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19/09/30 11:25
원소의 개수가 자연수의 개수보다 많고 실수의 개수보다 작은 집합이 존재하는가? 입니다.
정답은 그런 집합이 존재해도 수학체계 상 문제 없고, 없어도 문제 없으며, 존재 여부를 증명 또는 반증이 불가능하다입니다.
19/09/30 09:21
저거 저는 문외한이라 잘 모르지만, 수학이 완전한 체계임을 수학으로는 증명할 수 없다는 것을 증명해서 상당히 충격을 가져온 사건으로 압니다.
19/09/30 09:23
나 자신이 맞는지 틀린지 내가 판단할 수 없다. 뭐 그런뜻인가요? 그럼 나를 넘어선? 나 말고? 판단할 수 있는 다른 체계를 도입하면 되잖아요. 유클리드 5번 공리가 틀린 체계를 도입한 것처럼..
19/09/30 09:43
그걸 다시 확장해 나간다고 해도 똑같은 문제가 반복된다는 것이 불완전성 정리일 겁니다
증명할 수 없는것이 생겨서 새로운 체계를 도입하면 거기에서 또다시 증명할 수 없는 것이 생겨난다
19/09/30 10:35
"어떤 공리체계가 모순이 없음"과 "이 공리체계만 가지고 증명할 수 없는 명제가 있음"이 반드시 함께 성립한다는 얘기에요.
말하자면 어떤 공리체계에 증명할 수 없는 명제가 없다면 그 공리체계는 모순이 있는거고, 모순이 없다면 증명할 수 없는 명제도 반드시 있다는 거죠. 말 그대로 판단할 수 있는 다른 체계를 도입해야만 증명이 되면 그건 이미 기존의 공리체계가 아니니까요.
19/09/30 11:46
중학교때 참거짓을 알 수 있는게 명제라고 배웠던거 같은데 그건 그럼 수학적인 명제가 아닌거잖아요?! 그럼 그런 유형의 질문, 의문은 수학이 아닌거 아닌가요?
확장해가도 똑같은 문제가 발생한다.. 그건 알겠으니 실제로 연속체 가설이 참인 체계와 그렇지 않은 체계를 구성하려는 노력이 있을지요?
19/09/30 12:04
음 그건 얘기가 좀 다릅니다. 참/거짓을 구분할 수 있는게 명제라는건 논리적 형식에 대한 얘기구요, 실질적인 참거짓에 대한 이야기가 아니죠. 예를들어 말씀하신 유클리드 5번 공리가 딱 그런 내용이에요. 5번 공리를 부정해도 나머지 4개의 공리와 모순되지 않습니다. 그래서 5번 공리를 부정한 새로운 공리계가 등장했죠.
말씀하신 새로운 체계를 위한 노력도 있습니다. 기존 공리계에 새로운 공리를 추가하면 연속체 가설의 참/거짓을 가를 수 있다는 증명들이 있고, 반대로 연속체 가설의 참/거짓을 공리로 하여 만든 체계도 있습니다. 물론 주류는 아닙니다만 가능하죠.
19/10/01 08:38
(수정됨) 그럼 수학척인 참거짓은 뭔가요..? 좀 생각해보니 결국 논리적인 참이란것은 참이라고 받아들이는 것에서부터 시작해 정당한 방법을 통해 다른 참을 이끌어내는 것 같은데요.
불완전성원리는 그 정당한 방법이 형식이라는 한계? 때문에 없는 것도 있다는 의미같은데요. 처음 시작이 참인지는 중요하지않고 그 과정만 올바르면 수학적으로 받아들이는건가요?
19/10/01 14:26
오개념까진 아니고 원시적인 개념이죠. 명제의 엄격한 정의를 학생들에게 가르칠 순 없는 노릇이고...
어쨌든 현재 명제의 정의들도 결국 "참 거짓을 밝힐 수 있는 문장이다"에서 출발한것 맞지요.
19/09/30 09:48
https://m.terms.naver.com/entry.nhn?docId=3570783&cid=58944&categoryId=58970
정확하지도 않고 고등학교 수학시간에 수행평가로 발표같은걸 시험 끝나고 시키셔서 알아봤던 기억이 있는데 쉽게 말해서 맞는 말이라도 증명 불가능한게 있다. 정도로 이해했었습니다. 그때 페르마 정리.. 주제였는데 이게 대충 어느 순서까진 맞는데 이게 끝까지 증명 가능한가?에 불가능 한건가? 싶은 생각을 심어줬던 사건..
19/09/30 09:50
결국 저 두개를 합쳤을때 연속체 가설은 사실인거 같긴 한데 저거 증명은 불가능하다. 정도로 이해하셔도 될거 같아요. 그래서 불완전성 정리.
19/09/30 10:38
제가 듣기론 맞는 말이라도 증명 불가능하다가 아니고 "맞든 말든 공리체계랑 모순되지 않아서 증명할 필요가 없어지는 명제"가 있는 거라고 들었습니다. 그리고 연속체 가설이 제일 1선으로 두들겨 맞은거라고...
19/09/30 11:01
루트에리노님께서 말씀하신 두 가지가 모두 맞습니다. 연속체 가설은 맞든 말든 공리체계랑 모순되지 않아서 증명할 필요가 없는 명제고요. 페르마의 대정리가 만약 '증명 불가능'하다면 자동으로 참이 되는 경우입니다. 반례 하나만 들면 거짓임이 증명되니, 증명 불가능한데 거짓일 리는 없거든요. 그래서 페르마의 대정리가 증명 불가능해서 수많은 사람들이 증명에 실패한 거 아니냐는 추측도 있었습니다. 지금이야 참이고 증명도 되지만요.
19/09/30 10:04
저게 아마 완전하다는 기존 가설의 논리적 대우 관계에 있는 그럼 아예 불완전 한건 증명이 가능한가를
증명 불가하다는 걸 증명해서 증명 한거였죠... 명제의 참과 대우를 완벽하게 이용한 증명이라 재밌더군요
19/09/30 17:12
"증명이 가능한건 완전하다" 라는 가설을
"불완전한건 증명이 불가하다" 라는 명제를 증명함으로서 기존 가설이 맞다는걸 증명한건가요? 어렵네요 크크
19/09/30 11:19
칸토어를 괴롭힌 그 문제죠. 자연수, 정수, 유리수의 개수(농도)는 서로 같으나 실수의 개수(농도)는 다르다부터 시작합니다. 원래 집합과 그 집합의 멱집합은 일대일 대응이 성립하지 않는다는 것도 관련이 있지요.
19/09/30 11:54
신: 완벽한 수학체계로 우주를 만들었다
악마 : 수학체계가 완벽하다는 것은 증명이 안된다 인간 : 골치아프다 수학자 : 우리의 존재가치가 증명되었다 (수학자 1승)
19/09/30 12:40
두번째 짤도 사실 완벽한 설명은 아닙니다. 코헨이 증명한 것은 "[현재의 공리체계에서는] 연속체 가설이 사실인지 아닌지를 증명하는 것이 불가능하다"라는 사실입니다. 즉 언젠가 수학계에서 패러다임 혁명이 일어나서 새로운 공리체계가 도입된다면 그 때는 연속체 가설이 사실인지의 여부를 증명할 수 있을지도 모르는 거죠.
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