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08/10/11 22:45
x와 y의 사이에 있는 숫자에 대한 걸 말하는건가요?
2.4. x+y/2=a일때 다시 x+a/2=b, x+b/2=c....로 하면 끝없이 두 숫자의 사이값을 구할 수 있습니다. 이걸 수의 연속성이라고 합니다. 즉 두 숫자의 사이에는 무한히 많은 실수가 있습니다. 자세한 설명은 아랫분이~;;;
08/10/11 22:55
문제가 부족하네요..
두실수 x,y에 대해서라 했는데... 어디서 말하는건지.. 실수체내에서 말하는건지.. 아니면 x,y 사이에서 말하는건지.. 1번 답이 x+y/2 니깐 x,y 사이인거 같긴한데.. 수학은 문제가 확실해야 합니다. 가정이라던가 범위라던가 있다면 그걸 제시해줘야 풀수가 있습니다.
08/10/11 23:39
1. x<y라 하면 Archimedes 정리에 의해 n(y-x)>1 인 자연수 n이 존재.
ny-nx>1이므로 nx<m<ny인 정수 m 존재 x< m/n <y 이고 m/n은 유리수이므로 유리수 존재 2. 1번에 의해 x/root2 <r<y/root2를 만족하는 유리수 r이 존재 따라서 x<root2*r<y이므로 무리수 존재
08/10/11 23:40
다른 건 잘 모르겠고, 최소한 2번은 쉽지 않은 문제네요. 해석학 시간에 배웠던거 같은데, 두 숫자 사이에 유리수가 유한 개(N개) 있다고 가정하고, 1-1 대응을 시키다보면 x와 y 사이에 있는 모든 수가 1-1 함수 f에 대하여 대응 될 수 없어서 모순임을 보이면 됩니다.
증명 과정을 모두 적어드리면 좋겠지만, 그러지는 못하겠고.. 우선은 이렇게 간단한 질문 할 문제는 아니라는 것만 알려드릴께요- 혹시 더 자세한 과정을 원하신다면, 정수론 책을 찾아보심이 좋을 듯 하네요.
08/10/12 00:13
어리버리질럿님이 1과 3에 대한 답변을 잘 하셨네요...
2. 1에 의해 x<r_1<y 인 유리수 r_1이 존재하고 또한 x<r_2<r_1인 인 유리수 r_2가 존재한다. 이러한 방법으로 x<r_(n+1)<r_n <y 을 만족하는 유리수열 r_n을 결정할 수 있고 x<r_n<y이므로 x와 y사이에 무한히 많은 유리수가 존재한다. 4. 2의 증명에서 무리수를 유리수로 바꾸면 됩니다.. 인터넷에 유리수의 조밀성, 무리수의 조밀성에 대해서 검색하시면 더 많은 정보를 얻으실 수 있습니다. 혹은 해석학 개론서를 찾아보는 방법도 좋습니다.
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