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09/01/09 07:00
저도 고등학교 문과 수학1까지만 아는 사람입니다.
무한의 경우 저는 이런생각을 해본 적이 있습니다.(잠자리에 누워서, 혹은 평소에) 예를 들어 a라는 집합은 2의 배수의 집합, b라는 집합은 4의 배수의 집합이라 하죠. 두 개를 비교합니다 하나씩 나열해보죠. 그런데 이미 4까지 셋을때 a는 원소가 2개고 b는 1개죠. 결국 이렇게 계속 세면....a라는 집합은 2배의 속력...이랄까요. 그러니깐 2배의 속력로 세지는거죠 -_-;;;;; 물론 두 개의 집합은 무한이기 때문에 끝도 없이 원소의 갯수는 늘어나지만 a집합이 동시간에는 결국 2배의 크기를 가지고 있는거죠. 속력가 빠르니까요 -_-;; 왜냐면 유한집합은 끝이 있으니깐 속력이고 뭐시기고 다 쓰고나면 비교가 가능한데, 무한집합은 무한이므로 계속 원소를 써야하니깐... 동시간엔 범위가 넓은 무한집합이 더 크다는...... 전혀 논리적이지도 않고 황당한 생각을 해본 적이 있었습니다....갑자기 이런 글이 쓰고 싶더군요. 어린 날의 망상을 남에게 이야기 해주고 싶은..... 결국 어렸을때는 똑같은 무한대도 동시간에 속력이 빠른 무한대가 더 크다라고 생각했던거죠 -_- 이건 뭐 4차원도 아니고...흐흐
09/01/09 08:01
//낭만토스 님 저랑 비슷 하네요. 저두 고등학교 문과 수학1까지만 아는 사람입니다
전 이런 생각 했었습니다 길이가 2인 직선과 길이가 4인 직선의 점의 갯 수가 같느냐 라는 것인데 과거에는 알 수 없다가 정답 이라고 생각 했었는데 飛上 님의 글을 보고 다음과 같이 생각해서 두 선의 갯 수가 같다는 것을 알았습니다 f(x) = 2가 있고 정의역 0~2에 대응하는 치역 0~4가 "1대일 1 대응"이므로 두 직선의 점의 수는 같다 //네이트죽돌이 님의 질문은 다음과 같이 생각하면 f(x)= tanx 가 있고 정의역 0~ㅠ 에 대응 하는 치역이 0-무한데 이고 이것이 "1대일 1 대응" 이니까 0~ㅠ안의 실수의 갯수와 0~무한데 실수의 갯 수가 같다 (이 글은 飛上님에게 쪽지를 보내서 알아낸 것으로 생각한 것이니까 맞는지는 정확히 모르겠어요)
09/01/09 10:30
0부터 1사이의 유리수의 개수와, 실수전체에서의 유리수의 개수는 같습니다.
심지어 (0,1)의 실수의 개수와 전체 실수의 개수도 같습니다. 증명방법은 f(x)= tanx 를 통해서 (-ㅠ/2, ㅠ/2)와 실수를 일대일 대응시키고 f(x)=ㅠ/2x를 통해서 (-1,1)을 일대일 대응 시키면 됩니다.(사실 (0,1)과 [0,1]을 일대일 대응 시키는 것이 조금 복잡할 수 있겠습니다만...가능은 합니다.) (0,1)과 [0,1]은 조금 성질이 틀린데 각각 개집합과 폐집합으로 불리워 집니다. 수학에서 꽤나 중요한 것인데요 위 사실을 통해서 실수 R은 개집합임과 동시에 폐집합이라는 것을 알 수 있고..위상수학에서 전체집합이 개집합인 동시에 폐집합이 되는 정의와도 무관하지 않죠(정의에 맥락을 제공했다고나 할까요;;;)....혹시 나중에 수학을 더 공부하실 기회가 되실때 다시 생각해 보시면 의미가 있을듯 합니다. 또한, 정수와 유리수는 개수는 같지만 큰 차이가 있습니다...바로 "조밀성"이라는 성질인데요 정수는 가까이 있는 두 정수 사이에 다른 정수가 없을 수도(ex 1, 2)있지만 유리수는 아무리 서로작은 더 유리수를 잡아도 그 안에 유리수가 존재할 수 있습니다..(ex p, q가 유리수 일떄 (p+q)/2 ) 이런 성질 때문에 유한한 구간을 잡았을때(ex [-10,10]) 정수는 유한개가 들어가지만 유리수는 무한히(실제로는 그 자신만큼)들어 갈 수 있습니다. 0.999...에 대한 이야기는 제가 쓴 아래 글을 참고하시면 되겠습니다. https://pgr21.com/zboard4/zboard.php?id=freedom&page=3&sn1=&divpage=2&sn=off&ss=on&sc=on&keyword=수학&select_arrange=headnum&desc=asc&no=8484
09/01/09 10:52
dozing_lamb님// 예전에 물어보신 분이시군요^^..그 때는 말씀 드리지 않았지만 길이가 2인 직선과 길이가 4인직선은 일대일 대응을 하고
또한 길이가 2인 직선과 길이가 4인 정사각형과도 일대일 대응을 할 뿐만 아니라 길이가 2인 직선과 길이가 4인 정육각형 box와도 일대일 대응을 합니다... 더 놀라운 것은 길이가 4인 n차원의 box와도 일대일 대응을 하는 것이죠...참 신기하지 않나요 ^^;; 즉 (0,2) 사실 정적분을 배울때 면적을 직선들이 모인것들로 설명들을 많이 하잖아요? 그런데 사실 점의 개수는 선이나 면이나 같다는 것이겠습니다. 이것이 바로 부분집합과 일대일이 되는 무한의 신비죠.. 그런데 선과 면은 직관으로 봐도 서로 다른 특성을 가진 대상이지 않습니까?.. 그래서 수학에서 둘을 구분지을 수 있는 동형이라는 개념이 나올 수 밖에 없었는지도 모르겠습니다..
09/01/09 15:35
답변주신 모든분들 감사합니다^^
飛上님// 아 "조밀성!" 고등학교때에도 얼핏 배운 기억이나네요. 실수의 연속성 유리수의 조밀성? 이었던가요크크; 여지껏 유한의 개념에서 무한을 생각하려하니까 부분집합과 개수가 같을수 없다고 생각했는데, 탄젠트곡선을 통해서 생각할수도 있군요!! 비전공자라 실수는 개집합임과 동시에 폐집합이다....ㅜㅜ까지는 이해를 못하겠습니다만;(보통 (-무한,무한)으로 나타내고 [-무한,무한]으로는 표현하지 않는것같던데; 써보니까 그럴싸하기도하고요;크크) 0.9땡과 1이 같다는것은 링크해주신 글을 통해서 이해했습니다^^; 예전에 극한값의 압축정리? 와도 비슷한 맥락으로 이해해도 될지 모르겠네요크크
09/01/09 15:43
낭만토스님// 저도 비슷한 생각을 해본적이 있는데 반갑네요^^ 예전에 상대성이론을 얕게나마 접하게됐을때 우주를 3차원의 공간축과 1차원의 시간축간을 움직이는 곳이라 가정한게 너무 와닿아서 이것저것 생각했던 기억이 나는군요
요컨대 2차원의 개념을 3차원에서 생각해봤을때 손쉽게 풀수 있듯이, 3차원의 개념도 4차원에서 생각하면 풀수 있지 않을까 하는 것이었습니다크크 그래서 무한의 개념에 저도 시간축을 생각한적이있는데,(우주는 계속 팽창하니까 우주의 크기와 무한대의 숫자 간에 연관을 지어서 생각해봤던 적이 있어요^^;) 그런 개념에서 본문에 언급했듯이 0.9땡의 10x와 x사이에는 자릿수가 한자리씩 앞당겨진 본질적인 차이, 즉 뒤에 추가되는9땡이 단위시간 1당 하나씩 늘어난다고 생각할때 동시간에 10x의 맨 끝 9자리는 x에 비해 한자리 비어있다고 생각한거죠크크; 이런 개념에서 이해하면 동시간대에 자연수와 정수의 대응을 시키려고한다면 정수는 그만큼 비는(음수와 0에서) 공간이 생기므로 크기는 다르다, 라고 이해했는데, 飛上님의 글을 보면 수학에서는 무한대간의 크기를 가산할수 있고 일대일 대응을 시킬수 있다만 가정하면 크기가 같다고 보는 것 같고요. 역시 비전공자의 입장에선 의문점이 남지만^^; 많이모르는탓이겠죠크크..
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