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08/12/08 17:00
f(x)=1/x 함수가 0일 때의 값이 정의되지 않는 값이라 그런 거 아닐까요?;
-00 +00 얘기는 음수에서 0으로의 좌극한값(-00)과 양수에서 0으로의 우극한값(00)이 달라서라는 얘기같은데; 자세한 건 고수분들께서...[<-퍽]
08/12/08 17:03
추가질문도 좀....
인테그랄(from 0 to 3) 1/x-1 dx 의 수렴여부 판정인데요...; 이 문제도 본문의 문제랑 비슷한거에 걸려서 ;; 해결이 안되네요;; 고수분들 부탁드려요 ..;
08/12/08 17:11
1/x를 적분하면 ln x가 되는데, 적분값 구할 때 인테그랄 시작이 0이다보니 중간에 ln 0이 나와버려서 log 내의 숫자가 0이 아니어야 한다는 규칙이 깨져서 값을 구할 수 없지 않을까요;
정통 수학과가 아니라 이과일 뿐이라 이런 상황에서 뭐라 답할 진 모르겠[...]
08/12/08 17:15
저건 보통의 적분으로는 정의 안되는 거 맞습니다.
Cauchy principal value라는 것 정도만 있겠네요. http://mathforum.org/library/drmath/view/61246.html 이 곳에 비슷한 질문과 답변이 있습니다.
08/12/09 01:17
적분하고자 하는 함수가 적분영역에서 유계가 아닌 경우(즉, 발산하는 점이 존재할 때)는
정적분의 정의를 확장하여 이상적분(improper integral)이라는 개념을 이용해야 합니다. 이상적분은 극한으로 정의됩니다. 예를들어 int_0^1 (1/x) dx 는 lim(e->0) int_e^1 (1/x) dx 로 정의되는데, 위 값을 구해보면 알겠지만 저것은 극한값이 존재하지 않고 발산하므로 이상적분 값은 없다 라고 합니다. int_(-1)^(1) 1/x dx 의 경우, 정의상 lim a->0- int_(-1 ~ a) 1/x dx + lim b->0+ int_(b~1) 1/x dx 인데, 각각이 수렴하지 않으므로 0이 아니라 존재하지 않는 것이 맞습니다. 이상적분 값이 존재하는 경우는 int_0^1 (1/x^2) dx 와 같이 극한으로 계산해보면 수렴하는 경우겠죠. 추가질문도 마찬가지로 해결해보시면 될겁니다. 아, 그리고 어쨌든 그래도 넓이가 같아서 0이 되진 않느냐, 라고 물어보시면, 이렇게 극한이 2개 존재하는 경우 a와 b가 같은 스케일로 0에 가까워진다면 합의 극한값은 0이 되겠지만 |a|가 |b^2| 스케일로 0에 가까워진다면 한쪽 넓이가 한쪽 넓이보다 더 빠르게 커지므로, 합의 극한값을 0으로 볼 수 없습니다. 따라서 극한값은 존재하지 않습니다. (int_(-무한대)^무한대 f(x) dx와 같은 꼴의 적분은 스케일에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴할 때만 논할 수 있는겁니다.)
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