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10/02/22 02:59
풀어보진 않앗지만 AB=E A+B=E 이렇게 문제가 주어진거보니 A+B=E를 변형시키는 문제 같네요 A^2+AB=A =>A^2+E=A 이런식으로요
10/02/22 03:01
B가 A의 역행렬이라고 하면
A+B=E에서 A를 양변에 곱하면 A^2+E=A A^2-A+E=O입니다. 케일리-해밍턴에서 A^2-(a+d)A+(ad-bd)E=O이므로 a+d=1, ad-bc=1. (a-d)^2+4bc=(a+d)^2-4(ad-bc) =1^2-4*1=-3 입니다(아마 맞을꺼에요)
10/02/22 03:04
B를 E-A로 치환하고 AB = E에 대입하면
A(E-A) = E A-A^2=E A^2-A+E 가 나오니까 여기서 케일리 해밍턴을...
10/02/22 08:48
제가 알기론 케일리헤밀턴은 성립하지만 그 역은 항상 100% 성립하는 건 아니다고 알고있습니다;;
A²2-A+E=0 이 성립한다고 항상 (a+d)= 1 ,(ad-bc)= 1 가 성립하는건 아니라는거죠. 그 역으로 (a+d)= 1 ,(ad-bc)= 1 가 성립한다면 항상 A²-A+E=0 이 성립하는건 참이지만요. 이 문제를 푸는데는 이렇게 풀어도 지장없지만, 혹여 다른 문제가 나올때 헷갈리실까봐 적습니다. 말을 꺼냈으니 조금 자세히 설명드리면 A² - qA + pE =0 꼴을 만족하는 행렬A는 두가지 형태로 나눌 수 있습니다 첫번째는 A= kE 의 형태입니다. 이땐 (a+d)= q ,(ad-bc)= p가 성립하지 않습니다 ^^;(세세한 증명은 생략하겠습니다-_-;) 두번째는 (a+d)= q ,(ad-bc)= p를 만족하는 값을 가지는 행렬입니다.(이 문제에선 이 두번째형태가 사용되었지요) 참고로 말씀드리면 두번째형태의 경우도 (a+d)= q ,(ad-bc)= p만 만족하면 되기때문에 수많은 행렬이 있지요^^; 문제는 첫번째경우인데 여기서 k는 x² - qx +p =0 의 x에 관한 방정식의 두 근입니다(근의 공식으로 계산) 그런데 이 문제에서는 A² - A + E =0 이기때문에 x² - x +1=0 을 만족하는 값이 k가 될텐데 이 경우는 실수가 아닙니다. 문제에서 a b c d는 모두 실수라고 적혀있기때문에 만약 A= kE라면 k값이 허수가 나오는 이 형태는 문제에 모순됩니다. 따라서 두번째 경우만 생각해도 충분한것이지요.^^; 정리하자면 A=kE의 형태가 될 수 없다면(역행렬이 존재하지 않는다, 또는 이 문제처럼 실수조건이지만 k가 허수등등) (a+d)= q ,(ad-bc)= p가 성립하는 행렬의 형태만을 가지지만, 그렇지 않은 경우도 있다는겁니다. ^^; 증명을 원하신다면 네이버에 케일리 해밀턴의 역 을 검색하시면 수많은 사이트, 지식인등이 있습니다 ^;
10/02/22 08:48
케일리 헤밀턴을 안쓰고 풀어보자면요
B를 A의 역행렬이라고 해서, 역행렬 공식에 따라 B를 만들어요. 그리고 A와 B를 더해서 E이므로 1행2열의 b-(1/ad-bc)b이 0이 되려면 ad-bc는 1이어야 합니다. 그리고 1행1열의 a+d=1이 되죠. 그리고 주어진 식을 (a+d)^2 - 4ad + 4bc로 고치고 다시 (a+d)^2 -4(ad-bc)로 고쳐서 1과 1을 대입하면 답은 -3이 나옵니다.
10/02/22 08:49
꼬쟁투님// 외우면 이런문제의 경우는 확실히 시간이 단축되지요; 제가 보기엔 이 문제도\ B행렬을 설정해 놓고 성분자리를 a b c d로 표현하면 굳이 사용하지 않아도 풀릴거같긴하네요;;
10/02/22 09:20
(a b) (1-a -b)
(c d) (-c 1-d) 로 놓고 곱해 보면 a^2-a+bc=-1 (a+d)b=0 (a+d-1)c=0 d^2-d+bc=-1 이므로, 연립해서 푸는 방법도 있지요. 시간은 오래 걸리지만 -_-;
10/02/22 18:06
앞에 분들이 잘 설명해주신대로 이 문제는 케일리-해밀턴 공식에 끼워맞추면 되는 문제인데, 단 주의하여야 할 부분은 케일리-해밀턴 정리의 역은 언제나 성립하지 않는다는 점입니다. 바로 행렬 A가 kE의 형태(k는 실수), 즉 단위행렬의 실수배인 형태일 때만 역이 성립하지 않고 그게 아니라면 역도 항상 성립하게 됩니다. 그러면 이 문제에서 A가 단위행렬의 실수배가 아니라는 점만 보장되면 케일리-해밀턴 공식으로 쉽게 끼워 맞출 수 있게 됩니다.
어떻게 확인하는가는 다음과 같습니다. 일단 A가 단위행렬의 실수배, kE의 형태라고 가정합니다. 그러면 조건에서 A+B = E 이기 때문에 B역시 단위행렬의 실수배의 형태이면서 k의 반대부호를 가질 수 밖에 없습니다. A와 B가 부호가 반대라면 둘을 곱해서 -가 나와야하는데 그러면 AB = E 는 절대 성립되지 않습니다.(E는 양수실수배이므로) 따라서 결론은 A가 kE의 형태가 아니기때문에 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하게 됩니다.
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