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통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2017/11/17 02:18:41
Name 솔지
File #1 Z.png (686.7 KB), Download : 22
Subject [질문] 고등학교 수준의 표준정규분포 문제입니다.


실제로 있는 문제가 아니라 대충 응용해서 어떤 점수가 몇%에 위치에 있는지 구하려 하는데요.
주어진 조건이 평균 점수랑 일정 점수 이하가 몇 %인지, 그리고 구하고 싶은건 특정 점수가 몇%에 위치해 있는지에요.

구체적인 예로는
40점 이하가 46.9%이고, 평균이 40.1점일 때
표준정규분포표에서 Z값을 찾은 뒤에 이걸로 분산을 구하고,
다시 60점이 몇%에 위치하는지 찾으려 해요.

근데 이 %가 50이 넘을 때랑 안 넘을 때랑 어떻게 표에서 z값을 찾는지 기억이 안나네요... ㅜ

위 말고 평균이 35점이고 40점 이하가 57.1%로 %가 50이 넘는 경우도 있어요.
이게 50% 위 아래로 엄청 기초적인 문제였던거 같은데 까마득하네요.

공식을 단순하게 대입하고 표 보는거 정도만 할 수 있는 수준이고,
이 둘에 z값만 찾아주셔도 나머진 알아서 계산기 두들겨 보겠습니다.

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17/11/17 02:40
수정 아이콘
(수정됨) (점수 - 평균) / 표편 = Z 입니다. 정규분포표는 z값에 따른 낮은 값부터의 누적비율이고 좌우대칭이므로 평균 지점 위쪽으로만 표시되어 있습니다.
따라서 40점 이하가 46.9%라는 이야기는, 평균에 대하여 0.1점 차이이므로, 40.2점 이상이 46.9%라는 이야기와 같습니다.
결국 40.2점까지의 누적비율이 53.1%가 됩니다. 정규분포표에서는 0.531에 근접하는 Z수치를 찾으면 되겠습니다. 세로는 Z의 1자리수 및 소수 첫째 자리이고, 가로는 소수 둘째 자리입니다. 마지막으로 40.2 - 40.1 / 시그마 = Z 이므로 Z값이 정해지고 나면 시그마도 정해지고, 60점에 대하여 Z값을 다시 계산하시고, Z값의 위치에 맞는 퍼센트를 확인하시면 되겠습니다.
40의 누적분포 53.1%는, 0.1/시그마 = 0.07~0.08 정도이고, 0.08로 놓았을 때 시그마 = 1.25입니다.

두 번째의 경우, 40점 이하가 57.1%라는 말은,
즉 40 - 35 / 시그마 = (누적비율이 0.571이 되는 지점의 Z값) 이고, 여기서의 Z값은 0.18입니다.
따라서 5/시그마 = 0.18이고, 시그마는 27.78이 됩니다. 이후는 같습니다.
17/11/17 03:16
수정 아이콘
(수정됨) 구체적인 설명에 직접 풀어주시기까지 감사합니다.

그런데 첫번째 경우 실제로 대입해 보면 60점일 때 z값이 15.92가 나와서 표에서 찾을 수가 없게 되는데 맞는 값인가요? (60-40.1)/1.25=15.92 아니면 제가 적용을 잘못하거나 표준정규분포를 안 따라서 그런 경우인건가요?
17/11/17 03:49
수정 아이콘
Z값이 과하게 크게 나와서 표에서 찾을 수 없는 것이 맞습니다. 보통은 표 안에서 값을 찾을 수 있도록 값을 조정하는데, 저도 대학교때 교수님이 출제를 하고 숫자 조정을 안 하시는 바람에 표를 벗어나는 값이 나온 적이 있습니다.
17/11/17 04:13
수정 아이콘
이게 50점으로 해도 표에 값이 없는게 비슷한데, 그럼 50점 넘는 사람조차 1%가 안 넘는단 소리인가요? 그 정도 시험은 아니거든요; 적어도 10% 이상은 5~60점이 넘는 걸로 아는데 다른 분포를 쓰면 좀 제대로 된 결과가 나오나요? 몇천명은 본 시험이라 통계에 들어맞을줄 알았는데 가면 갈수록 이상하네요...
17/11/17 04:31
수정 아이콘
(수정됨) 실제 시험 점수 통계가 있는 상황이신가보네요?
분포가 대칭이 아닐 가능성이 커 보입니다. 40.1점이 평균이고 40점 이하가 47% 정도면 중간값은 평균보다 더 크겠네요.
시험의 종류에 따라서 다르겠지만 경험상 시험 성적 분포에서 이런 경우를 많이 봤습니다.
거의 시험을 던지고 나간 사람들이 (0점, 5점, 10점...) 평균을 대폭 낮춰놓는 바람에 전체적으로 left-skew 돼서 중간값이 평균보다 높아지죠...
17/11/17 04:55
수정 아이콘
아, 계산+논술이라 0~10점이 상당히 쉽게 나올 수 있으니 해석하신게 맞는거 같네요!
이게 아예 그림이 다르면 %가 비슷하게라도 안 나오는 거였군요...
말씀해주신 것과 비슷하게 생긴 분포표를 찾아서 다시 적용해보겠습니다.
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