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Date 2019/09/14 09:22:19
Name attark
Subject (펌,스압)컴퓨터를 낳은 위대한 논쟁:1+1은 왜 2인가? (수정됨)

본문글을 제가 게시판 성향에 맞게 살짝 수정하였습니다 



1+1은 왜 2인가?

라는 질문에 답할 수 있는가?



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에디슨은 학창시절에 진지하게 이를 물어본 적이 있다고 합니다


"물방울은 하나와 하나가 합쳐지면 하나가 되는데 왜 1+1=2입니까? "

 

이는 기존의 틀을 과감히 깨부수는 천재들의 창의성을 강조하기 위해

창작된 일화일 것입니다 

 

그런데 진지하게 묻죠

 

1+1이 왜 2인가?????

 

꼬마 에디슨의 다소 엉뚱한 물음을 꽤나 진지하게 받아들인 수학자들이 있었습니다

그리고 그들은 이 문제를 가지고 수십년의 세월을 연구하고,논쟁하고 울고 웃었습니다 


그런데 드는 의문이 아니 왜 수학자들이 할 짓거리가 없어서  그런걸 고민할까요? 


이에 대한 대답을 하기 위해 뜬금없이 조선시대로 가보죠 



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곱셉문제 줬더니 기하와벡터 문제로 되려 한방먹이는 조선의 수학자 홍정하의 일화입니다

사실 홍정하를 띄우려고  ebs 측에서 뒷이야기를 수록안했는데 그 뒤 중국 사신 하국주가 삼각함수 문제로 역으로 한방 먹이자 홍정하 역시 대답을 못했고 나중에 뒷풀이에서 서로 못풀었던 문제를 풀어주며 훈훈하게 마무리 했다고 합니다

 

각설하고 왜 뜬금없이 조선시대 얘기를 꺼내느냐?

사실 뒷이야기의 뒷이야기를 뜯어보면 하국주도 한방 먹였습니다 

조선에는 알려지지 않았던 '삼각함수'를 문제로 낸것이죠 

비유하자면 초등학생에게 사칙연산 배틀에서 지니까 열받아서 미적분 들고와서 풀어보라고 한 셈이죠 

자 근데 삼각함수는 서양에서 개발되었습니다 


사실 중국 사신 하국주도 서양인 선교사가 번역한 기하학책을 읽고 공부한것입니다 

근데 왜 동양은 삼각함수를 개발하지 못했는가?

삼각함수는 조금 어려우니 조금 더 쉬운걸로 묻죠 

왜 동양은 피타고라스의 정리를 개발하지 못했는가?

공자왈맹자왈 하느랴 시간낭비해서? 그런식으로 따지면 서양도

4원소가 어쩌니 하느님이 어쩌니 예수님이 어쩌니 하면서 허송세월한 시간도 만만치 않습니다


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사실 동양도 피타고라스 정리 비스무리한건 있었습니다


구고현의 정리라고 하는데 그래서 지금도 중국은 피타고라스의 정리라고 안하고 구고현의 정리라고 합니다.

근데 이건 피타고라스의 정리에 비할바가 아닙니다 


구고현의 정리는 세변의 길이의 비가 3:4:5일때는 직각삼각형이 된다 라고 정리해놓은건데 직각삼각형의 비가 3:4:5 인것은 어떤 문화권,시대를 막론하고 경험적으로 체득한 사실입니다 

참고로 피라미드 지을때도 위의 비율을 사용하였다고 합니다 

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그럼 피타고라스의 정리와 구고현의 정리의 차이를 결정짓는 근본적인 요인이 무엇인가 하면 바로 '일반화의 유무'입니다


피타고라스의 정리는 3:4:5 이외에 무수히 많은 세변의 비율을 일반적으로 도출해 낼수 있습니다 

가령 5:12:13, 7:24:25..... 심지어 1:1:√2 라는 요상망측한 비율까지.....

 

그렇습니다


동양수학은 서양수학과 다르게 일반화를 할 시도를 거의 하지 않았습니다.

반대로 동양수학은 실생활에 적용될 수 있는 분야에서만 수학을 한정지었습니다.

실제로 동양의 고전 수학책들을 보면 거의 대부분 실생활에 관련된 문제와 답으로만 단편적으로 구성되어있습니다.

(ex 토지 측량, 장사할때 돈계산 등등.....)


조선의 수학자 홍정하도 사실 중인이고 잡과 출신입니다 

이 잡과가 뭐냐하면 요즘으로 치면 기술직, 즉 기술자가 되는 시험입니다

엄밀히 말하자면 수학으로 먹고사는 '수학자'는 아닌셈이죠 

 

이렇게 동양에서는 수학을 실생활을 이롭게 해주는 도구라고만 여겼습니다 .

그렇기 때문에 수학이 '연역화'의 길로 나아가지 않게 되었습니다.

이상한 단어가 또 막 튀어나오죠...


 '연역화'는 그럼 뭘까? 이게 조금 어렵습니다 


플라톤이라는 사람이 있습니다 


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서구의 지적전통을 다진 사람이라도 해도 과언이 아닌 인물이죠


먼저 플라톤의 철학을 간단히 살펴봅시다


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플라톤 철학의 핵심은 이데아론입니다.

플라톤은 시공을 초월하는 존재인 이데아가 있고 우리가 보는 세계는 이데아의 그림자 격이라고 생각했습니다.


즉 위 그림에서 이데아는 토끼이고 비춰진 손바닥 모양의 형상은 우리가 보는 세계입니다.

그렇기 때문에 이데아만이 참된 본질이다.

우리가 보는 세계는 얼마든지 왜곡될수 있기 때문에 불완전한 것이다.

이런 세계관이였죠


갑자기 플라톤 철학을 왜 소개하냐고요?

 

플라톤은 우리가 이데아를 죽었다 깨나도 볼 수 없고,  시공을 초월한 세상 저편 너머에 존재하는 무언가라고 생각했습니다 

종교에서 말하는 천국과 지옥처럼 말이죠.

우리가 절대 도달할 수 없는 진정한 진리가 바로 이데아지만 플라톤은 이 이데아를 볼 수있기를 너무나도 갈망해했습니다

불변의 진리를 찾아 보는것은 학자로서 너무나도 매력적인 일이였기 때문이죠

 

그래서 그는 이 이데아에 도달할 수단을 찾았고 그는 그걸 수학이라고 결론지었습니다 


왜냐? 수학적 지식은 시공을 초월하여 정해져있다고 생각했기 때문입니다 


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그에비해 수학을 보죠.

위에서 언급했던 1+1=2를 보면 1+1=2는 이세상 어느곳을 가든 자명합니다.

고대를 가든,현대를 가든, 동양에 가든,서양에 가든 1+1=2입니다


그래서 플라톤은 수학은 우리가 세계에서 볼 수있는것중에 이데아에 가장 가까운 것이라 여겼고, 이를 연구하면 이데아에 가까워 질 수 있을거라고 생각했습니다

그래서 본인 스스로 수학을 가르치는 학교까지 설립했고 이는 아카데미의 어원인 '아카데미아'입니다 

 

각설하고 지금 동양과 서양의 수학적 차이가 왜 벌어졌는지를 이야기하고 있었는데 그에 대한 답은 '철학이 달라서' 입니다


플라톤의 철학적 전통은 그대로 이어져 서양은 수학을 단순히 실생활에 도움을 주는 도구가 아닌 진리탐구의 수단으로 보았습니다.

 세계의 본질을 찾아내는 도구로 인식한것이죠.

그래서 서양은 수학을 실생활의 영역에서 넘어서 '연역화'를 하였습니다.

그니까 연역화가 도대체 무엇이냐

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유클리드 [원론]을 보죠

유클리드 원론은 서양 수학의 성경이나 다름없는 책입니다.

서양 수학자들이 한국으로 치면 수학의 정석 보다 백만배정도 더 중요하게 생각하는 책이죠.

여기서  유클리드는 5가지의 공리(변하지 않는 사실)를 정해놓고 이를 바탕으로 248개의 명제를 증명했습니다.

이처럼 소수의 일반적인 원리로부터 논리적인 절차를 밟아서 낱낱의 사실이나 명제를 유도하는 것을 연역이라 합니다

 

이런 연역적 방법론이 동양 수학에선 존재하지 않았습니다 

즉 '어떻게' 풀었는지만 중시하고 '왜' 그렇게 되었는지는 관심밖의 일이였습니다 

홍정하가 쓴 [구일집]도 개개의 문제에 대해 나뭇가지를 사용하여 문제를 풀어내는 방법만 적어놨지 어떠한 논리체계를 거쳐 그런 결론에 다다른지는 기술하지 않고 있습니다 

 

서양수학이 '왜?'에 집착한 이유도 바로 플라톤의 철학에 근거합니다 

수학은 세계의 본질을 찾는 학문이기 때문에 반드시 체계적이고 선후관계가 논리적으로 완벽해야 하기 때문입니다


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이런 시각을 가장 극명하게 보여주는 일례로 

서양수학의 아버지이자 위에서 언급한 유클리드의 일화가 있습니다

유클리드가 강의하던 도중 누군가 손을 들고

'도대체 수학을 배워서 어따 써먹을 수 있습니까?' 라고 질문하자 하인을 불러

"여봐라, 배운 것으로 반드시 이득을 얻으려고만 하는 저 친구에게는 동전 세 닢만 주고 강의실 밖으로 쫓아내라."

라고 일갈한 일화가 있습니다 


이처럼 수학을 단순히 계산도구의 일종이라 본 동양과는 궤를 달리한것이죠 

그래서 동양의 수학은 피타고라스의 정리나 삼각함수, 더 나아가서 미적분학 같이 추상적이고 일반화된 수학으로 발전하지 못한것이죠 

단순히 누가 더 똑똑하고 말고나 유교경전을 읊고 안읊고의 차이가 아닌것입니다 

 

잡소리가 길었습니다 

자 그렇다면 다시 첫번째 질문으로 돌아가서 

1+1은 왜 2인가?

라는 질문에 전통적 서양 수학자들이 할 대답은

'원래 그렇다!'

띠용? 뭔가 맥이 빠지는 대답이죠 


하지만 그것이 유클리드 이래로 수천년동안 서양 수학자들이 가졌던 생각입니다 

1+1=2 라는것은 수학적 진리이고, 저 머나먼 세상 이데아의 세계에 그렇게 정해져있다.

이것이 플라톤의 대답입니다 

그리고 이 지적전통이 이어져 중세시대에는

'하나님이 그렇게 정했다!' 라고 대답합니다. 

이런 믿음은 1900년대초까지 흔들림 없이 이어집니다.

 


생2를 공부해본 이과학생이라면 한번쯤은 들어봤을 하디 베인베르크 법칙의 유도자이며 한 시대를 풍미한 천재 수학자 하디 (원래 수학자입니다) 는 이렇게 말했습니다 

 

'........나는 수학적 실체가 우리를 벗어나 있으며, 우리의 수학적 기능은 그것을 발견하거나 관찰하는 것일 따름이라고 믿는다.

따라서 우리가 '창조'했노라고 호언하는 것들도 사실은 우리가 관찰한 것에 대한 기술에 지나지 않는다.....

317은 소수이다. 그런데 이는 우리가 그렇게 생각해서도 아니고 우리의 마음이 이런저런 방식으로 형성되어 있기 때문도 아니다.

317은 소수이기 때문에 소수이며, 수학적 실체가 본래 그렇게 구축되어 있기 때문에 그럴 뿐이다........'

 

 

 

 

이런 주장에 따르면 에디슨은 실없는 소리를 한 셈이죠 

하늘을 보고 '저건 왜 땅이 아니고 하늘이에요?' 라고 물은셈입니다 

 

 

이처럼 1+1=2 입니다 

왜냐고요? 응 원래 그래








라는 믿음이 굳게 이어지다 어느 순간 흔들리기 시작합니다 



자 앞서 말한 서양 수학의 기초인 유클리드 기하학을 봅시다 

 

앞서 말했듯 유클리드가 정의해 놓은 공준적 연역관은 5가지의 공리만으로 수백가지의 명제를 도출해 내는 구조입니다


서양 수학자들은 이 구조를 천오백년 가까이 절대적으로 믿었습니다 

이런 구조를 기하학 뿐만 아니라 대수학,즉 방정식 가지고 노는 그런 수학에까지 전방위적으로 적용했습니다 

자 근데 하나를 묻죠 

 

위 5가지 공리가 맞다는 근거는 무엇일까요?

 

..... 사실 어떤 수학자도 깊게 고민 안한 사실입니다.

위 5가지 공리를 찬찬히 읽어보면 다 당연한 얘기인것 같아서 별로 반박하고 싶지도 않습니다. 그냥 원래 그래! 라고 하기에 딱 적합한 명제들입니다 


그런데 일부 수학자들은 5번째 공리에 의문을 조금씩 품기 시작했습니다 

5공리를 조금 더 쉬운말로 바꿔보면

"직선밖의 임의의 한 점을 지나고 직선과 평행인 직선은 유일하다"

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 '임의의 직선에 대해 특정점을 지나는 평행한 직선은 유일하다'

라는 공리이죠 

평행선의 유일성을 담보하는 공리로 솔직히 당연한 말 같습니다 

A4용지에 어떤 직선을 그려보죠 


거기에 대해 평행선을 그릴 수 있음은 자명합니다 

그리고 특정점을 지나는 평행성은 하나밖에 없음도 자명합니다 

그런데 만약 이것이 틀렸다면 어떻게 될까요?


가령 평행한 직선이 두개이상이거나 아예 존재하지 않는 경우가 생긴다면 어떻게 될까요?

그런 경우가 과연 있을까요?

자 평면이 아닌 곡면을 보죠. 우리의 지구 위에서 선을 그린다 생각해봅시다


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이처럼 처음에 평행선을 그려도 쭈욱 그려나가다 보면 결국 북극 근처에서 한점에서 모이게 됩니다 

 

즉  이 공간에선 평행선이 존재하지 않습니다!!

 

그럼 평행선이 반대로 무수히 많은 경우도 있을까요?

로바체프스키는 쌍곡면에서는 무수히 많음을 보였는데 생략하도록 하죠

어쨌든 있습니다


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로바체프스키,보여이,리만은 5번째 공리를 부정하고 새로운 공리체계를 바탕으로 만든 기하학인 비유클리드 기하학을 각각 독립적으로 정리해 발표합니다 

자 근데 그럼 이게 뭐가 중요하냐고요?


공리가 틀릴수도 있음을 보였다!!!

 

공리는 아무런 증명없이 받아들이는 일종의 진리값입니다

그 공리를 바탕으로 논리적으로 수백,수천가지의 명제를 증명해 나가는게 기존 수학자들의 전략이였습니다 

그리고 그렇게 만들어진 수학의 견고한 세계안에서 살아가는게 수학자들이였습니다 

 

그런데 그 공리들중 하나를 부정한 수학체계가 있을수 있고 심지어 무모순이다...

수학자들 입장에선 마치 우주에 우리 말고 다른 외계인이 살고있다는걸 알게 된것과 비슷한 충격이였습니다 




사실 비유클리드 기하학의 발견도 우연이였습니다 

수학자들은 유클리드 기하학을 완성하기 위해 5번째 공리를 연구하고 있었습니다

5번째 공리가 '공리'가 맞는지 아닌지에 대한 의혹이 꾸준히 제기 되었고 다른 네가지 공리를 이용해 이를 규명하려 시도했지만 도저히 증명되지 않았습니다 


그래서 그들은 다른 전략을 취했습니다

바로 5번째 공리를 부정하면 수학 체계에 모순이 생김을 활용해 공리임을 증명하려 했는데.......

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짜잔! 오히려 무모순의 새로운 수학체계가 완성된 것이죠

이게 얼마나 큰 문제이냐 하면 전편에서 말했듯이 플라톤은 수학적 지식이 미리 정해져 있다고 주장했고 후대 수학자들은 이를 굳게 믿고있었습니다 


그런데 미리 정해져 있는줄 알았던 공리가 맞아도,틀려도 별 문제 없다는게 밝혀지면서 이런 믿음이 뿌리채 흔들리게 된것이죠

과연 수학적 지식은 신이 정해놓은 절대적 진리인가? 아닐까? 그리고 그걸 인간이 알 수 있을까?

 

논리주의자의 등장

 

1+1은 왜 2인가?

하면 기존의 수학자들은

원래 그렇게 정해져있다고 생각했습니다.

그러나 신적인 위상을 가졌던 유클리드 기하학이 '절대적'이지 않다는 것이 입증되자 곧 이런 믿음의 이탈자가 생기기 시작했습니다 


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이름도 생소한 '프레게'

이분은 논리학을 연구하여 수리철학,언어철학의 기초를 완성한 문이과 통합 마스터이십니다

그는 아주 파격적인 주장을 했는데... 바로

 

"수학은 논리학의 일부이다"

 

논리학은 어떤 명제들의 관계를 서술하는 방법에 대한 학문입니다 우리가 익히 아는 삼단논법, A가 B이고, B가 C면 A는 C이다 같은 명제의 논리적 흐름을 연구하는 학문입니다.

 

즉 수학은 원래 부터 정해져 있는게 아니라 공리의 논리적인 관계를 나타내는 내용에 불과하단것입니다.

그렇기 때문에 공리와 그 관계를 조금 바꾸기만 하면 얼마든지 다른 형태의 수학을 창조해낼수 있다는거죠 

결국 1+1=2 인것은 그냥 우리가 편의상 정한것이지 원래부터 정해져있다는게 아닌셈입니다

 

우리는 1+1=3으로 정할수도 있었습니다

그러나 1+1=2 라고 정한게 더 편해서 그렇게 쓸뿐인것이죠 

감이 잘 안온다면 다음과 같은 예시를 봅시다

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음수x음수는 양수이다

라고 중학교때 배웠을것입니다 

그런데 그 이유를 한번이라도 배워본적 있는가요? 왜 음수의 음수배가 양수가 되는걸까요?

이유는 딱히 없습니다 단지 현존하는 수학체계에서는 그렇게 정의함이 훨씬 편리하기 때문입니다.

실제로 음수x음수를 음수라 정의하는 수체계를 만들수는 있지만 기존의 수체계보다 훨씬 복잡해집니다 (실제로 분배법칙과 결합법칙등 상당수의 기본법칙들을 다 갈아엎어야 합니다)

 

아무튼 이때부터 이런 주장을 펼치는 사람을 논리주의자라고 합니다

그에 비해 이전의 주장을 펼치는 사람은 플라톤주의자라고 하게 됩니다 

그리고 논리주의자였던 프레게는 본인의 생각을 증명하기 위해 고군분투 하게 됩니다


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나 수포자요, 하는 사람도 반드시 한번쯤은 봤을법한 집합입니다

그야 수학책 맨 첫장에 있고, 쉽기 때문에 적어도 여기까지는 봤을것입니다

그 뒤가 문제지만.....

그런데 의문이 들지 않나요? 도대체 쓸일도 없고 단순히 표기만 유용하게 해주는 집합을

맨 첫단원부터 배울까요? 그것도 한단원씩 할애해서?

 

 

프레게로 돌아와봅시다

수학은 자연수와 산술(사칙연산,교환,분배법칙....)을 기반으로 쌓아 올라져가는 체계입니다.

따라서 자연수와 산술을 논리학적으로 설명 할 수있다면 수학 전체도 논리학적으로 설명 할 수 있게 되는셈이죠.

그럼 이 전략에 따라 프레게는 수학을 논리학의 언어로 규명하기 시작했습니다.

 

과정을 보죠

프레게는 먼저 자연수를 집합을 통해 정의하였습니다.

그리고  집합과 논리기호를 활용한 논리적 기술을 통해 자연수의 산술을 정의하였습니다.

그렇게 완성된 체계가 모순이 없고 완전하다면 수학은 논리학적 기술로만 나타낼수 있단 뜻이죠.

그리고 이것이 실현된다면?

 

수학적 지식은 더이상 인간이 닿을수 없는 세상 저편 어딘가에 있는 지식이 아니라 인간의 언어로 모조리 해독할 수 있는 알려진 지식이 됩니다


폴 에르되시라는 한 천재 수학자는 이런말을 했습니다 

 

'"신은 모든 수학증명을 자신이 가지고 있는 책에 써놓고 감추어 놓았다.

그런데 가끔 자기가 좋아하는 수학자에게 이 책을 살짝 보여주곤 한다"

 

만약 이런 시도가 성공한다면 그 '책'은 더이상 신의 책이 아닌 '인간의 책'이 되는것이죠 

연구끝에 프레게는 1893년 이를 성공하고 발표합니다 

수학자들은 흥분에 빠졌고 찬사를 보냈으며 머지않아 '신의 책'을 빼았을 수 있을거라는 기대에 부푸는데.....  

 

 

이발사의 역설



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세비야의 한 이발사는 다음과 같이 선언했습니다.


"앞으로 나는 모든 '자기 수염을 스스로 깎지 않는 사람들'의 수염을 전부 깎아줄 것이오. 다만 스스로 깎는 사람은 잘라주지 않겠소."


이때 이 이발사의 수염은 누가 잘라줘야 하는가?

 

만약 남이 잘라준다면?  본인이 자기 수염을 스스로 깎지 않는 사람이니 내가 깎아줘야 한다

내가 자른다면? 스스로 깎는사람이니 내가 깎아주면 안된다.

따라서 이발사는 이도 저도 할 수 없는 모순에 직면하게 됩니다.

 

왠 말장난이냐고요? 이런 말장난이 달콤한 꿈에 젖어있던 수학자들에게 찬물을 끼얹습니다.

사실 이 이발사의 역설은 '러셀의 역설'을 알기 쉽게 푼 버전입니다.

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(버트런트 러셀)

 

러셀이 딱 하나의 질문을 던지자, 프레게의 이론에 확신을 더해가던 수학계에 파란이 입니다. 그 질문은 무엇일까요?

자 일단 집합과 원소부터 알아보도록 하죠

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A는 집합이고 원소는 1,2,3,4,6,12이다

즉 원소의 모임이 집합이다.

그리고 집합은 집합을 원소로 포함할 수있다

{1,2,3} 이라는 집합이 있다면  

{4,5,{1,2,3}} 이런식으로

 

자 그럼 준비가 되었으니 그럼 러셀의 질문을 보죠 

 

 

'A는 자신의 원소가 아닌 모든 집합들만 원소로 가지는 집합이다, 이 때 집합A는 자기자신을  원소로 가지는가?'

 

좀 더 줄이면

 

'A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다. 이때 A는 A의 원소인가?'

 

이 요상한 질문에 답을 해보도록하죠 

 

A가 A의 원소라면

 

1)A는 A의 원소인 집합이다.

2)A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다 → A는 A의 원소인 집합을 원소로 가질수 없다.(정의)

3)A는 A의 원소인 집합이니 A는 A를 원소로 가질수 없다.

4)따라서 A는 A의 원소가 아니다.

 

A가 A의 원소가 아니라면

 

1)A는 A의 원소가 아닌 집합이다..

2)A는 A의 원소가 아닌 집합만 원소로 가진다

3)A는 A의 원소가 아닌 집합이니 A는 A를 원소로 가진다.

4)따라서 A는 A의 원소이다.

 

 

 

무엇을 전제하든 A는 A의 원소이기도 하고 아니기도 한다.

즉 모순이 생긴다!

 

이런 말장난 같은 역설에 수학계는 패닉에 빠집니다 

수학을 논리학의 언어로 완전하게 환원시키려는 시도가 완성단계에서 급브레이크에 걸린것이죠 


저것만 무시하면 되지 않느냐... 라고 하기엔 수학자들의 자존심이 허락하지 않습니다.

결국 수학체계의 허점을 인정하라는 건데, 그러면 다시 원래의 의문에 빠지죠.


원래 생각처럼 수학적 지식은 인간이 도달할 수 없는 곳에 있는것인가? 

아니면 연구의 부족으로 허점이 생긴것인가? 

그야말로 대혼란에 빠진 수학자들은 몇개월 가까이 삽질을 하다 결국 파란을 일으킨 당사자가 이 혼란을 수습하게 됩니다 

 

 

러셀은 이런 역설이 집합의 정의가 모호함 때문에 일어났다고 설명했습니다.

당시까지 집합은 애매모호한, 우리가 교과서에서 배웠던 '원소의 모임'로 정의되어 있었습니다 


그렇기 때문에 '자기 자신을 포함하는 집합' 같이 말장난 같은 집합도 생성이 가능했었던거죠 

그래서 그는 집합의 정의를 보강했는데 그는 집합끼리 서열을 부여했습니다 

0,1,2....같은 개체들은 0계,

0계의 모임, 즉 {0,1,2},{4,5,6}..... 같은 개체들은 1계

0~1계의 모임, 즉 {0,1,{0,1,2}}.......같은 개체들은 2계

이런식으로  말이죠


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(간략하게 나타낸 그림)

 

그렇기 때문에 자기 자신을 포함하는 집합같은건 애초에 만들어질 수 없습니다.

이를 '계형이론'이라 합니다.

이런식의 처방으로 다시 수학계는 안도했습니다.

그러나 다음과 같은 의문을 줍니다 

'계형이론을 부여할 수있는 논리적 근거가 무엇인가?'


다시말해서 수학자들은 어떤 집합의 형성은 인정하고, 어떤건 부정해야 하는지에 대해 아무런 설명없이, 그냥 이렇게 해! 라고 얼버무려 버리고 만것이죠.....

이는 수학을 논리적인 언어로 모두 설명하려 한 논리주의자들이 자기모순이였습니다.

이런 흐름속에 다시 새로운 수학자들이 등장하는데....

 

 

 

잡설)

그리고 어찌됐든 현대수학은 이런저런 일이 있었지만 결국 집합을 이용해서 공리를 만들고 그를 바탕으로 한 수학체계를 구축했습니다 

우리들이 배우는 수학의 기초를 파고 파고 들어가다 보면 결국 모두 집합으로 이루어져 있다 해도 과언이 아닙니다

실제로 1,2,3,4.... 라는 숫자 마저도 집합을 이용해서 정의합니다

그래서 우리는 집합을 제일 먼저 배웠던것입니다 






이미 말했다 시피 '러셀의 역설'로 기존의 논리주의자들은 다소 궁색한 입장에 처한다.

가장 간결한 논리학의 언어로만 수학 체계를 구성하는 것에 실패했기 때문이다.

그리고 더욱 더 논리주의자들을 골치 아프게 한 문제가 있었으니 바로

'무한'이다.


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칸토어는 최초로 금기의 영역에 있던 '무한'을 건드렸습니다.

그 당시까지만 해도 무한은 신만이 알고 있는 '저너머 세계' 앞에서 골백번은 말했던 '플라톤적 이데아'의 영역이라 생각되었고 이를 연구해서 파헤친 칸토어는 당연히 엄청난 비판에 시달리게 됩니다.

집합론의 기초와 무한을 엄밀히 규명한 업적을 세웠지만 이런 공격과 연구에 대한 스트레스가 겹쳐 정신병에 걸려 정신병원에서 쓸쓸히 죽게 됩니다 

 

아무튼 이건 잡설이고, 그는 무한에 대해서 아주 신박한 개념을 발표하는데

 

'무한에도 대소가 있다!'


언뜻보면 그럴듯 하기도 하고 아닌것 같지만 그는 '대각선논법'이라는 기똥찬 방법을 개발하여 짝수와 자연수의 개수는 같고, 자연수와 유리수의 개수는 같지만 유리수와 무리수의 개수는 다르다는 듣기만 해도 정신이 아득한

연구결과를 마구 내놓습니다  (이에 대해선 이 글 참조, 댓글에 링크)

 

이렇게 되니 아무리 무한을 기피하던 수학자들도 결국 강제적으로 무한에 손을 댈 수 밖에 없었고, 참으로 난처한 일이 생깁니다 

무한을 어떻게 논리적인 언어로 기술할 것인가?

 

참으로 골치 아픈 문제였고, 그에게서 집합이란 수학적 도구를 물려받은 논리주의자들은 깊은 고뇌에 빠지게 됩니다

 

게다가 칸토어의 연구결과에 따르면 심각한 모순이 생깁니다 

그는 '어떤 집합의 멱집합은 그 집합보다 수가 많은 집합'이라는 연구도 발표합니다 

'멱집합'은 어떤 집합의 부분집합을 전부 다 모아놓은 집합입니다 

 

가령 {1,2,3} 이라는 집합이 있다면

 

{{1},{2},{3},{1,2},{1.3},{2,3},{1,2,3},∅} 이렇게 다 모아놓은 집합이 멱집합인것이죠 

여기까진 당연한 소리니까 그렇다 치죠 

 

'무한집합의 멱집합은?'

 

이란 질문에 칸토어는

 

'무한집합도 해당된다!' 

 

라는 답을 합니다 

무한집합의 멱집합은 무한집합보다 큰 무한집합이라는 말장난 같은 상황이 벌어지는데... 이 때 또 다시 역설이 등장합니다 

 

'모든 집합의 집합은 존재하는가?'

 

라는 질문에 대답해보죠 

모든집합의 집합을 A라고 가정하고 A의 멱집합을 B라고 할 때, 칸토어의 연구에 따르면 B는 A보다 큰 집합입니다 



???????????

모든집합의 집합보다 큰 집합이 존재한다면 그 집합은 무엇일까요?

그럼 B의 멱집합을 C라고 해보죠 

그럼 모든집합의 집합보다 큰 집합보다 더 큰 집합이 존재한다!

이상한 말장난 같습니다 

 

이렇게 좌충우돌 겪으로 꼬여가는 논리에 새로운 학파가 등장하게 됩니다 

 

 

형식주의자들의 등장


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이분은 비트겐슈타인입니다 

생활과윤리 선택했다면 한번쯤 책에서 봤을것입니다.

프레게가 언어철학에서 활약하고 수리철학에서도 활약하고 비트겐슈타인도 철학에서도 수학에서도 활약했습니다.

그는 '논리실증주의'를 주창하게 됩니다.

복잡하지만 요약하자면 우리는 '의미있는 명제' 만을 다뤄야 한다고 주장하는 철학입니다

 

가령 '태양은 아름다운가?'라는 명제를 보죠.

이것은 의미가 있는 명제인가? 비트겐슈타인은 아니라고 대답합니다.

답이야 할 수있지만 아무런 의미는 없습니다. 왜? 

이 명제가 참인가 거짓인가? 사람마다 다 다르게 볼 문제이기 때문이죠. 이런 명제는무의미(nonsense)하다는 겁니다 


그에비해 수학,과학은 다르죠

'물은 수소와 산소로 이루어져있는가?' , '무리수는 순환하는 무한소수인가?'

'삼각형의 변은 네개인가?'

같은 명제는 참이든 거짓이든 둘 중 딱 하나로 귀결됩니다. 


참 거짓을 떠나 명확한 대답이 가능합니다. 사람의 취향차이고 나발이고 없죠.

이런것은 '의미있는 명제'입니다 

그는 철학은 이런 의미있는 명제만을 다뤄야 한다고 생각했습니다..

철학의 전통적 관심사인 윤리를 철학의 영역에서 제거하는 독창적인 움직임이였죠.

 

어쨌든 그는 수학에 대해서도 입장을 밝혔는데 그는 수학은 그저 항진명제의 나열에 불과하다고 주장합니다 

항진명제가 뭐냐면  '총각은 미혼이다', '파란색은 blue다' 같이  표현만 다른 두 명제를 같다고 놓은 명제입니다

이런 명제는 아무런 의미가 없습니다 


수학은 이런 명제들만 주구장창 모아놓은 것이라는거죠

1+1=2 라는 명제는 1+1과 2가 같다라고 설정한 명제일 뿐 그 자체에는 아무런 의미가 없습니다  

이러한 주장은 플라톤주의자와 논리주의자들의 생각을 전면으로 반박합니다 

수학의 본질이 그저 기호들의 놀음에 불과하다는 말이기 때문이죠 

 

이 철학은 수학에서 형식주의의 형성에 지대한 영향을 주게 됩니다 

비트겐슈타인의 사상을 따르던 '빈 서클'의 수학자와 힐베르트라는 수학자가 이러한 흐름을 주도하게 됩니다 

 

 

형식주의자들에 의해 완성되가는 수학

 

자 그럼 형식주의란 무엇인가?

수학을 좀 더 간결하게 정의한 것입니다 

 

'수학은 기호의 놀음이다'

 

이는 논리주의자보다도 더 반플라톤주의적인 입장입니다 

수학은 결국 기호의 의미없는 나열과 이 관계를 규명한것에 불과하다는 입장입니다 

이 입장에 따르면 1+1은 2 라는 결론에 대해서 더더욱 시시한 결론에 이릅니다 


1+1=2


이 식은 1,+,=,2 네가지 기호의 의미없는 나열에 불과합니다 

다만 1+1 =2 인 이유는 그저 우리가 이렇게 정해서 그런것일뿐,

수학은 마치 체스게임과 같습니다 


체스가 체스말의 움직임과 규칙을 미리 정해 놓고 그 안에서 움직여 승패를 겨루듯, 수학도 우리가 인위적으로 정해놓은 세계관 안에서 명제를 증명하는 일종의 게임이라는 거죠 

 

 

이런 견해가 논리주의와 하등 다를바 무엇이냐 물을 수 있겠지만 좀 더 세부적으로 들어가면 논리주의보다 더 명확한 설명이 가능해집니다 

 

예를 들어 앞에서 설명한 러셀의 역설을 보도록 하죠 

이를 해결할 방법은? 간단합니다 

'그런 집합은 안만들면 된다' (물론 실제로는 이것과 비교도 안되게 복잡한 언어로 설명합니다)

그런 억지가 어딨냐고요? 


방금 형식주의자들은 수학은 기호의 놀음이라고 보았습니다 

당신은 가나다 뒤에 라가 온다고 논리적으로 항변할 것인가?

 

그럼 칸토어가 말한 '모든 집합의 집합'은?

그냥 '그런거 안 만든다고 약속'하면 되는거죠.

형식주의자들은 다음과 같은 전략을 세웠습니다.


구태여 수학을 논리학의 언어로 설명하기 보단 딱히 설명 불가능 한 것은 간단하게 공리로 설정하고 이를 바탕으로 기호끼리의 관계를 서술, 정리하여 사념이 제거된 '형식체계' 를 만든다. 

그리고 그 내부에서 모순이 없고 완전하다는걸 증명한다면?

수학은 단순히 기호들의 놀음이라는것이 입증되는것이죠 


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수학에 영원한 무지란 없다

-힐베르트-

 

힐베르트는 형식주의자들의 리더였습니다 

그는 1900년 국제 수학자회의에서 일명 '힐베르트 프로그램'을 가동합니다 

산술, 즉 사칙연산과 자연수 이루어진 수학의 공리를 정하고 그 공리를 바탕으로 모순없이,완전한 공리계를 만드는 작업을 시작하고 수학자들을 끌어모으게 됩니다 

 

이 때 '완전한'이란 무슨 뜻인가?

이말은 '모든 것이 증명 가능한' 이란 뜻입니다 

힐베르트 프로그램이 완성되면  무모순의 완전한 수학체계가 구축이 됩니다 

그럼 어찌 되냐고요?


앞에서 말했다 싶이, 수학은 이제 신의 영역이 아닌 인간의 영역이 됩니다 

증명불가능한 문제따윈 없게 되고, 더이상 수학은 세상 저편의 무언가가 아니게 되는겁니다 

그는 수학은 인간의 영역이 될 수있고, 실제로 그렇다고 확신했습니다 


체르멜로,프랑켈,폰노이만 같은 천재들을 필두로 산술의 공리계가 완성되어갔고, 그는 이내 몇년내로 산술의 공리계의 완전성이 증명 될 것이라고 장미빛 전망을 내비쳤고, 형식주의자들은 희망에 젖어 있었습니다 


그리고 심지어 물리학도 이런 구조로 형식화 할 수 있을것이라는 예측까지 하였습니다 

이 예측마저 맞다면 세상의 모든 물리법칙들마저 모르는 문제가 없게 됩니다 

그러면 인간은 문자 그대로 신이 되는거죠 과연 그렇게 될 수 있을까요?



불완전성 정리의 등장


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 '쿠르트 괴델'

이분이 현대에 미친 영향은 지대하다라는 표현으론 부족할 정도입니다

빈 대학 물리학과에 입학한 그는 입학때부터 천재성으로 이름을 날렸고 당대 최고의 지성들만 모이는 사교모임인 '빈서클'에 초청됩니다 

 

그러나 그는 골수 플라톤주의자였습니다

1탄에서 소개한것 처럼 수학적 지식은 저 머나먼 세계 어딘가에 정해져있다는 생각을 가지고 있었습니다 

그러나 빈서클은 형식주의자들이 대다수였고, 그곳에서 비주류였던 그는 그들을 반박하기 위해 조용히 연구에 몰두했고 23살이 되던해, 어마어마한 연구결과를 세상에 내놓게 됩니다 


1930년 쾨니히스베르크, 그 해 거기서 열린 학회에서 그는 박사논문(!!)을 발표합니다 

일개 대학원생이 내놓은 발표에 학자들은 듣는둥 마는둥 심드렁 하고 있었는데...



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7살때 8자리 암산이 가능했고  자기가 만든 컴퓨터랑 암산 배틀에서 이긴 전설의 천재 폰노이만은 듣자마자 논문의 진가를 알아봤고 그와 함께 논문을 정리합니다 

31년 고등과학원에서 이를 발표하면서 불완전성 정리는 세상에 알려지게 됩니다 

 

잡설이 길었습니다. 불완전성 정리가 무엇일까요?

 

1. 자연수의 사칙연산이 포함된 공리계는 무모순이면 불완전하다, 즉 무모순이면 증명불가능한 명제가 하나 이상 있다.

2. 산술을 포함하는 공리계가 무모순인것은 공리계 내부에서 증명이 불가능하다.

 

말이 조금 어렵습니다. 풀어 써보도록 하죠 

1번을 요약하면 다음과 같습니다 

 

'수학은 증명 불가능한 명제가 존재한다'

 

??????????

 

증명이 불가능한 명제가 하나 이상 존재한다는 것입니다 

그럼 수학은 완전하지 못합니다 

왜냐하면 모든것이 증명 가능하지 않기 때문이죠 

혼돈을 뒤로하고 2를 보죠  


2는 요약하면 무모순인것은 그 체계 안에서 증명이 불가능 하다는 것이다.

어떤 수학 체계가 있으면 그 내부로부터 무모순인것이 증명 불가능하다.

그 체계가 무모순인걸 증명하려면 다른 외부의 체계를 하나 더만들어서 그로부터 그걸 증명해야한다.


이것이 맞다면 힐베르트와 형식주의자들의 꿈은 박살이 납니다 

수학은 완전하지도 않으며, 무모순성을 내부로 부터 증명 할 수도 없다!

 

이 획기적인 정리를 괴델은 어떻게 증명했을까요?

아주 복잡합니다. 하지만 여기서 최대한 간략하게 설명해보겠습니다.

괴델은 먼저 다음과 같은 명제를 만들었습니다 

 

A: A가 참인 것을 증명 할 수 없다

 

자기자신이 참인것을 증명 할 수 없다 라는 명제이다.

만약 A가 참이라면 아무런 문제가 생기지 않는다.

그러나 A가 거짓이면 A는 참인 것이 증명이 된다는 뜻이다.

근데 A는 거짓이라고 가정했으니 모순이다.


따라서 A는 무조건 참이다. 결국 A는 증명불가능하다. 

그리고 그는 이 명제를 사칙연산과 자연수로 나타낼 수 있음을 

증명했다. (자세한 방법은 추후에 따로 글을 올리겠다. 존나게 복잡하고 어렵다)

따라서 산술에는 A와 같이 증명 할 수 없는 명제가 하나는 반드시 존재하게 된다.

1정리가 증명이 된다.

 

그런데 만약 공리계의 무모순을 내부에서 증명 할 수 있다고 치자,

1정리는 '무모순이면 그 안에 A와 같은 명제가 존재한다'

라고 정했습니다 


그런데 A는 위에서 말했듯이 무조건 참입니다 

따라서 무모순을 내부에서 증명 할 수있으면 A라는 참인 명제가 있다는 것을 알게 됩니다 

근데 증명이란 무엇인가? 수학에서 증명은 P이면 Q이다의 형식을 띄죠 

가령 'n각형의 내각의 합은 180*(n-2)이면, 삼각형의 내각의 합은 180이다'

와 같이.


'A는 증명불가능하다' 라는 명제는 증명이 아닙니다 

그저 선언적인 명제에 불과합니다 

그러나 '어떤 체계에 무모순을 내부에서 증명할 수있다면 그 안에 있는 A는 참이다.'

라는 문장은 p이면 q이다 라는 꼴입니다. 따라서' A는 참이다' 라는 것이 증명되는 셈입니다.

그런데 A는 증명 불가능한 명제이다. 따라서 모순이다

고로 어떤 체계의 무모순성은 그 체계 안에서 증명이 불가능하다!

 

머리가 아파오지요... 

이제 이런 말장난 같은 정리가 수학계와 이를 넘어 인간 생활 전반에 어떤 파급을 가져왔는지 더 자세히 알아보도록 하죠 


1)헬게이트 오픈, 그리고 연속체가설

 

 

괴델의 불완전성 정리는 수학계에 헬게이트를 열어버리게 됩니다 

형식주의자였던 폰 노이만은 이런 말 까지 합니다 

 

'아, 이제 우린 다 끝났군요'

 

그런데

'수학에는 증명불가능한 명제가 하나 이상 존재한다'

라는 기묘한 결론을 뒷받침 할만한 증거는 있긴한것인가?

 

괴델은 '연속체가설'이 그에 해당하는 명제라고 주장합니다 

 

연속체가설은 한마디로 요약하자면

 

'자연수보다 많고 실수보다 적은 개수의 집합이 존재하는가?'

 

입니다


없다라고 추측이 되었지만 풀릴듯 말듯한 이 문제는 나온 시점에서 40년 가까이증명이 되지 않고 있었습니다


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당장 이 가설의 제시자인 칸토어마저 이 문제를 풀다가 정신병이 와버려서 정신병원에서 죽어버렸습니다 

그런데 괴델은 이 문제가 '증명 불가능한 문제'라고 가설을 제시하고 '참으로 가정해도 문제가 없다'를 증명하게 됩니다.

그리고  1963년, 폴 코엔은 이 문제가 '부정으로 가정해도 문제가 없음'임을 증명하면서 증명이 불가능함을 증명하게 됩니다 


즉  연속체가설은 참이여도 거짓인지 정할 수 없으며 둘 중 어느것이라도 상관없다는 뜻이죠 

이런 기묘한 결론을 어떻게 해석해야 하는가?

에 대해서 수학자들은 고민하기 시작합니다.


1935년, 막스 뉴만은 이 불완전성 정리에 대해 새로운 해석을 내놓게 됩니다 

바로 무한과 결부시킨 해석입니다 

 

괴델의 불완전성 정리는 다음과 같은 명제를 인정하면서 시작합니다 

 

A는 증명 불가능하다 = A

 

이 명제는 근본적으로 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제입니다.

그러나 일반적인 상황에서는 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제는 있을 수 없습니다

가령 다음과 같은 명제를 보도록 하죠 

 

X=X+1

 

 

이 명제는 자기 자신을 자기자신으로 기술하는 명제입니다.

그러나 이건 초등학생도 대답할 수 있는 문제입니다.

이런 건 세상에 존재하지 않는다!....... 라고 생각할 수 있지만 딱 하나 예외가 존재합니다



 

 

 

 

 

 

2)저 머나먼 무한의 세계로, 나는 가자

 

 

 

 

 

 

x=무한 이라고 생각해보죠 

 

무한=무한+1 

 

이라고 하면 위식은 성립합니다.

무한에 1을 더해봤자 똑같은 무한이기 때문이죠.

그런고로 뉴만은 이런 해석을 내놓습니다 

 

'괴델은 유한한 방법으로 찾을 수 없는 문제가 있다는걸 찾은것이다!'

 

말장난 같은 명제는 사실 무한을 유한적인 방법으로 기술한 것이죠.

유한한 관념만 담을 수 있는 인간에겐 머리가 꽤나 아픈 일이겠지만 괴델은 이를 훌륭하게 수학적 언어로 증명했습니다


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그리고 이 강의를 듣던 한 청년이 있었습니다 

그의 이름은 '앨런 튜링'

튜링은 우연히 이 강의를 듣고  이 문제에 대한 다른 접근을 시도해보게 됩니다 

 

'사람은 유한한 방법으로 풀 수 없다 치자, 기계는 어떨까?'

 

사실 우리가 도저히 유한한 시간안에 할 수 없는 일을 기계는 수십초안에 뚝딱 해내곤 합니다


예를 들어 

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1800년대 샹크스란 수학자는평생을 바쳐 원주율을 707자리 까지 손으로 계산했지만 1900년대 한 수학교사가 탁상용계산기로 그것을 검산해보았고,528번째 자리부터 모조리 틀렸다는게 밝혀지게 됩니다 

오늘날 평범한 컴퓨터, 우리가 롤이나 오버워치 돌리는 컴퓨터로 원주율을 계산하는 속도는, 100만자리를 계산하는데 1초정도입니다

 

어쨌든 우리 튜링은 수학적 문제를 풀 수있는 기계를 고안해 내고 이를 '계산가능한 수에 대해서, 수리명제 자동생성 문제에 응용하면서' 라는 논문에서 발표합니다 

그 기계가 뭐냐고요? 바로 여러분이 지금 보고 있는거



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바로 '컴퓨터'입니다. ( 난 폰으로 보는데? 할 수도 있지만 스맛폰도 엄밀히 따지면 컴퓨터입니다)

그는 컴퓨터의 원시적 형태인 '튜링머신'을 제시합니다 

튜링머신을 구성하는 아이디어 역시 괴델의 증명에서 따왔습니다

괴델은 '괴델수'라는 개념을 도입해서 모든 명제를 숫자로 환원시켰습니다 


가령 1+1=2 는 45234235, 이런식으로 말이죠 

컴퓨터는 모든 문제를 0과1로 수식화시켜 계산합니다 

이 아이디어 역시 괴델의 아이디어에서 따온것입니다 


어찌됐든 튜링은 논문에서 이 기계를 사용하여  컴퓨터가 '무한한 시간이 걸리는 문제'를 어떻게 다룰 지를 연구하였고, 꽤나 김빠지는 대답을 도출합니다 

 

'컴퓨터는 어떤 수학적문제를 푸는데 무한한 시간이 걸리는지 아닌지 일반적으로 파악 조차 할 수 없다!'

 

더 쉽게 요약하자면

'컴퓨터가 어떤 수학적 문제를 풀 수있는지 없는지 조차  일반적으로 알아낼 수 없다'

입니다


여기서 '일반적'이라는 표현에 주목해야합니다

하나의 프로그램으로 '모든 문제'를 해결하는 상황을 상정한것이죠.

개개의 경우에는 풀 수 있는지 없는지 알아낼 수 있습니다.

가령 위에서 말한 '연속체 가설'의 경우 우리는 풀 수 없음을  증명했습니다.

 

일반적인 상황, 즉

이 세상 모든 수학적 문제를 집어넣으면 문제가 풀릴 수 있을지 없을지 모두 뱉어낼수 있는  '하나의 프로그램' 을 만들 수 있는가? 에 대해 '불가능하다'라고 답을 내린것이죠. 

이로서 기계의 힘을 빌려서도 수학은 불완전 하다는 것이 더더욱 확고해지게 됐습니다.



 

또한 튜링은 여기에서 한발자국 나아가 또다른 문제를 제기합니다

 

'그럼, 풀 수있고 없고를 떠나 모든 수학적 문제를 컴퓨터로 실행이 가능한가?'

 

그리고 그는 이 문제를 풀어내기 위해 

'인간의 뇌를 본뜬 완벽한 컴퓨터를 만들면 되지 않을까?'

라는 생각을 했고, 이에 따라 요즘 핫한 ai ,


즉 인공지능이란 개념을 구상하기도 했습니다 

인공지능이 발달해 가고 있는 지금, 위 문제는 해결되었을까요?

아직까진 해결되지 못했습니다 

 

튜링은 사실 괴델의 정리를 파헤치는 과정에서 이런 기계를 고안해 낸것이지 실용적인 목적을 위해 고안한 것은 아닙니다


하지만 누가 알았으랴! , 그것이 지금 인류의 문명을 비교도 안되게 풍요롭게 해줬고,

이제 우린 컴퓨터 없인 살 수 없는 사람이 되었으며, 현대 문명의 8할은 컴퓨터에게 빚졌다고 해도 과언이 아닙니다 또한 여기서 파생된 인공지능이란 개념은 지금 4차산업혁명이니 뭐니 하면서 벌써 시대를 선도하고 있지 않나요

 

여기까지 읽으면서 '아니 수학자들은 할 짓도 없나, 왜 이런걸 고민하지?'

라고 반문 했을수도 있을것입니다.  그러나 이런 쓸데없어 보이는 논쟁에서 인간의 삶을 편리하게 해주는 실용적 기술이 무한하게 파급되어 나타납니다 

'왜 기초과학에 투자해야 하느냐?' 라고 묻는다면 이걸로 대답을 대체할수 있겠네요

 

 

3)아 그럼 누가 맞냐고요

 

 

그럼 누가 맞을까요? 

사실 이렇게 기술했으니 '플라톤주의자'가 맞았다! 라고 답할 수 있겠지만

다음과 같은 의문이 생깁니다 


'수학이 불완전하다면 그것이 신의 지식이라고 봐야 하는가?'

일반적으로 신은 완전하죠 

그런데 수학은 수학의 내재적 특성상, 무조건 불완전합니다 

그렇다면 수학을 신의 지식이라고 봐야하는가?

대답하기가 쉽지 않습니다 


또한 우리는 수학을 정립하는 과정에서 수많은 역설을 발견했고 이를 잠정적으로 없애기 위해 공리를 설정해서 강제적으로 없앴습니다 

이런 본질이 과연 '완벽한 수학'과 합치하는가?

이 역시 대답하기가 쉽지 않습니다




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(말년의 괴델, 아인슈타인과 괴델은 절친이였다고 합니다.)

 

괴델의 연구는 아이러니 하게도 플라톤주의자였던 괴델 자신에게도 타격을 주었습니다. 


이의 영향이였는지, 괴델 역시 정신병에 걸려 죽게 됩니다.

 

형식주의자들도 타격을 입었기는 마찬가지입니다.

완벽한 형식체계를 만들어 신의 영역인 수학을 인간의 것으로 만들겠다는 꿈이 박살나 버렸습니다.

숨죽이고 있던 플라톤주의자들이 다시 등장해 형식주의자들을 공격하기 시작했습니다.


그러나 완전히 주저 앉은것은 아니다.

공격은 공격이고, 힐베르트 프로그램은 계속 진행되어야 합니다.

그들은 곧 산술의 무모순성을 산술로 부터 증명할 수 없다는걸 인정했고, 재빨리 태세전환을 해 산술의 외부에서

이를 증명하려 시도하게 됩니다



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겐첸이란 수학자는 '초한귀납법'이라는 새로운 방법을 써서 산술의 무모순성을 증명하는데 성공합니다 

그러나 이 방법은 산술을 벗어나는 형태이고 무한을 사용하기 때문에 형식주의자들의 원래 목표에서 한참 벗어난 방법이긴 합니다 


어쨌든 이렇게 형식주의자들이 만들어낸 수학적 틀은 지금의 현대수학 그 자체가 되었습니다 

그래도 가장 깔끔하게 수학을 설명 할 수있는 틀인건 변함없는 사실이기 때문이죠 

당신이 수학과에 진학해 수학을 배운다면 , 당신이 배우는 수학은 다 이 형식주의자들이 만들어낸 수학일것입니다


 

 

 

4)마치며......

 

수학적 지식의 본질은 무엇인가?

원래부터 정해져있나?

아니면 우리가 임의적으로 만든것인가?

에 대한 대답은 '아직도 모른다' 입니다 

지금도 플라톤주의자와 형식주의자의 논쟁은 계속되고 있습니다 

하지만 이런 쓰잘떼기 없어 보이는 논쟁에서 컴퓨터가 나오고 ai가 나왔으면 본전은 건진것 아닐까요?

 

마무리가 생각보다 김빠지는것 같지만, 그래도 이렇게 마무리 하겠습니다 

 

1+1은 왜 2인가? 에 대한 대답은 '아직도 모른다' 이지만,이걸 논쟁하는 과정에서 인간의 삶은 전과 비교도 안되게 윤택해졌다!











개인적으로 정말 재밌게 봐서 퍼왔습니다 이분은 무슨 커뮤니티 사이트에 책을 다 올리셨네요...


수식을 거의 안쓰고 쉽게 설명하셔서 저는 정말 재밌게 읽었네요... 공짜로 보기 미안한 글이였습니다 


개인적으로 수학의 역사에 흥미로운 감정을 느끼고 있는데 수학사에 관련된 이런 글이나 책,다큐등을 보면 수학이라는 학문은 우주를 기술하는 언어이자 정말 중요하고 대단한 학문이라고 느끼기도 합니다 


쓰잘데기 없어 보이는 순수수학의 논쟁,정리들이 수십년,수백년뒤 물리에서 그대로 응용되는것 보면 신기하기도 하구요


우주,물리,수학의 역사는 정말 언제봐도 신비로운것 같아요 일개 인간이 조금씩 세상의 진리에 다가간다는게...정말 매력적입니다




 





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19/09/14 09:25
수정 아이콘
출처 링크가 본문에 안뜨네요 https://www.dogdrip.net/194794898
19/09/14 09:42
수정 아이콘
쉽게 이해가 되는 좋은 글이네요(지나가는 음대출신,34)
닉네임을바꾸다
19/09/14 09:44
수정 아이콘
페아노 공리계에선 1+1=2를 증명할 수 있지 않나...
19/09/14 09:47
수정 아이콘
1+1=2를 증명하라고 하는 것 자체가
1은 무엇이고 2는 또 무엇이며
연산자 +는 무엇이며
같다는 것 =는 무엇인지를 정의하고 시작해야하는거라

컴퓨터랑 하등 상관 없는 이야기라고 생각하는데... 글쓴이의 수학 역사적 식견에는 감탄을 하나
수학자가 쓴 글이라기에는 너무 글쟁이가 쓴 것 같은 글이네요.
설탕가루인형형
19/09/14 09:50
수정 아이콘
글이 엄청나게 쉽게 읽히는군요.
감사합니다
19/09/14 09:59
수정 아이콘
결국 철학 짱짱맨
19/09/14 10:10
수정 아이콘
이과 차이가 난 원인이 문과 차이때문이다 맞나요? 독일이 철학같은 문과쪽 베이스가 엄청나던데 이공계 발달에도 도움이 컸을지 궁금하네요.
퀀텀리프
19/09/14 10:26
수정 아이콘
(수정됨) 형식주의가 이해됨.
기호의 정의라고 생각하고 있었죠.
일종의 자체 구조를 갖춘 시스템이죠.
숫자와 사칙연산만해도 현실세계에서 그 기호체계가 매우 실용적이고요.
19/09/14 10:35
수정 아이콘
아... 완벽하게 이해했따.
마그너스
19/09/14 11:20
수정 아이콘
크크크 결론을 정하고 이에 맞춰가는 느낌이 있긴 하네요
착한아이
19/09/14 11:21
수정 아이콘
이해했따222 크크크 잘읽었습니다!
오늘우리는
19/09/14 11:24
수정 아이콘
일 더하기 일은 창문입니다,,, 라고 옆에 계신 삼촌이 말씀하시는군요,,, 껄껄껄
회전목마
19/09/14 11:29
수정 아이콘
이거 이해 못하면 넌 문과가 되는거야
오'쇼바
19/09/14 11:38
수정 아이콘
(전혀 이해 못함)
19/09/14 11:53
수정 아이콘
맨 마지막 문장은 엄청난 비약이군요.
사실 저런식으로 이리저리 짜깁기해서 별 상관없는 것을 막 이어붙여서 쓴 글이 재미있게 읽히기도 합니다만...
모든 인터넷 지식이 그렇듯 과장과 오류는 언제나 생각이상입니다.
19/09/14 12:10
수정 아이콘
일반적으로 수학은 이과의 대표적인 학문이라 생각되지만 사실 역사적으로 수학을 이끌어온 건 대부분 철학자들이었죠. 그런 의미에서 괴델은 수학을 철학, 즉 이데아의 영역에서 과학, 즉 실증의 영역(특히 물리학)으로 끌어낸 엄청난 패러다임의 전환을 이루었다고 생각합니다. 다만 저는 프레게식 수리철학을 더 좋아하지만요... 허허
Bulbasaur
19/09/14 12:22
수정 아이콘
무섭네요 크크 심연이 쳐다볼까봐
19/09/14 12:23
수정 아이콘
좋은 글입니다.
프레게, 칸토어 나오는 부분부터는 명저 The Universal Computer 를 많이 참고한 것 같네요. 국내에는 "수학자, 컴퓨터를 만들다"로 번역되어 있지만 아쉽게도 절판되었습니다. 논리학, 철학 관심 있으면서 컴퓨터 하시는 분이면 강추합니다.
19/09/14 12:27
수정 아이콘
제가 낸 결론: 수학자는 정신병 걸려 사망하기 딱 좋은 직업이다(...).
19/09/14 12:35
수정 아이콘
아............음...................
저는 문과입니다. 네.
공대 나왔지만 문과입니다.
아마데
19/09/14 12:38
수정 아이콘
와 이런 글 정말 좋아해요

대학교때 수학을 포기하긴 했지만 이런 글들은 볼때마다 재밌게 읽히네요
19/09/14 13:03
수정 아이콘
본문 텍스트에 링크가 걸려있나 보네요
19/09/14 13:14
수정 아이콘
와 정성추 똥싸면서 정신없이 읽었네요
완전 빠져들어서 변비걸리겠어요
19/09/14 13:34
수정 아이콘
나에게 수학의 길을 포기하게 만든 칸토어 선생님... 당신은 제가 평생 잊지 못할것 같습니다...
솔로14년차
19/09/14 13:44
수정 아이콘
글이 잘 모르겠는데도 참 재밌네요. 화장실에서 똥 싸다가 심심해서 클릭했는데, 결국 그 자리에서 다 읽어버려서 다리가 저렸네요.

저들이 뭔 말을 하는지 이해되는 건 별로 없지만, 왜 정신병으로 죽은 사람들이 본문에 여럿 나왔는지는 이해가 됐습니다.
19/09/14 13:50
수정 아이콘
중간까지 읽다가 추천 누르고
킵해놓겠습니딘
-안군-
19/09/14 14:24
수정 아이콘
철학자들이 수학에 열광할 수 밖에 없었던건, 철학이라는 건 결국 "진리"를 찾기 위한 학문이고, 자신이 진리라고 생각한 것의 모순점을 찾기 위해 다른 가설을 세우고, 그 가설이 참이거나 거짓이거나를 또 증명해야 하기 때문인데... 수학은 "자명하다"가 가능한 거의 유일한 학문이었기 때문이죠.
문제는, 현대수학으로 넘어오면서 그 "자명하다"가 깨지는 경우가 생겨버렸다는 건데, 어차피 물리학에서도 거시세계에서는 성립하는 뉴턴물리학이 미시세계에서는 안 통하더라도, 자연계의 현상을 설명하는데는 여전히 뉴턴물리학이 유효하기 때문에 그냥 쓰는 것과 비슷하죠. 그러니까 여러분은 안심하고 유클리드 수학을 쓰시면 됩니다!?

그와는 별개로, 이산수학쪽으로 넘어가면 더 재미있어지는게, 모든 산술연산을 논리연산(and, or, xor등등...)으로 해결합니다. 사실 컴퓨터의 끝까지 들어가면 결국 CPU가 수행할 수 있는 연산은 논리연산밖에 없거든요. 처음 이산수학 공부를 하면서 제일 충격받았던게 이 부분이었는데, 거기까진 설명이 안나와서 약간 아쉽네요. ^^;;
-안군-
19/09/14 14:27
수정 아이콘
그렇죠. 심지어는 수학이 존내쉬어서 이름도 존내쉬인 그분조차 정신병으로... ㅠㅠ
수지앤수아
19/09/14 15:17
수정 아이콘
애초에 수학이라는 학문의 근간 자체가 '~다' 라고 정해놓고 출발하기 때문이죠.
인간은 근본적으로 세상의 진리를 순수하게 이해하고 정의하는 것이 불가능하니까요.
시대가 흐름에 따라 그냥 자기들이 정하는 기준이 달라질 뿐이라고 생각합니다.
19/09/14 15:19
수정 아이콘
잘 읽었습니다!
엄준식
19/09/14 16:10
수정 아이콘
글 읽는데 자꾸 다른 곳으로 납치시키네요 내용은 좋았는데 엄청 짜증났습니다
아이지스
19/09/14 16:17
수정 아이콘
무한, 그리고 그 너머
초짜장
19/09/14 16:50
수정 아이콘
본문 전체에 링크가 걸려있어서 읽기 불편한 면이 있습니다. 수정하시면 좋을 듯 합니다. 잘봤습니다.
19/09/14 16:50
수정 아이콘
수정했습니다
강호금
19/09/14 16:52
수정 아이콘
재미있게 잘 봤습니다.!
Costa del Sol
19/09/14 19:45
수정 아이콘
재밌게 잘 읽었습니다. 설명하는 이론들의 난이도를 생각하면 무척 쉽게 잘 쓰신 것 같아요 크크크
휴먼히읗체
19/09/14 22:54
수정 아이콘
여태 피지알에서 읽은 글 중에 손에 꼽을만큼 재밌게 읽었네요
감사합니다
세오유즈키
19/09/14 23:06
수정 아이콘
잘 읽옸습니다.만 원주율 구하시고 중간에 틀리신 분 생각하면 괜히 우울햐디네요.그래도 살아생전에는 뿌듯하셨을 것 같으니 다행입니다.
프레게
19/09/14 23:50
수정 아이콘
제가 등장하는 글이군요.
19/09/14 23:52
수정 아이콘
그니까 현대수학은 정신병걸리는 학뮨이라는거죠??
19/09/15 00:35
수정 아이콘
이런걸 보면, 서양학문의 근본이 철학이라고 하는게 왜인지 실감하는 느낌입니다.
동양철학은 철저하게 비물질과 물질을 분리했던것 같고요.
여러가지 의미로 참 재미있는 글입니다.
참돔회
19/09/15 17:05
수정 아이콘
아 넘넘 좋은 글..
치열하게
19/09/15 22:46
수정 아이콘
완벽히 이해 못 했음!
19/09/16 01:14
수정 아이콘
약간의 오류가 있어서....

여기서는 이데아가 저 먼 세상 어딘가 어쩌면 다른 차원 같은 곳에 존재하는 관념계 같은 느낌으로 서술하고 있는데,
플라톤이 주장하기로는 이데아는 실제로 우리 현세상에 존재하고 있습니다.

그리고 러셀과 프레게의 경우,
프레게가 나왔을 때 와~하고 수학계가 손을 들어 환영했고 뭐 그런 것은 없고,
어디 변방의 촌구석에서 누군가가 논문을 냈답니다, 하는 식으로 넘어갔고,

프레게의 진가를 알아채고 프레게를 발굴 및 소개한 것이 러셀입니다.
와일드볼트
19/09/16 11:19
수정 아이콘
아직도 앞쪽만 수정되고 중간 이후부터는 걸려있습니다.
19/09/16 11:21
수정 아이콘
(이에 대해선 이글 참조) 링크 https://www.dogdrip.net/157359805
19/09/16 19:36
수정 아이콘
흥미롭게 잘 봤습니다.
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