자 그럼 이제 본격적으로 미분 방정식을 풀어보지요. 당연한 이야기지만, 미분 방정식의 차수가 올라갈수록, 선형이 비선형이 될수록, 상미방이 편미방이 될수록 문제는 점점 더 어려워집니다. 근데 우리는 미천한 늅늅이들이잖아요? 그러니까 당연히 첫 번째 토픽은 1차/선형/상미방이 될 수밖에 없습니다.

1차 상미방의 일반형은 F(x,y,y') = 0 이겠죠. 하지만 선형이라는 조건이 들어가는 순간 이 일반형은 좀 덜 난해한 형식으로 바뀝니다:
A(x)y' + B(x)y = q(x)

로요. 물론 이 모양만으로도 우리를 겁먹게 하기에는 충분합니다. 하지만 우리는 수학자들이 아니라 공학자들이잖아요? 그렇기 때문에 수학자들처럼 '모든 경우에 풀리는 궁극의 해법' 은 별로 궁금하지 않습니다. 따라서, 1차 선형 상미방이 실제 자연계와 대응되는 경우만 고민하면 되는 거죠. 그래서 우리는 A(x) 가 0 이 아닌 방정식만 풀 겁니다. (사실 A 가 0 이라면, y' 의 계수가 0 이잖아요. 그럼 미방이 아니기도 하기 때문에, 우리는 고민하지 않을 겁니다??) 그런 조건에서 방정식의 양쪽을 A 로 나눠버리면, 비로소 우리가 오늘 풀 형태가 나오게 됩니다:

y' + p(x)y = q(x)

로요. 이공학에서 다루게 되는 시스템이 1차 선형 상미방으로 표현된다면, 그 중 99.9% 는 이 형태일 수밖에 없습니다.

그리고.... 두둥! 이 형태의 방정식은 '무조건' 풀리게 되어있습니다. 더 좋은 소식은, 그 방법은 이미 잘 정리되어 있기 때문에, 개인의 창조성을 요구하지 않습니다. 요구되는 것은 중학교 때 배우는 이차방정식의 근의 공식 정도를 유도할 수 있는 능력뿐입니다. 우와아아아앙?

1. q(x) = 0 인 경우, homogeneous case

이건 뭐 고민할 필요가 없습니다. 남은 놈들을 딱 보면 y' + p(x)y = 0 이잖아요. 이걸 아무거나 한 놈들 이항시킨 뒤 양쪽을 y 로 나누면 그만이죠.

y' / y = -p(x)
적분(y'/y) = -적분(p(x))
로그y = -적분(p(x)) + C
y = A*exp(-p(x))

두둥~!!! 다 풀었습니다.

2. q(x) 가 0 이 아닌 경우, 즉 nonhomogeneous case

이게 좀 난해한데, 앞에서 말씀드렸다시피 이미 잘 정리된 해법이 나와 있습니다. 이 이야기를 하기 전에, 중학교 때 근의 공식을 어떻게 유도했는지 좀 돌이켜보죠.

x^2 +4x + 2 = 0

이런 방정식은 인수분해로 풀 수가 없습니다. 아 물론 해당 인물의 수학적 센스가 비범하면 가능하겠지만, 우리는 비범하지 않은 사람도 따라 할 수 있는 일반적인 접근 방법을 공부하는 중이니까요.

이 방정식을 풀 때 가장 중요한 키포인트는,
(A) x^2 + 4x + 4 는 (x+2)^2 이잖아? 원래 문제가 "x^2 + 4x + 4 = 어떤 숫자" 의 형식으로 주어졌으면 참 좋았을 텐데.... 라는 도를 넘어서는 욕심과
(B) 그 욕심을 현실로 이루어내는 근성입니다. 자 보죠.

x^2 + 4x +2 = 0 은, 우리가 원하는 형식으로 주어지지 않았지만, 그 모양으로 바꿀 수가 있습니다:
x^2 + 4x + 4 = 2 이렇게요. 그리고 나면
(x+2)^2 = 2 로 정리해서
x+2 = +/-2^0.5 로 풀어낼 수가 있는 거죠!


[하하하하 말도 안 되는 발상이었는데 결과가 좋군요!]

Nonhomogeneous 1st order linear ODE 도 마찬가지입니다. 자 시작해보죠.

y'+py = q 는 그 모양 자체로는 풀리지 않습니다. 근데 비슷하게 생겼지만 풀리는 놈들이 가끔 있긴 해요. 예를 들어서 다음의 방정식을 볼까요?

xy'+y = x
이런 놈이요. 생긴 건 이상하지만, 좌항이 사실은 xy' + y = (xy)' 이잖습니까? 그러니까 위 방정식은
(xy)' = x
이고, 이걸 적분하면
xy = 0.5 x^2 + C 가 된단 말이죠! 그럼 최종 해는 y = (0.5 x^2 + C)/x 인 거고요.

즉, 방정식의 y'+py 부분을 어찌어찌 잘 정리해서 (어쩌고저쩌고*y)' 의 모양으로 만들 수 있다면, 그다음에는 방정식의 양변을 동시 적분하면 풀이가 끝난단 말이죠.

물론 원래 주어진 y'+py 가 저절로 그런 모양으로 생겼을 리는 없죠. 따라서, 위의 2차 방정식을 풀 때 양변에 +2 를 했듯이, 주어진 미방의 양변을 sigma (피지알의 특성상 특수문자가 지원되지 않으니까 s 를 쓰겠습니다) 로 곱해봅시다. 이 's' 를 수학 용어로 integrating factor 라고 부릅니다. 이놈의 수학적 의미는, 위에서 말씀드렸던 근의 공식 유도 과정에서 + 2 했던 그 놈과 전혀 다르지 않습니다.

그럼 주어진 방정식은

sy' + spy = sq
의 형식이 되죠. 우리는 이 방정식의 좌항이 sy' + spy = (sy)' 의 모양으로 정리되길 바랍니다. 왜 하필이면 (sy)' 이냐고요? 적어도 (sy)' 은 풀어 써보면 sy' + s'y 의 모양이 항상 나오기 때문에, sy' 항이 양변에서 서로 같다는 것이 자동적으로 보장되기 때문입니다.

그럼 남은 것은? sy' + spy = (sy)' = s'y + sy' 을 푸는 거죠. 윗줄에서 말씀드렸다시피 sy' 은 서로 캔슬되고, 남은 것은
s'y = spy, 혹은 s'y - spy = 0, 혹은 s' -ps = 0 이죠.

어? 이거 어디서 많이 봤는데?

네 맞습니다. 1 번 항목에서 다뤘던 homogeneous 1st order linear ODE 죠. p 앞의 부호만 반대가 되었습니다. 따라서 우리는 nonhomogeneous ODE 문제를 homogeneous ODE 문제로 바꿔버린 겁니다.

여기서 잠깐! 물론 원래 주어진 문제는 nonhomogeneous ODE of y 였지만 우리가 변환한 문제는 homogeneous ODE of s 입니다. 즉 이 문제를 풀고 나면 s 를 이용해서 원래의 문제를 한 번 더 풀어야 하긴 합니다. 근데 왜 굳이 이렇게 하냐고요? 님은 이 integrating factor 변환 없이 바로 풀 수 있음?



더 좋은 방법 없죠? 그러니까 그냥 integrating factor ODE 부터 풀고 그걸 이용해서 원래의 nonhomogeneous ODE 를 풉시다.

integrating factor 에 대한 ODE 는 s'-ps = 0 이죠. 그리고 그 답은 1번 항목의 결과와 같은 맥락이니, 우리가 이미 알고 있습니다.

s = A*exp(p(x)); 부호가 바뀐 이유는 y'+ps = 0 과 s'-ps = 0 의 부호 차이 때문입니다.

일 수밖에 없습니다. 이견은 받지 않습니다.

그리고 원래 주어진 nonhomogeneous ODE 는 s 를 다시 넣어줘서 풀면 그만이죠. 나머지는 그냥 산수지만, 그래도 일단 해보겠습니다. 선형 미방이라서 integrating factor 의 A 값은 전혀 중요하지 않으니, 그냥 A=1 로 놓고 풀겠습니다.

sy' + spy = sq
인데 우리는 좌항이 (sy)' 인 것은 이미 알고 있습니다. (그렇게 될 수밖에 없도록 s 를 정해줬으니까요)

따라서 (sy)' = sq 이고,
sy = 적분(sq)+C 이고,
y = {적분(sq)+C} / s 인 것입니다.

이 과정을 유식하게 다시 써놓은 이미지를 아래 첨부합니다. 아래의 유도 과정에서는 q(x) 대신에 f(x) 를 사용했습니다. 그리고 s(x) = 적분(sq)+C 를 제대로 풀어써 놨고, 대신 s 에 해당하는 심볼은 없습니다.



하하하하하하 이제 우리는 1차 선형 상미방 중, 공학적으로 의미 있는 모든 방정식을 풀 수 있습니다. 그럼 다음 시간에는 1차 비선형 상미방을 풀어보도록 하겠습니다. 우리는 이미 전체 공학 수학 중 2.5% 를 배웠습니다. 나머지 97.5% 정도야 뭐 애들 장난이죠.


[그만둬 이 xxx들아...!!!]