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17/05/17 00:03
추가적인 이야기를 적자면, 좌극한과 우극한을 따로 정의한 후에 그 둘이 같아야 극한이 존재한다고 정의되기 때문에 첨부 파일에서 주어진 극한은 일반적인 미분가능성을 정의할 때는 큰 도움이 되지 않고 반례가 존재하게 됩니다.
17/05/17 00:11
f(1+2h)=exp(2|h|), f(1-h)=exp(|h|)이니까, h의 절대값을 그냥 t라고 하면,
f(1+2h)-f(1-h)=exp(2t)-exp(t). 이걸 2t로 나눈 다음에 t를 0으로 보내면 로피탈 정리에 의해서 0으로 가죠. 그러나 도함수의 우극한은 1이고 좌극한은 -1이므로 미분은 불가능합니다.
17/05/17 00:20
반례는 잘 떠오르지가 않는데, 미분가능성을 open metric space에서 정의한다면 위 두 예시 모두 metric open sets이 metric이 0으로 수렴하는 방향을 제한하고 있어서 미분가능성을 보장하지 못할거 같습니다. 미분가능성은 '임의의' open set 상에서 증분에 대한 수렴값이 존재하는 것을 의미합니다.
17/05/17 00:23
대학수학을 놓은지가 오래되서, 잘 이해가 안되네요. 각각의 내용을 검색해보고, 대학때기억을 되살려보며 이해해 보겠습니다. 감사합니다^^
17/05/17 00:52
그렇게 정의를 하더라도 반례가 안되네요ㅠ
뭐가 있을까요? 아무리 생각해도, 두숫자가 다른경우엔 좌,우 미분계수가 달라질수밖에 없는데...
17/05/17 01:30
저는 아직도 제가 드린 반례가 맞다고 생각을 하는데...
x가 1인 점에서 불연속을 만들면 저 극한값 자체가 존재를 하지 않습니다....
17/05/17 01:47
편의상 평행이동해서 0으로 쓸게요.
f(x)를 0 아닌 점에선 cosine (1 / ln|x|) 라 정의; x가 0으로 갈때 분모가 -inf로 가므로 저 값이 1로 갑니다. f(0)=1 로 두면 연속이 되구요 조건의 limit가 0이 되는건 평균값정리 써서 확인할 수 있고, f가 0에서 미분불가능인 건 다항함수가 log보다 수렴/발산이 빠르다는거로 증명할 수 있습니다
17/05/17 07:42
조건의 limit가 0이 되는건 평균값정리 써서 확인할 수 있다고 하셨는데, 조금만 더 자세히 설명해주실수 있으실까요?
17/05/17 01:48
2번을 f(1)을 넣어서 바꾸면 f(1+2h)-f(1)/2h + f(1-h)-f(1)/-h*2 = 0
이때 f`(1)의 우극한을 1이라고 하고 좌극한을 2로 놓으면.. 2번 값은 0이 되나 결국 미분은 불가능하죠..
17/05/17 03:49
수학 전공하셨다면 Dirichlet ruler function이 힌트가 될 것 같습니다.
먼저 평행이동으로 lim f(2h)-f(h) / 2h, 과 f'(0)에 대한 문제로 바꿀 수 있습니다. 여기부터 정의가 조금 복잡합니다. f를 다음과 같이 정의합니다. 1. f(0) = 0 2.1 f(x) = 0, x!=0이 유리수이고 기약분수로 나타내었을 때 q/2^n 꼴 2.2 f(x) = 1/p, x!=0 이 유리수이고 기약분수로 나타내었을 때 q/(2^n*p), p>2 홀수 꼴 (즉, 이 말은 기약분수로 쓴 후에 분모를 소인수분해하여 2의 제곱 파트를 떼어내고 남은 p를 택해 1/p를 함수값으로 택합니다. 예를 들면, f(-5/48)은 48 = 2^4 * 3이므로 q=-5, n=4, p=3인 경우가 되어 함수값을 1/3로 정의합니다) 각 유리수마다 q,n,p가 유일하게 정해져 잘 정의됨을 쉽게 보일 수 있습니다. 3. x가 무리수일 때, f(x) = 0 epsilon-delta식 논증을 통해 f가 0에서 연속임은 쉽게 증명할 수 있습니다. 또한 f(2h) = f(-h)가 항상 성립하기 때문에 극한값도 0이구요. 문제는 f가 0에서 미분가능하지 않다는 것인데, 이는 h가 0에 가까운 무리수라면 f(h)/h = 0이 되는데 반해 h=1/p or -1/p, p>0 홀수 로 두게 되면 f(h)/h가 항상1이되어서 h가 0 근처로 아무리 가까이 가도 f(h)/h의 함수값이 0과 1사이에서 진동하게 됩니다. 따라서 극한이 존재하지 않아 미분이 불가능하다고 보입니다.
17/05/17 05:28
이상하다 싶어 생각해보니 f가 0에서 연속이 아니네요.
f가 0에서 연속인 경우 이렇게 접근해보면 어떨까 합니다. 평행이동 사용해서 f(0) = 0인 것을 가정하겠습니다. 임의의 양수 e>0에 대해 적당한 구간 (-d,d)가 존재하여 | f(2h) - f(-h) | < e * |2h| 가 (-d,d)안의 모든 h에 대해서 성립합니다. 여기에 변수 치환 h -> 1/2h 와 부등식 |a| - |b| <= |a-b|를 활용하면 | f(h) | - | f(-h/2) | < e * |h| 가 나오는데 이 식의 h에 -h/2, +h/4, -h/8 ...을 계속 대입해 양변을 더해주면 | f(h) | - | f( (-1)^n * h/2^n) | < e*|h| * ( 1 + 1/2 + ... + 1/2^(n-1) ) 이 나오게 됩니다. 양변에 n->무한대 극한을 해주면 | f(h) | <= e*|h| (좌변에 f가 0에서 연속임을 사용) 가 나오게 되는데 따라서 | f(h) / h | <= e 가 (-d,d) 안의 모든 h에 대해 성립하게 되어 f'(0)=0 이라는 결론을 얻게 되는 것 같네요.
17/05/17 11:11
위의 ruler ftn이 0에서 연속이 아닌데, 변형 함수 중
기약분수 p/q를 1/q로 보내는 ruler ftn이 있습니다 0이나 무리수는 다 0으로 보내구요 이게 0에서 연속,미분불가능하고, 조건의 limit도 만족하는 듯 합니다. 물론 입실론델타 논법은 필수
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