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16/03/19 12:04
시간이 없어서 다 풀어드리진 못할 것 같은데 1번 같이 확률 문제에서 "적어도"라는 말이 나오면 대게는 여사건을 이용해서 계산하는게 더 편하다고 알고 있습니다.
16/03/19 12:12
1번에서 표본공간의 경우의수가 4^6 이라는점은 저도 똑같이 생각하는데
3정류장에서 내릴 경우의수를 어떤방식으로 계산하셨는지 모르겠네요. 3정류장에서 내릴 경우의 수 부분에서 잘못하신게 아닐까 생각됩니다. 적어도 3정류장에서 내릴확률 = 전체 확률 - 1or2정거장에서 모두 내릴 확률 로 계산했습니다. 표본공간 : 4^6 = 4096 특정 2정거장에서 모두 내릴 경우의수 : (2^6)-2 = 62 특정 2정거장을 선출하는 경우의 수 : 4C2 = 6 2정거장에서 모두 내릴 경우의수 : 62*6 = 372 특정 1정거장에서 모두 내릴 경우의수 : 1 특정 1정거장을 선출하는 경우의 수 : 4C1 = 4 1정거장에서 모두 내릴 경우의수 : 1*4 = 4 1or2정거장에서 모두 내릴 경우의 수 : 372+4=376 적어도 3정거장 에서 모두 내릴 경우의 수 : 4096-376=3720 적어도 3정거장 에서 모두 내릴 확률 : 3720/4096=0.9082
16/03/19 12:29
질문자님께서 3정거장에서 내리는 경우의 수를 구한 방법에서 전체표본공간4096을 초과하는 이유에 대해 설명드려보겠습니다.
작성자분께서 구한 방식은 4C3(4개중에 3개 정류장 선택)*6C3(최소 3명이 하나씩 정류장에 내려야 하므로 6명중 3명선택)*3!(정류장에 나열)*3^3(나머지 세명 중복해서 나열) 입니다. 편의상 정류장 4개를 각각 A,B,C,D 라 하고, 사람6명을 각각 abcdef라 해보겠습니다. ABC로 3정거장이 선택되고, A->ab , B->cd, C->ef 가 각각의 정류장에서 내리는 경우를 살펴보겠습니다. 위의 경우의 수는 작성자님이 구한 방식에 의하면 2번 이상 카운트가 됩니다. case1. 6C3(최소 3명이 하나씩 정류장에 내려야 하므로 6명중 3명선택)*3!(정류장에 나열)에 의해 A->a , B->c, C->e 가 선택되고, 나머지 3명으로 남은(bdf)가 각각 나눠져서 A,B,C에 추가되는경우, case2. A->b , B->d, C->f 가 선택되고, 나머지 3명으로 남은(ace)가 각각 나눠져서 A,B,C에 추가되는경우, 해당경우는 이런식으로 case가 여러개로 나눠지고 위에 계산법에 따르면 각각 "다른"경우로 세어지고 있지만 실제로는 같은 결과물(A->ab , B->cd, C->ef)을 여러번에 걸쳐 세개 됩니다.
16/03/19 12:38
상세한 답변 감사합니다. 어쩐지 경우의수가 너무 오버되서 어떻게 된건지 이해가 안됐는데..그랬군요.
어차피 정거장 한개 정거장 두개와 정거장세개 정거장네개니까 적어도가 붙어도 굳이 (1-아닌것)방식을 할 필요가 없다고 생각했는데.. 이런문제가 생기네요. 감사합니다.
16/03/19 12:30
4C3(4개중에 3개 정류장 선택)*6C3(최소 3명이 하나씩 정류장에 내려야 하므로 6명중 3명선택)*3!(정류장에 나열)*3^3(나머지 세명 중복해서 나열)
이러면 상당히 중복히 될 것으로 보이는데요.. 정류장을 (가나다라) 사람을 (abcdef) 로 놓으면 i) 가, 나, 다 정류장 선택 / a, b, c 선택 / 가-a, 나-b, 다-c 나열 / 가-d, 나-e, 다-f 결과는 가(a, d), 나(b, e), 다(c,f) 가 되겠죠. ii) 가, 나, 다 정류장 선택 / d, e, f 선택 / 가-d, 나-e, 다-f 나열 / 가-a, 나-b, 다-c 결과는 똑같이 가(a, d), 나(b, e), 다(c,f) 가 되겠죠. 이런 식으로 중복되는게 엄청 많아서 여사건으로 푸는게 이득인듯..
16/03/19 12:58
1번은 풀린듯 하니 2번입니다.
1) 6!x2x3-3x4x5!+8x4! =3072 적어도 하나의 부부가 붙어 앉는경우의수 2) 3072/7! = 0.6095238 적어도 하나의 부부가 붙어 앉는 확률 3) 1-3072/7! 부부 모두 떨어져 앉을 확률 1) 첫항은 a,b,c 커플이 각각 붙을 경우 -두번째항 a,b b,c a,c 가 동시에 같이 앉을 경우가 두번 계산되므로 빼줌 + 세번재항 셋이 다같이 앉을 경우를 앞에서 빼서 다시 더해줌 2) 전체 경우는 원탁이므로 7!로 계산 (특정자리가 없다고 생각했음) 그래서 3072/7! 3) 여사건으로 1에서 뺍니다. 1)에 대한 설명이 좀 이상한데 글로쓰기가 힘들군요...
16/03/19 13:09
2번입니다.
모든경우의 수 : 7!= 5040 모든 부부가 떨어져 있는 경우의수 = 모든경우의 수 - [(특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수) - (특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수) + (3쌍의 부부가 모두 붙어있는 경우의수)] 특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수 6!*2 * 3 = 4320 -> 붙어있을 부부를 한몸으로 계산하고 둘의 자리바꿈으로 *2 가 붙는다, 붙어있을 부부를 선택하는 경우의수가 3이므로 *3 같은 방식으로, 특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수 5!*2^2 * 3 = 1440 3쌍의 부부가 모두 붙어있는 경우의수 4!*2^3 * 1 = 192 4320 - 1440 + 192 = 3072 모든 경우의수 - 적어도 1쌍이상의 부부가 붙어있는 경우의수 : 5040 - 3072 = 1968 1968/5040 = 0.39047...
16/03/19 14:34
곰곰이 생각해 보다가 댓글 남깁니다. [(특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수) - (특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수) + (3쌍의 부부가 모두 붙어있는 경우의수)] 이 부분에서 (특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수)가 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의 수를 중복계산 하기 때문에 (특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수)를 빼주고 (3쌍의 부부가 모두 붙어있는 경우의수)는 중복되지 않는데 빼줘서 다시 더해준건가요?
약간 이해하기 힘들어서 댓글남깁니다.
16/03/19 15:57
네 맞습니다.
1쌍이상이라하면 2쌍이상의 경우도 포함되어있는 개념이고 2쌍이상이라하면 3쌍이상의 경우도 포함되어있는 개념이니까요.
16/03/19 17:41
번거롭게해드려 죄송하지만..뭔가 선명하게 이해가 안되서 한번 더 여쭤봅니다.
이렇게 한번 생각해보겠습니다. a-특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의 수 : A부부 B부부 C부부라고 칭해보겠습니다. 그러면 #(A만붙음)+#(B만붙음)+#(C만붙음)+#(AB만붙음)+#(BC만붙음)+#(AC만붙음)+#(ABC다붙음) 이렇게 되는거 아니겠습니까? b-특정 2쌍 이상의 부부가 붙어 있는 경우의 수 : #(AB만붙음)+#(BC만붙음)+#(AC만붙음)+#(ABC다붙음) c-3쌍의 부부가 모두 붙어 있는 경우의 수 : #(ABC다붙음) 이렇게 되어있다고 생각해보면 a-b+c할 경우 2쌍만 붙어있는 경우가 없어지는 것 아니겠습니까? 제가 위에 댓글에서 여쭤본게 혹시 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의 수 에서 2쌍만 붙은 경우가 두번 세어지나? 라는 생각때문에 그렇게 추측하고 여쭤본건데요. 그렇지 않으면 2쌍만 붙어 있는 경우의 수가 비어버리니까요. 제 생각에는 6!*2 * 3 = 4320 여기서 *3하는 순간 중복되어 계산된다고 추측을했는데 그렇다면 #(ABC다붙음)도 이순간에 3번중복되어 카운트 되지 않나요? 제 추론중 어디가 잘못되었는지 지적부탁드립니다.
16/03/21 12:25
원이라고 생각하고 나열해보겠습니다.
1. A부부가 붙어있는경우 AABCXCYB XAABCYCB XYCBCBAA ... (CAAXBBYC) (BAAXCCYB) [AABBCCXY] ... -> 6! * 2 = 1440개 2. B부부가 붙어있는경우 BBACXCYA XBBACYCA XYCACABB ... (CAAXBBYC) (ABBXCCYA) [AABBCCXY] ... -> 6! * 2 = 1440개 3. C부부가 붙어있는경우 CCABXBYA XCCABYBA XYBABACC ... (BAAXCCYB) (ABBXCCYA) [AABBCCXY] ... -> 6! * 2 = 1440개 따라서, 위에서 [특정 1쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수]가 저렇게 나온 이유는 6! * 2 *3 = 1440 + 1440 + 1440 = 4320 하지만 카운트 했던 목록에서 자세히 살펴보면 다른것들은 중복해서 세지 않았지만 ()부분은 하나의 경우가 두번씩 카운트가 되어있고,(EX:CAAXBBYC,ABBXCCYA) []부분은 하나의 경우가 세번에 걸쳐 세어졌음을 알 수 있습니다.(EX:AABBCCXY) ()와 []같이 여러번 세는 셈플은 편의상 몇개 안 썼지만 저 외에도 많이 있겠죠. 따라서 두번씩 센 ()를 한번만 카운트한것으로 남기기 위해 [특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수]를 빼준겁니다. 하지만 위와 같은 원리로, [특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수]를 빼게 되면 [AABBCCXY]와 같은 초기에 3번 카운트됬던것들은 오히려 모조리 빠지게 됩니다. [특정 2쌍 이상의 부부가 붙어있는 경우의수]를 빼는과정에서 [AABBCCXY]과 같은것들이 3번 빠지게 되기 때문이죠. 그래서 마지막으로 [3쌍의 부부가 모두 붙어있는 경우의수] 다시 한번 더해주는 겁니다.
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