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14/11/25 21:50
대부분의 소수 큰수를 보면 2의 제곱의 -1 이 대부분인걸로 봐서 일정 숫자 이상의 소수는 다 홀수 인거 같으니, 소수 중 2만 짝수인거 같아서 곱하서 짝수인거 같은데.
14/11/25 21:57
2를 제외한 소수는 홀수일 수 밖에 없죠.
홀수가 2로 나누었을 때 나머지가 0 이 아닌 수 라고 보아도 되는데 2로 나누었을 때 0 이면 소수가 아니니까요. 그것과는 별개로 저 문제의 정답은 둘 다 아니다 일 겁니다.
14/11/25 21:51
짝수는 2로 나누었을 때 나머지가 0이고 홀수는 2로 나누었을 때 나머지가 1인 수인데, 소수를 다 곱하는건 무한히 반복되고 그 값이 계속 커지기때문에, 2로 나누어 나머지를 구하는 것이 불가능해서 4번 아닌가요?
14/11/25 21:58
수학적 귀납법으로 접근하면 무한대까지 가는 상황에서도 짝수라고 생각합니다.
--- p(i): i 번째 소수, P(i) i 번째 소수까지의 모든 곱 i = 1 일 때, p(i) = 2, P(i) = 2: 짝수 i = k > 1 일 때, P(k) = P(k - 1) * p(k)이 짝수인게 성립한다면, i = k + 1 일 때, P(k + 1) = P(k) * p(k + 1)인데 P(k)가 P(1)도 짝수이고 P(k = 2)도 짝수이므로 --- 항상 짝수
14/11/25 22:01
귀납법으로 접근이 불가능하지 않나요
------------------------------------------------------------------------- 내용 추가 하셨네요. p(k)를 알아도 p(k+1)을 알 방법이 없다는 점에서 불가능할 것이라고 생각했는데 P(k)가 짝수임을 이용하는 군요. 그렇다면 저도 생각할 시간을... 크크
14/11/25 22:48
이건 임의의 자연수 n에 대해 P(n)이 짝수라는 것을 증명했을 뿐, P(무한대)가 짝수라는 것을 증명하진 못합니다.
이 논리가 성립하면 그 오래된 떡밥인 0.99999999999999... = 1 역시 성립하지 않게 됩니다. 왜냐하면.. a) 9가 1개 있을 때 0.9 < 1 b) 9가 k게 있을 때 0.999..9 < 1 이라고 가정하면 9가 k+1개 있을 때도 0.999..9 < 1 c) 따라서 9가 무한히 많아도 0.999... < 1 (??!!)
14/11/25 23:02
저걸 좀 더 포멀하게 쓰면 S_k = 1 - 10^(-k) 라고 정의하고, S_k < 1 임을 보이는 문제니까 수학적 귀납법으로 보일 수도 있죠.
(물론 모든 k에 대해 10^(-k) > 0 이기 때문에 굳이 수학적 귀납법으로 보일 필요도 없습니다만..) b)의 증명을 생략하긴 했는데, b)는 어차피 가정 필요 없이 "9가 k+1개 있을 때도 0.999..9 < 1"를 보일 수 있기 때문에 형식적으로는 수학적 귀납법에 어긋나지 않습니다.
14/11/25 23:04
아니에요
수학적 귀납법의 기본원리는 1. 초기조건에서 성립함을 보이고 2. 임의의 조건에서 성립할 때 다음 조건에서도 성립함을 보여서 1,2를 통해 모든 조건에서 성립한다 라고 증명합니다. 자연수는 가장 작은 수가 있고 임의의 자연수에 대해 다음 자연수가 명확하기 때문에 수학적 귀납법에서 흔히 사용하는 것입니다. Countable(가산) 집합에 대해서는 수학접 귀납법을 모두 사용할 수 있습니다. 유리수에 대해서도 수학적 귀납법을 사용할 수 있죠
14/11/25 22:04
2를 제외한 모든 소수가 홀수일 필요는 없죠
애초에 짝수 x 짝수 = 짝수, 홀수 x 짝수 = 짝수 인 상황에서 2가 소수에 속한다는걸 알았으니 뭔 수를 곱하든 무조건 짝수라서... 이상 무한대 개념은 뭔지 모르는 문과생이었습니다
14/11/25 22:01
저는 그냥 짝수는 2로 나누어 떨어지는 수라고 생각하고, 위의 문제는
2 X (2를 제외한 나머지 소수의 곱) 으로 보고 2로 나누어 떨어지므로 짝수라고 생각하겠습니다.
14/11/25 22:03
둘 다 아니다. 보다는 '곱할 수 없다'라고 나왔어야겠네요. 4번이 답이라면.
무한으로 간다한들 짝수가 나올 수 밖에 없기 때문에 짝수라고 생각합니다만.
14/11/25 22:05
어.. 어렵다
infinite product란 개념은 수학에서 흔히 쓰이는 개념인데 이걸 자연수에 적용해본 시도가... 있네요. http://en.wikipedia.org/wiki/Supernatural_numbers
14/11/25 22:08
2n 은 짝수라고 가정할때
곱셈의 연산은 교환법칙이 성립하고, 괄호를 씌워도 결과가 변하지 않으므로, 모든 소수의 곱을 1 x 2 x 3 x 5 x ..... x n 라고 나타냈을 때 위 식은 2 x ( 1 x 3 x 5 x 7 x 11 x ..... x n) 으로 나타낼 수 있고, 괄호를 N으로 치환하여 2N이 되면 그냥 짝수가 아닌가 마...그래 생각해봅니다. 이 이상은 설명을 들어도 모를 것 같으니 패스...
14/11/25 22:13
무한히 커지든 안 커지든 무조건 2의 배수니까 짝수 아닌가요? 2의 배수를 죄다 더하는 수열이 있다 치면 그 더한 값이 뭔지는 몰라도 어쨌든 2의 배수니까 짝수이듯이.
다음 수를 알 수 없거나 값이 무한히 발산하니 정의 내리는게 불가능 하다고 하는게 좀 이상하네요. 다음 수가 어떻게 끝나든 관계 없이 곱한 값은 무조건 짝수죠. 두 개의 명제는 범주가 서로 다른 것 같은데.
14/11/25 22:19
무한히 곱하기 때문에 나누어지지 않습니다.
2 로 나누어진다고 가정하려면 N = 2 x 3 x 5 x ... N / 2 = 3 x 5 x ... 이런 식으로 저 무한대의 수를 'N' 으로 정의하는 과정이 필요한데, 이런 식으로 정의내리면 우리 통상적으로 생각하는 셈과는 전혀 다른 세계가 됩니다. 예를 들어 X = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... 에서 X = 1/2 이 나오는 것 처럼요.
14/11/25 22:24
p(i) = i 번째 소수 일 때,
P = lim(n to ∞) ∏ (i = 1 to ∞) p(i) = lim(n to ∞) 2 * ∏ (i = 2 to n) p(i) P / 2 = lim(n to ∞) ∏ (i = 2 to n) p(i) 가 되서 나누어지지 않나요?
14/11/25 22:27
X = 1 - 1 + 1 - 1 +1 - 1 ...
1-X = 1 - (1 - 1 + 1...) = 1 - 1 + 1 - 1 +... = X 2X = 1 X = 1/2 이미 P 로 정의내리시는 순간 왜곡이 발생한다고 이해하시면 되겠습니다. ^^; 비슷한 예들이 많습니다. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = - 1/12 이 것도 유명하죠. 귀납적으로 설명하면 말이 안되죠.
14/11/25 22:46
'주어진 무한히 이어지는 수열의 합을 수직선 상에 한 점에 찍을 수 있는가?'와
'무한히 커지고 있는 상태의 수가 주어졌을 때, 그 수를 2로 나눈 값을 찍을 수직선 상의 자연수 좌표를 항상 찾을 수 있는가?'랑 다르지 않나요? 그리고 귀납적으로는 본문 문제가 풀린다고 생각합니다.
14/11/25 22:52
무한대를 일정한 수로 정의할 수 가 없기 때문데 IEEE 님과 같이 식으로 계산하려고 P 라는 수로 정의내리는 순간 오류가 발생하고 제가 보여드린 예와 같은 엉뚱한 해답이 나옵니다.
1 + 2 + 3 + 4 ... 의 케이스에서도 보시다시피, IEEE 님 논리대로 하나의 수로 가정하고 귀납적으로 풀면 이 수는 '양의 자연수가' 되어야 하는데, 음의 유리수가 나오죠... 제가 말씀드린 요점이 이겁니다. 무한대는 '수'로 정의되기보다는 개념에 가깝습니다.
14/11/25 22:22
무한히 곱해지면 짝수와 홀수 둘 다 아니면 짝수끼리 곱한 수나 홀수끼리 곱한 수도 짝수나 홀수가 아니고 그냥 무한대라는 거죠?
14/11/26 00:09
소수들의 곱 + 1 예를들어 2*7+1 같은 수는 소수가 아니지만
모든 소수들의 곱 + 1 은 어떠한 소수로도 나눌 수 없기 때문에 소수입니다. 아마 전자를 생각하신 것 같네요.
14/11/25 22:27
짝수도 홀수도 아니죠. 홀짝의 개념은 정수에서만 유효한 개념이고 무한대는 쉽게 말해서 지속적으로 커지는 상태를 나타내는 기호이지 정수가 아닙니다. 지금 짝수라고 생각하시는 분들의 논법이 대부분 수학적 귀납법이신데 수학적 귀납법으로는 소수 천만개든 1억개든 '유한'개를 곱했을때 짝수라는 걸 보장하지 무한대로 곱했을 케이스까지 커버하진 않습니다.
14/11/25 22:27
문제를 성립하게 하려면 모든 소수를 곱한 수가 "수"가 되도록 수 체계를 확장하고 그 확장된 체계에서 "나누어진다"는 개념을 확장하여 정의해야하는데, 그에 대한 언급이 없다면 애초에 문제에 의미가 없다고 봐야죠.
2가 곱해져있기에 2로 나누어진다는 논증이 성립하려면 이런 것도 가능해야 합니다. "모든 자연수를 더하면 유한이다" (증명) 1은 유한이다. 1+2도 유한이다. ... 1+2+ ... + n = n(n+1)/2는 유한이다. ... 따라서 모든 자연수를 더하면 유한이다. 하지만 자연수를 모두 더하면 유한한 값이 나올 수 없죠.
14/11/25 22:48
닫혀있다는 정의는 유한개의 원소를 연산하는 것에만 정의되어 있습니다.
무한개의 원소를 연산하는 것은 다루지 않습니다 그 이유는 아래와 예시를 보면 됩니다. A = { 1/n | n=1,2,3,...} 라는 집합을 생각합니다. 이 집합은 곱셈에 대하여 닫혀 있습니다. (증명 : 임의의 자연수 a,b에 대하여 1/a∈A, 1/b∈A이고, ab도 자연수이므로 1/ab∈A) 그러나 이 집합의 모든 원소의 곱 1/(2×3×4×5×...) = 0은 A의 원소가 아니므로 닫혀 있지 않습니다.
14/11/25 23:12
네. 그럼 0이 아니라고 해볼께요.
무슨 수인지 손오공님이 대답을 해 보세요. 대답을 할 수 있다면 닫혀있는 거구요. 대답을 못 하신다면 닫혀있지 않은 것입니다.
14/11/25 23:23
임의의 n에대해 1/n! > 1/(n^2)! > 0 이 성립하므로
1/n! 과 0사이에는 항상 다른 숫자를 잡을수 있으므로 1/n! ≠ 0
14/11/25 23:31
손오공 님// 이 댓글에서 논의할 사항은
손오공님이 "자연수는 곱셈에 닫혀 있으므로 자연수를 무한히 곱해도 자연수다" 라고 하셨고, 거기에 저는 "닫혀있다 라는 것은 유한번 곱하는 것에 의미가 있기 때문에 무한번 곱하는 것에 대해서는 닫혀있다고 할 수 없다" 라고 대답을 한 상황에서 누구의 말이 맞는지 입니다. 그런데 윗댓글처럼 손오공님이 임의의 n을 잡아버리면, 유한번 연산한 것이기 때문에 당연히 닫혀있죠. n이 무한대로 갔을 때를 가정하셔야죠.
14/11/26 10:37
카키스 님// 해석학에서 흔히 사용하는 방법인데요
수열의 발산에서도 n≥N 에대해 처음 설정한 상계를 넘어버려서 수열이 수렴한다의 모순됨을 이용해 증명합니다.
14/11/26 16:57
손오공 님// 위상수학에서 위상을 정의할때 세번째 조건을 정의할때 보면 유한번의 교집합에 닫혀있다고 정의하죠
유한번의 연산에 대해 닫혀있으면 무한번의 연산에 대해서도 닫혀있다는 명제는 반례도 많고 거짓입니다
14/11/25 22:44
자연수를 무한히 곱하면 자연수라는 이야기는 처음 들어보네요.
자연수를 무한히 더하면 자연수라고도 주장하시겠네요? X = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... X = -1/12 이건 그러면 어떻게 설명하실지.
14/11/25 22:58
그렇죠.
무한대를 어떤 수로 정의 내리는 순간 오류가 발생한다는 요점을 이야기하려던 게 반례를 만들어 이해시키려다 보니까 좀 샌 것 같네요.
14/11/25 23:08
뭐 예를 만드는 과정에서 상당히 무리를 하긴 했습니다만.
무한대는 그냥 무한대일 뿐 어떤 수로 정의내릴 수 없습니다. 무한대에 2를 곱하면 무한대일 뿐. 짝수가 되지는 않습니다.
14/11/25 23:19
누가 그걸 모르나요
소수의 무한성증명은 소수들의 곱을이용해 증명하는데 님의 말대로라면 소수들의곱 p1*p2*p3* ..... pn +1 도 어떤수로 정의내릴수 없어야합니다.
14/11/25 23:21
손오공 님//
그 식은 유한을 가정하고 나온 식이라, 무한대가 아닙니다. 소수가 무한이라고 가정하면 애초에 그 식이 나올 이유가 없죠.
14/11/25 23:21
손오공 님// 소수의 무한성 증명은 기본적으로 소수는 유한하다는 가정하에서 이루어지기 때문에
p1*p2*p3* ..... pn +1는 당연히 어떤 수로 정의할 수 있지 않나요?
14/11/25 23:10
의도는 이해했습니다. 또한 넓게보면 반례도 될수 있을것 같네요. 그렇지만 자연수의 무한합은 -1/12라는 것은 위험해보입니다. 그렇게 확장하다보면 0,1,2 등등 모두 다 때려도 답이 될수있으니까요.
써놓고보니 그냥 태클을 위한 태클이 된것같네요. 이부분은 죄송합니다.
14/11/25 22:43
짝수죠.
무한하다고 해도 결국 2를 곱해야 하는데요. 짝수 : 2로 나누어 떨어지는 [정수] 소수 : 1와 자기만으로 나누어 떨어지는 양의 [정수] 결국 2*3*5*7*기타등등 으로 쓸수 있는데, 가장 처음에 곱하는게 2죠. 이걸 부정하는건 수학적 귀납법 자체를 부정하는거..
14/11/25 22:46
4 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + .......................를 계산해보겠습니다.
1. 짝수에다가 짝수를 더하거나 빼므로 항상 짝수이다. 2. N = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...라고 가정하자 N = 1 + (- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - N 따라서 2N = 1, N = 0.5 위를 이용하면, 준식 = 4 + 2(1-1+1-1+1-1+...) = 4 + 2N = 5 ------------------------------------------------------------------------------------------ 4 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + .......................를 수라고 가정하고, 홀짝을 생각하는 순간 모순이 생깁니다.
14/11/25 22:47
정의 1.4.1 두 정수 a, b에 대하여
b=ac 인 정수 c가 존재할 때, a를 b의 약수(divisor) 또는 인수(factor) 라 하고 b를 a의 배수(multiple) 라고 하며 이 사실을 a|b로 나타낸다.
14/11/25 22:56
1/n은 n이 무한으로 갈때 0이지만 1/n을 0으로 만드는 자연수 n은 존재하지 않는다는 것을 생각해보면 무한에 대한 이해에 조금이나마 도움이 되지 않을까 싶습니다.
14/11/25 23:08
글쎄요?수학의 언어와 일상의 언어는 좀 다른부분이 있어서...용어의 정의를 좀 명확히 해야 답이 나오지 않을까요?
n번째 소수를 a(n)이라 약속했을때 "임의의 자연수 n에 대해 a(1)부터 a(n)까지의 곱은 짝수다"라는 명제는 분명 참입니다만...여기서 n을 무한대로 보내면...어찌될지... 결국 수열의 극한이 포함된 명제인건데...음...생각좀 해봐야겠네요 크크
14/11/25 23:11
무한대는 수가 아니라 '상태'를 의미하는거죠.
지금 상황에 풀어서 적용해 보자면 '계속 모든 소수를 곱하고 있는 상태이기 때문에 결론에 도달을 못하고 있다'고 보면 되지 않을까 싶네요. 영어적 표현을 쓴다면 진행형이라고 해야하나..
14/11/26 02:10
이 후엔 과연 문제를 만든 출제자가 거기까지 생각해서 문제를 냈는가에 대한 논의가 필요한거같습니다.
정답률이 37%인걸 보면 생각한거같지만 말이죠
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