|
:: 게시판
:: 이전 게시판
|
- PGR21 관련된 질문 및 건의는 [건의 게시판]을 이용바랍니다.
- (2013년 3월 이전) 오래된 질문글은 [이전 질문 게시판]에 있습니다. 통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
통합규정 1.3 이용안내 인용"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
17/05/16 17:37
레이저가 loss가 없다면, 수평수직으로 1/1000도만큼 틀어서 쏘면 이론적으로 가득 찰거 같은데요. 그 이하도 마찬가지일거 같구요
17/05/16 17:44
레이저가 그냥 가로세로로만 2차원으로 움직인다고 하면
처음 레이저를 쏠 때 수직/수평 성분 사이의 비율이 유리수면 언젠간 경로가 닫힐 것 같구요 비율이 무리수라면 아마 방을 꽉 채우지 않을까 싶어요. 근데 어떻게 논증할지는 생각을좀 해봐야겠네요..
17/05/16 17:46
"높이"까지 계산해서 방 전체를 채워야 하나요? 레이저를 직경 1cm가 아니라 1cm*1cm 정방형이라고 가정하고...
좌우 각도는 일단 length방향으로 한 번 왕복할 때 레이저 폭만큼 이동하면 되니 20미터당 1cm씩 빗겨 쏘면 될테고... 높이는 방 전체를 width방향으로 한 번 쓸고 돌아올 때까지 레이저 폭만큼 올라가면 될텐데... 방 width 왕복 거리가 20미터니까 왕복 횟수는 2000회...총 이동거리가 20km당 1cm씩 위를 향하도록 쏘면 방 내 공간 전체를 점유할 수 있지 않을까 싶습니다. 이게 각도가 몇 도인지는 삼각함수 건드린지 20년이 넘어 계산을 포기하겠습니다.;;;
17/05/16 18:02
projet님 말씀처럼 x, y, z축상 각도(360도법 상으로)가 무리수라면 (그래도 선으로 공간을 채울 수는 없으니 엄밀히는 꽉 채우는 것은 아닙니다만) 꽉 채우는 것이 맞습니다.
증명은, 거울방이라고 생각하지 말고 무한한 격자에 직선을 긋는다고 생각하시면 됩니다. 거울에 반사되는 것은 그 격자를 거울면을 따라서 마치 종이처럼 접는다고 생각하시면 되구요.
17/05/16 19:51
보통은 선이 countable 하게 모여도 면이 될 수 없고,
면이 countable하게 모여도 공간이 될 수 없으므로 다 채울 수 없을텐데요. 크크 레이저 선이 선으로 간주되냐, 아주 미세한 직경을 가진 원기둥으로 계산되냐에 따라 달라질 것 같네요
17/05/17 11:34
아뇨 반대로 말씀드렸던거에요.
유한한 시간 내에 제자리로 돌아온다면 닫힌 경로를 돈다는거니까 카키스님말대로 모든 2차원 평면을 다 채울수 없을테구요, 만약 유한한 시간 내에 제자리로 못돌아온다면 2차원 평면을 다 채우는거라고 봐도 되는거겠죠. 흔히 하는 논증방법 중 하나에요.
17/05/17 13:33
아 그런 식의 이야기는 아니구요,
저는 '유한한 시간 내에 제자리로 돌아온다'와 '2차원 평면을 채우지 못한다'를 동치라고 생각하는겁니다. 그래서 그냥 이걸 기준으로 따지면 된다고 얘기한겁니다. 제가 해본적은 없지만 아마 이건 증명이 되어 있을 거에요.
17/05/17 13:35
지금보니 제가 첫 댓글에 대응 관계를 반대로 적어놨네요 헷갈리게 적었습니다.
제자리로 돌아온다 = 닫힌경로를 가진다 = 모든 공간을 채우지 못한다. 제자리로 돌아오지 못한다 = 열린 경로 = 모든 공간을 다 채운다.
17/05/17 13:46
우선 선에는 두께나 굵기가 없는
수학에서 말하는 선을 의미한다는 전제하에, 전 말씀하신 것이 동치가 아니라고 생각합니다 이 부분에서 생각의 차이가 있는것같군요
17/05/17 14:52
음.. 선은 두께나 굵기가 없지만, 선을 무한히 많이 그리면 면을 채울 수 있고 여러 경우가 증명이 되어 있습니다. (https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve)
하지만 선분의 길이가 유한한 경우에는 말씀하신대로 채우지 못하겠죠.
17/05/17 19:08
지금 문제는 직선으로만 생각해야 하는 것이죠~
간단하게 0<x<1, 0<y<1 범위인 한 변 1인 정사각형에서 (0.5, 0.5)를 시작점으로 가정한 후 어떤 기울기로 발사해도 면을 다 채우는 것이 불가능하죠
17/05/17 20:09
카키스 님 //
아닙니다, 위에서 이야기했듯 초기 기울기가 무리수라면 정사각형 내의 임의의 점을 모두 지날 수 있기때문에 공간을 꽉 채울 수 있습니다. 위의 최경환님의 댓글에서 언급된 것처럼 거울에 반사되는것을 그냥 무한히 펼쳐져있는 2차원 격자에 하나의 직선을 긋는다고 생각해보죠. 직선의 기울기가 무리수라면 격자의 한 칸 안에서 상대적인 위치만을 따졌을 때 같은 위치를 2번 지날 수 없습니다. 증명은 간단합니다. 2차원 격자의 한 점에서 y=tx, t는 무리수인 직선을 쭉 그었을 때, 언젠가 같은 지점으로 돌아오려면 x,y가 모두 정수인 해가 존재해야 하는데 그러면 t 가 무리수라는 정의에 어긋나죠. 그러면 '기울기가 무리수이면 격자내의 같은 지점을 두번 지나지 않는다'를 보인 것이고, y=tx 직선이 격자내의 모든 점을 통과한다는 것은 무리수의 소수부분에 어떤 정수를 곱해서 [0,1] 내의 임의의 수를 만들수 있다는 것을 통해 알 수 있습니다. 이는 증명이 된 것이구요. https://math.stackexchange.com/questions/903142/for-an-irrational-number-a-the-fractional-part-of-na-for-n-in-mathbb-n-is
17/05/17 21:11
projet 님// 그리고 링크의 증명을 봤는데 그 증명의 결론은
{nx-[nx] : n은 자연수} 라는 집합은 [0,1)의 조밀집합(?)이라고 했지, 같은 집합이라고 한 적이 없어요. 예를 들어 0~1사이의 모든 유리수를 모은 집합 Q는 0~1사이의 모든 실수를 모은 집합 R의 dense subset 이지만, Q=R인 것은 아니죠
17/05/17 23:39
카키스 님// 아 그렇군요. 채운다는 걸 모든 점을 정확히 지난다는 의미로 하면 못채우는게 맞네요.
그치만 지나는 점들이 dense set을 이룬다는건 [0,1] 안의 임의의 실수에 대해 그 neighborhood에 항상 set의 원소가 있다는 것이니까, 기울기가 유리수인 경우(닫힌 경로를 이루는 경우)와는 질적으로 다른 경우가 되겠네요.
|
||||||||||