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Date 2009/05/10 16:41:08
Name MoreThanAir
File #1 ddd.jpg (4.0 KB), Download : 3
Subject 미분 고수분들 질문 드립니다.


분자에 있는 함수가 분모에 있는 함수보다 증가율이 느리다는 것을 보이기 위해

이 limit의 값이 0으로 수렴함을 보여야 하는데요...

일단 이 식 자체로 볼 때 아래쪽이 exponential이고 위쪽은 polynomial인데 log쪽은 어차피 앞의 n^k에 종속될 것 같으니

직관적으로는 0에 수렴하는 것이 맞습니다.

그런데 일단 증명을 하려면 로피탈의 정리를 써야 하는데 윗부분이 식의 꼴이 복잡해서 미분을 몇 번 해도 간단한 꼴이 나오지 않네요.

이 식이 0으로 수렴함을 어떻게 보이면 될까요??

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까야제맛
09/05/10 16:58
수정 아이콘
분자가 n^k보다 크다는것을 증명후 n^k / 2^n 가 0으로 가는걸 보여주면 되지 않을까요?
MoreThanAir
09/05/10 17:02
수정 아이콘
까야제맛님// 안 그래도 n^k와 2^n 에 대해서도 limit을 구해야 하는데... 그것도 같은 문제인 것 같아요. 로피탈 정리를 쓰면
분자는
k(k-1)...n으로 갈테고 아래는 ln2^k*2^n으로 갈텐데
k가 상수이니깐 k번 미분했다고 가정하면 위는 1이 되고 아래는 여전히 2^n이 남아서 전체 limit은 0으로 수렴하겠군요. k의 값이 상수임을 고려해서 증명해야겠습니다.

답변 감사드립니다-
MoreThanAir
09/05/10 17:11
수정 아이콘
까야제맛님// 분자가 n^k보다 크면 분자를 더 크게 만든 인자를 무시하는건 아닌 것 같아요. limit의 값이 무한대로 간다면 분자가 n^k보다 크면 n^k에 대해 증명하는 것으로 충분하겠지만 일단은 분모의 증가율이 더 큰 상황이니 n^k보다 더 큰 분자를 n^k로 바꿔서 생각하는건 좀 아닌 것 같네요. 뭔가 다른 방법이 있어야 할 것 같네요...ㅠ.ㅠ
MoreThanAir
09/05/10 17:55
수정 아이콘
혹시 나중에 필요한 분이 있을까 자답합니다.

일단 n^k logn^k = o(n^2k) 임을 보입니다 n^k가 약분이 되어 쉽게 증명이 되네요.

그리고 n^2k = o(2^n) 임을 보입니다. 그려면 transivity에 의해 증명이 되네요.
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