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08/04/23 01:33
처음꺼 증명하는게 더 나아보이는데..
x`Ax >= 0 이니까, x가 standard ordered basis일 때도 성립할 테니, 각 basis 원소를 대입해보면 diagonal elements들은 모두 non-negative 해야 합니다. 가령 x*e1=(x,0,...,0)을 대입하면 A11*(x)^2>=0 이니까 A11이 non-negative해야겠죠~ (중요한 정리를 안써도 되니까 좀 허무하긴 한데.. -_-a 맞는지 확신이 안섭니다^^;) 여기 증명에서 대각원소가 아닌 행렬 원소에 대한 언급을 전혀 하지 않았으니, 아마 역은 성립하기 어렵겠죠. 2*2 행렬로 반례를 하나 적당히 만들면 역이 성립 안하는걸 보일 수 있겠네요. 역이 성립 안하는건 반례를 보이면 될텐데, 졸음이 쏟아지네요 ㅠㅠ 아! 역 반례 찾았습니다 2*2 행렬로 1 -2 -2 1 로 잡으면 quadratic form이 (x-y)^2-2xy가 나옵니다. x=1, y=1 대입하면 되겠네요^^
08/04/23 16:38
답변주셔서 감사합니다. 아무래도 문제의 요는 역을 증명하는 부분보다는 전반부에 있는 것 같습니다.
제가 조금 헛갈리는, 혹은 이해하지 못하는 부분은 x'Ax를 하면 대각항들만 쪼개져(?), 이 표현이 부적절함을 심히 알고 있습니다만::, 나오는가 입니다. Let A mxm s.t A' = A Since x'Ax = Summation( i :1~m)Summation( j :1~m) x(i)a(i,j)x(j) (표기가 심히::) 그렇다면 위 식에서 대각항과 아닌 항들이 모두 쪼개져(decompose)나온다고 볼 수 있는 것 아닌가요?? 만약에 주신 말씀에 기초한다면 당연하게도 대강성분들이 0보다 크거나 같아야 함을 알 수 있습니다만::
08/04/23 16:50
quadratic form은 Aij*Xi*Xj를 i,j에 관해서 Summation한 겁니다. 즉 n개의 변수에 대해서 2차항들만 모아놓은 다항식이지요.
대각 원소는 모두 제곱항에만 들어가니까, 뭐 별 문제가 없어보이는데요.. -_-a 정말 죄송합니다만 ㅠㅠ 어떤 것에 헷갈리시는건지 notation 상의 문제로 주어진 게시판에서 알아보기가 매우 어렵습니다 ㅠㅠ 어떤 decomposition을 의미하시는건지 이해가 잘 안됩니다 ㅠㅠ 그 파트는 조교님께 물어보시는 편이 나을듯 하네요^^;
08/04/24 14:27
답변주셔서 감사합니다.
직접적으로 선형대수를 수강하고 있는 건 아닙니다. 통계공부에 필요해서 보고 있는데 생각보다 쉽지 않네요:: 네 대각원소 부분만 살아남는게 확실한지 이해가 쉽지 않아서요.
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