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09/01/08 20:25
1. 극한의 개념을 이용할 때 이렇게 폐곡면과 면적이 모두 극한을 취하는 첨자에 대해서 수렴하는 형태라면 당연히 점이 됩니다.
.. 이게 말이 왜 이렇게 어려워지냐하면... 자기복제 모형 (1/3만 잘라서 구부리고 또 각각 1/3을 잘라서 구부리고 .. 하는 형태) 의 경우에는 극한을 취할 때 정수차원이 아닌 1.5차원 (면적은 무한이나 부피가 없는 둥) 따위의 차원 개념이 탄생하기 때문입니다. 위 경우는 그런 경우가 아니라서 그냥 점이 됩니다. (쿠..쿨럭. 맞나? 하도 대강 배워서..) 2. uncountably many (1번, 2번.. 이렇게 지정할 수 없는 무한개) 의 경우, 어느 것이 더 많다는 비교 자체가 불가능합니다.
09/01/08 21:12
항즐이님// 두번째 문제에서, 예전에 어디선가, 짝수 개수가 자연수 개수보다 작다. 를 증명하는걸 본것 같은데..
이따만한 원이 크기가 안습인 원보다 크다는 것을 증명만 하면 같은 원리로 증명할수 있지 않나요?
09/01/08 22:17
두 문제다 동형에 대한 질문 같네요...
1번 문제에서 점이라는 것이 순수하게 기하학에서 말하는 점의 개념이라면 점과 원은 위상동형이 될 수 없죠.. 2번 문제에서 점의 수는 크기와 무관하게 둘다 실수개의 개수를 가짐으로서 같다고 할 수 있습니다... 더 놀라운 것은 원 안의 점의 개수는 실수의 개수와 같고, 구안에 속한 점의 개수와도 같고, 심지어는 n차 공간의 구에 속한 점의 개수와도 같습니다....칸토어가 이 증명을 하면서(칸토어는 사각형을 썼지만요) "보고 있어도 믿을 수 없다"는 말을 한 것으로 유명합니다. 물론 수학적으로는 꽤나 복잡한 증명이긴 합니다만 ^^;;
09/01/08 22:29
https://pgr21.com/zboard4/zboard.php?id=freedom&page=2&sn1=&divpage=2&sn=off&ss=on&sc=on&keyword=수학&select_arrange=headnum&desc=asc&no=8488
예전에 제가 쓴 글인데 이글을 참고하시면 괜찮을듯 합니다.(사실 문제가 좀 있는 글이지만요 ^^;;) 그리고 무한집합의 개수에 관련해서는 얼마나 무한히 많냐라는 개념으로 농도라는 개념을 씁니다.. 자연수의 농도와 실수의 농도를 비교하는 것은 쉽지 않은데. 자연수 집합의 모든부분집합의 모아놓은 멱집합의 농도가 실수의 농도와 같다고 알려져 있습니다.....이것도 역시나 증명은 꽤나 복잡합니다.
09/01/09 09:37
리플및 답변 감사드립니다~
수학이 점점 재미있어 지는군요 ^^;; 쌓아놓았던 수학책을 다시 펼쳐보아야 겠습니다~~ 알고 싶은게 많아졌네요~
09/01/09 10:48
1번 문제인 경우는 쉽게 이야기해서 원이라는 도형의 폐곡선이 무한대로 작아진다고 해도 원 안쪽의 폐곡면 역시도 무한히 같은 비율로
작아지기 때문에 무한으로 간다고 해도 점이 될 수 없습니다. 눈으로 볼 수도 없고 느낄 수도 없지만 무지막지하게 작은 원이 있다고 봐야 하는 거죠. 사실 크기에 대한 개념은 무한히 큰 것도 있을 수 있겠지만 무한히 작은 것도 있을 수 있다고 봐야 하거든요. 다른 이야기를 하자면 2.99999999999999999~~~~~ 이런 식의 숫자가 3과 거의 같다라고 이야기 할 수 있지만 결국은 3은 아닌것과 마찬가지입니다. 2번 질문은 같은 수의 점이 있다고 봐야하죠. 1번의 의문과 같은 맥락으로 아주 큰원에 색칠을 했는데 그것을 아주 안습인 크기로 축소를 시켰다고 봅시다. 그러면 큰 원과 작은 원 안의 점수 갯수는 당연히 같을 수밖에 없죠.
09/01/09 11:08
The_CyberSrar님//
아닙니다. 2.999999~가 반복되는 무한소수, 즉 극한값은 3과 같죠. 거의 같은 게 아니라 3입니다. 같은 이유로 원의 폐곡선은 반지름에 대한 1차 함수이며 그 극한은 반지름이 0으로 갈 때 함께 0으로 수렴됩니다. 무지막지하게 작은.. 이 아니라 극한으로 보내는 경우를 생각해야죠. 수렴하지 않는 경우이면 모르겠으나 수렴합니다.
09/01/09 12:19
항즐이님// 무한히 작은 크기, 즉 0으로 수렴한다면 원도 없고 점도 없을 것 같은데요.
고교 수학과정에서의 극한의 수렴, 발산 정도를 생각해서 단순히 생각한다면 반지름이 0이 되므로 원이 아니다라고 결론 내릴 수 있겠습니다만 원이라는 폐곡선이 존재하는 도형인 이상 이것을 무한히 작게 만드는 것은 반지름만 0이 되는 것이 아니라 원을 구성하는 폐곡선 마저도 無의 상태로 보내 버리는 것으로 봐야 할 것 같은데요. 저는 기존에 내린 결론인 무한히 작은 원이 존재한다는 것을 부정해버렸군요..크크 x^2+y^2=0 은 점으로 봐야 할까요? 2.9999999=3이 맞겠군요. 중학생 과외할때 설명했었는데 기본적인 실수를 ㅠㅠ... 요새는 수학쪽은 처다도 보지 않아서...부끄럽네요. 2.999=x , 10x-x=27 ,x=3 ;;;
09/01/09 12:50
The_CyberSrar님//
아니죠. 점은 원래 크기가 없습니다. 위치만 있으면 되죠. 한 점(즉 어떤 위치)으로 수렴해 가기 때문에 점이 된다고 보는게 맞습니다. 주어진 원의 식은 당연히 점입니다. 예전에 본고사에도 나왔었죠. 문제를 풀면 반지름 0인 원의 식이 되어 점의 좌표를 표현해야 정답처리가 되었습니다.
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