도움이 됩니다.) 위에서 미분한 결과, 포물선 위의 점의 좌표를 가지고 직선의 식을 세워보면 y - k = 2/k (x - k^2/4) 라는 식이 되었습니다. 이 식이 (-1, 2)를 지나길 바랍니다. 2 - k = 2/k (-1 - k^2/4) 이 식을 정리하면 k^2 - 4k - 4 = 0 가 되네요 뭐 정수로 딱 떨어지지 않아 끝까지 계산은 해보지 않았습니다. 다만 외부의 점에서 그은 포물선의 접선은 위엣분이 말씀하신대로 y=mx + p/m으로 푸는것이 좋습니다. (이 방법 또한, 접선이 2개가 나올 것이므로 너무도 당연히 m에 관한 2차식이 나오게 됩니다.) 직선은 두 점, 혹은 한 점과 하나의 기울기로 만들어지는 것이기 때문에 하나의 점이 주어진 상황에서 나머지 하나의 필요조건인 기울기나 점 중 어떤 것이 구하기 편한가를 생각하시면 판단하시고 푸는 것이 좋습니다.. 위의 문제는 기울기를 구하는 것이 이미 존재하는 공식도 있고 구하기가 훨씬 편하죠. 뭐 문제가 "외부의 점에서 포물선에 접선을 그었을때 만나게 되는 그 접점을 구하라", 같은 경우라면 제가 위에 풀어드린 방법이 더 나을수도 있겠습니다. 혹은 억지성은 있으나, "그 접점의 y좌표들의 합을 구하라" 한다면, 위의 k^2 - 4k - 4 = 0 에서 근과 계수와의 관계를 쓰면 4라는 답이 나오죠.. 과외 본능이 나와서,, 너무 길게 쓴것 같네요 조금이라도 도움이 되셨길 바랍니다.
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