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Date 2021/12/27 02:27:58
Name cheme
Subject 허수는 존재하는가?
허수 (imaginary number)는 -1의 제곱근이다. 제곱해서 -1이 되는 실수는 없으므로 실수의 영역을 벗어난다고 해서 허수라는 이름이 붙었다. 개념 자체는 고대 그리스 시절로 그 기원을 찾을 수 있으나, 본격적으로 개념화된 것은 데카르트에 의해서였고, 오일러는 이에 i라는 기호를 붙임으로써 허수의 수학적 의미가 정립되기 시작했다.

허수와 실수를 합친 공간을 복소수 (complex number)라고 한다. 수학적으로 복소수는 굉장히 강력한 기능을 하는 툴을 만들어내는 장치가 된다. 특히 복소함수론에서 다루는 코시 적분 정리 (Cauchy's integral theorem), residue theorem, 가우스 평균값 정리 (Gauss' mean value theorem) 등은 공학적으로도 강력한 툴이 되는데, 전자기학, 신호이론, 회로이론, 유체역학 등에 광범위한 계산 툴이 된다.

물리학에서 역시 복소수의 중요성은 헤아릴 수 없을 정도다. 학부생들이 배우는 전자기학의 초반에는 맥스웰 방정식을 배우는데, 그로부터 유도될 수 있는 결론은 전기장과 자기장의 시공간 변화를 설명하는 편미분방정식인 파동 방정식이다. 이 파동 방정식의 일반 해는 E~E0*exp(i(wt - kr))로서, 시간 상 변화는 주파수 w (omega)에 대해, 공간 상 변화는 파동 벡터 k에 대해 의존하는 항들의 곱으로 표현된다. 더 대표적인 사례는 양자역학이다. 예를 들어 양자역학의 가장 기초 중의 기초인 슈뢰딩거 방정식 자체에도 허수가 time-dependent term에 붙어 있다. 그래서 특정한 상태를 나타내는 상태 함수 psi 역시 복소수 형태로 표현되며, 이들의 확률은 상태 함수와 그것의 켤레 복소수 형태의 곱으로 표현된다.

학부 시절 물리학과에서 양자역학을 처음 배울 때, 내 흥미를 가장 자극한 것 중 하나는 복소수가 양자역학의 기술에 있어 필요불가결일 수밖에 없는 이유였다. 담당 교수님이 여러 케이스를 소개해 주셨는데, 그중 가장 기억에 남는 것은 transition matrix 기반의 설명이었다. 예를 들어 전자의 스핀 업/다운을 벡터를 활용하여 표현하면 V0 = [0.3 0.7] 같이 표현할 수 있다. 이는 스핀 업일 확률이 30%, 다운일 확률이 70%라는 의미이며, 이 스핀을 측정하기 전에는 업과 다운인 상태가 중첩되어 있다. 이 전자의 스핀 상태가 시간에 따라 바뀐다고 생각해 보자. 즉, V1 = T*V0 같은 형식으로 표현할 수 있으며, V0를 열 벡터 (column vector)로 본다면, T는 2*2 행렬로 표현할 수 있다. 확률론적 행렬을 가정하여 예를 들어 T = [0.2 0.4; 0.8 0.6]이라고 해 보자. 그러면 V1 = [0.34 0.66]으로 바뀐다. 그런데 이 전이 (transition)이라는 것은 사실 연속한 두 전이 과정으로도 볼 수 있다. 즉, T = t*t로 표현한다면, V0은 t를 두 번 거쳐 V1이 될 수도 있는 것이다. 그러면 t는 t = (1/3)*[1+(i*2/5^0.5) 1-(i*1/5^0.5) ; 2-(i*2/5^0.5) 2+(i*2/5^0.5)] 로 표현되는데, 흥미롭게도 행렬의 성분은 이제 모두 복소수로 표현된다. 즉, 실제의 상태가 변하는 것을 표현하기 위해서는 반드시 복소수가 표현되는 것이다. 이는 양자역학적인 이론 체제에서는 복소수의 도입이 중요하다는 것을 보여 주는 단편적인 사례 중 하나다.

그렇지만 자연에서 우리가 관찰하는 대부분의 현상과 데이터는 모두 실수를 기반으로 한다. 우리가 관찰하는 양자역학적인 물성 역시 결국 그 관측값은 실수 값으로 표현된다. 확률 역시 실수 체제 안에서만 물리적 의미를 가지며, 관측이라는 행위 역시 실세계에서만 의미가 있는 행위다. 이런 맥락에서 과연 복소수 기반 이론과 실세계 관측이 양립하는 것이 정당한 것인지에 대해 많은 논의가 있었다. 수학적으로 복소수, 특히 허수가 매우 중요한 장치이고, 그것으로 인해 많은 이론들이 깔끔하게 기술될 수 있지만, 그렇다고 해서 반드시 양자역학 이론이 복소수에만 기반을 두고 있어야 하는가 하면 그렇지는 않다는 것이 많은 물리학자들을 고뇌에 빠뜨리고 했다. 예를 들어 임의의 복소수 A + iB (A, B는 실수)로 표현되는 상태 함수를 지배하는 양자역학 이론에 따른 상태는 결국 실수 A, B로 따로따로 기술되는 상태 두 개의 선형 결합으로 표현될 수 있기 때문이다. 이는 다시 말해 복소수를 기반으로 둔 양자역학 이론에 대해, 쌍둥이 같이 실수를 기반으로 둔 양자역학 이론이 그대로 쓰일 수 있다는 것이다. 그렇다면 굳이 복소수를 계산에 이용하는 것 이상으로 복소수가 물리적 의미를 가지고 있는지를 고민하는 것은 자연스러운 고민이 될 것이다.

즉, 허수가 단순한 수학적 장치 그 이상으로 '실질적인' 의미를 가지고 있는지 여부는 많은 물리학자들에게 고민거리이긴 했다. 오죽하면 방정식을 만든 장본인인 슈뢰딩거마저 "The use of complex numbers is unpleasant. Fundamentally speaking, Ψ must be a real function."라는 이야기를 로렌츠에게 털어놓았겠는가. 물론 shut up and calculate를 굳게 지지하는 물리학자들에게는 이러한 논의는 별 의미가 없는 것일지도 모른다. 애초에 복소수 장치를 고려하지 않으면 이론의 계산이 안 되고, 계산이 안 되는 이론은 의미가 없는데, 뭣하러 이런 고민을 하느냐라고 반문할 수 있다. 그렇지만 그러한 입장에서 한 발 물러서서, 다소 철학적인 관점에서 이를 들여다본다면 그것은 생각보다 쉬운 문제는 아니다. 어떤 필요성에 의해 인위적으로 '발명'된 개념이 실제로도 그것이 없으면 세상이 성립하지 않는 그런 류의 의미를 가지고 있는지를 판단하는 것은 과학적으로 중요한 문제이지만, 철학적으로도, 존재론적 인식 관점에서도 매우 중요한 문제일 것이다.

최근 Marc-Olivier Renou와 그의 연구팀이 Nature에 보고한 이론 논문에 따르면*
*https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4,

복소수 기반 양자역학 이론과 실수 기반 양자역학 이론이 정말 같은 현상을 기술하는지에 대한 실험을 제안할 수 있음이 밝혀졌다. 특히 연구팀에 따르면 과거 벨의 부등식 (Bell's inequality) 실험을 확장한 방식의 실험을 통해 실수 기반 양자역학 이론에서는 설명할 수 없는 데이터가 나올 것임을 예측하기도 했다. Nature 논문과 동시에, 이들이 제시한 실험을 두 가지 다른 방식으로 검증한 실험 논문 두 편이 서로 다른 실험 그룹에 의해 Phys. Rev. Lett. 에 출판되었는데, 두 실험 결과 모두 이론 연구자들이 예측한 값이 정확히 일치하였음을 확인한 결과로 드러났다.**,***
**Chen, M.-C. et al. Phys. Rev. Lett. (in the press)(https://arxiv.org/abs/2103.08123)
***Li, Z.-D. et al. Phys. Rev. Lett. (in the press).

이 세 연구가 의미하는 것은 무엇일까? 이론 연구자들이 제안한 실험은 이런 것이었다. 독립된 세 가지 관측기 (이를 A, B, C라고 부르자)를 준비한다. 관측기는 하나의 네트워크를 이루되, B가 A와 C의 사이에 위치하게 배치한다. 그리고 독립된 두 가지 소스 (source, 이를 S, R이라고 부르자)를 준비한다. 소스 S로부터는 서로 얽힌 입자 (entangled pair)를 쏘되, 하나는 관측기 A로, 하나는 관측기 B로 보낸다. 소스 R로부터는 역시 두 얽힌 입자를 쏘되, 한 입자는 관측기 B로, 나머지는 관측기 C로 보낸다. 소스 S과 R로부터 발사된 입자들은 각각 고유한 상관관계를 가지며 얽힌 상태이므로 그 입자들의 관측값은 서로 각각의 상관관계가 있다. 양자역학 이론에서는 입자를 기술하기 위해 힐버트 공간을 이용하는데, 얽혀 있는 두 입자를 기술하기 위해서는 각 입자의 힐버트 공간을 텐서곱 (tensor product) 해야 한다. 이때 입자의 상태를 복소수 기반으로 하면 복소 텐서곱이 되고, 실수를 기반으로 하면 실수 텐서곱이 된다. 단순히 서로 얽힌 두 입자에 대해서라면 어느 방식으로든 기술이 되고, 이 텐서곱의 결과가 가리키는 값은 차이가 없다.

그런데 흥미로운 부분은 이론 연구자들이 제안한 방식에서는 이 값이 차이가 날 수 있다는 것이다. 이론적으로는 S에서 출발한 입자들과 R에서 출발한 입자들은 서로 얽히지 않았으므로, 관측기 A와 C에서 측정한 입자들은 서로 얽힌 상태에 있지 않아야 한다. 수학적으로 이를 해석해 보면 복소수를 기반으로 하는 텐서 곱에서는 이를 증명할 수 있지만, 실수를 기반으로 하는 텐서 곱에서는 A-C 관측기에서 관찰된 입자들의 상관관계 지표가 이론적 예측치를 벗어나는 차이가 생길 수 있음이 연구자들에 의해 밝혀졌다. 남은 것은 이것을 실험으로 증명하는 일이었다.

이론 연구자들의 논문은 2021년 1월에 Arxiv에 처음 올라갔는데, 이 페이퍼가 양자컴퓨터를 연구하는 실험 연구자들 그룹의 눈에 띄었다. 실험 연구그룹은 곧바로 이론 연구자들이 제안한 실험의 구현에 착수한다. 한 연구 그룹은 광자를 이용한 실험을, 다른 연구 그룹은 초전도 큐빗 (superconductinv qubit)을 이용한 실험을 했다. 얽힌 입자 쌍으로 광자를 선택했는지, 큐빗을 선택했는지 차이였을 뿐, 원리적으로는 같은 실험을 반복한 것으로 해석하면 된다. 두 실험 그룹이 측정한 바에 따르면 이론 연구자들이 예측한 Bell-type parameter에 대해, 실수 기반 양자역학 이론에서 허용하는 최대치인 7.6605을 넘는 수치를 관측했다. (4.5 sigma 수준) 복소수를 기반으로 한 양자역학 이론을 가정했을 때, 이론 연구자들이 예측한 Bell-type parameter의 최대치는 8.4852 수준으로까지 올라가는데, 실험 그룹이 관측한 값은 8.091로 기록된 것이었다. 이 결과들은 이론 연구자들의 연구와 때맞춰 (아마도 저널 에디터 간 합의가 있었을 것 같다) 공개되었던 것이다. 이는 이론 연구가 단순히 이론에 머문 것이 아닌, 실험적으로 두 번 이상 독립적으로 재현되며 예측값이 확인될 수 있음을 보이기 위함으로 풀이된다. 즉, 실험 그룹이 관측한 값은 실수 기반의 양자역학 이론만으로는 설명이 안 되지만, 복소수 기반의 양자역학 이론으로는 충분히 설명할 수 있는 현상이었던 것이다.

이는 학자에 따라서는 사뭇 충격적인 소식으로도 볼 수 있다. 단순히 수학적 이론의 정합성을 위한 장치, 계산의 편의를 위한 장치, 방정식의 해를 아름답게 표현하기 위한 장치로서의 의미를 아득히 뛰어넘어, 현실을 기술하기 위해서는 현실에서는 존재할 수 없을 법한 숫자가 필요하다는 것을 의미하기 때문이다. 비유하자면 꿈속에서만 존재할 수 있는 개념이 현실을 살아가기 위해 반드시 필요하다는 것과 비슷하다. 물론 이번에 보고된 세 연구가 가리키는 것이 세상에 존재하는 모든 종류의 실수 기반 양자역학 이론의 폐기를 의미하는 것은 아니다. 벨 부등식 타입의 양자 얽힘을 설명하기 위한 실수 기반 양자역학 이론 체계가 타격을 입었을 뿐, 여전히 다른 강력한 후보군들은 존재하고 있다. 다만 이런 연구들로 인해 (나중에 재현되고 확정된다면), 허수의 의미, 그리고 나아가 복소수의 의미가 실제로 물리적 현실과 맥이 닿아있다는 것에 대한 확신이 한 단계 더 진전되는 것으로 볼 수 있으므로, 이는 과학적인 의미뿐만 아니라, 철학적인 의미 차원에서도 큰 진전이라고 볼 수 있을 것이다.  

참고로 복소수가 수학적 장치로서의 중요성뿐만 아니라 물리적 의미에서도 의미를 가질 수 있음이 확인된다면, 복소수보다 한 단계 더 나아간 사원수 (quaternion) 역시 그러지 말라는 법은 없잖은가 라면서 테스트해볼 수도 있을 것이다. 사원수뿐만 아니라 팔원수 역시 마찬가지이므로, 실험만 가능하다면 무한히 이 숫자의 개념을 확장할 수 있을 것 같다는 생각이 들 수도 있다. 그렇지만 사원수는 이러한 결합을 허용하지 않는다. 복소수 기반 양자역학 이론에서는 어떤 계의 하위 계 두 개의 중첩을 기술하기 위해 필요한 실수 파라미터의 개수가 각 계를 독립적으로 기술하기 위해 필요한 실수 파라미터 개수의 곱과 같음을 증명할 수 있다. 그렇지만 사원수 기반 양자역학 이론에서는 그렇지 않다. 또한 uniform distribution을 갖는 랜덤 상태들의 선형 조합으로 기술되는 어떤 상태 함수에 대해, 각 랜덤 상태의 확률 (즉, 각 랜덤 상태 파동 함수의 amplitude의 절대값 제곱) 자체도 uniform distribution을 가지기 위한 수학적 체계는 복소수 기반 체계 밖에 없다. 이 두 가지 성질은 양자역학 이론에서 필수적인 조건이므로, 사원수 기반 양자역학 이론은 적어도 우리가 아는 우주에서는 성립할 가능성이 별로 없다.

수학과 물리학이 서로 영향을 주고받으며 날줄과 씨줄 엮이듯 발전해 온 역사를 인류는 수백 년간 지켜보았다. 대부분 수학에서 발명되거나 발견된 장치가 물리학에서 현상의 기술과 예측을 위한 장치로 훌륭하게 활용되기도 했고, 20세기 초반에는 오히려 물리학에서 가정한 장치가 수학적으로 나중에 검증되기도 했다. 복소수가 수학에 등장한 것은 벌써 300년이 다 되어 가고, 물리학에서 쓰이게 된 것도 200년이 넘어가지만, 여전히 그것의 수학적 의미와 물리적 의미의 일맥상통에 대해 인류가 모든 것을 알고 있는 것은 아니다. 이번에 보고된 연구 결과들에서도 볼 수 있듯, 인류는 이제야 복소수 기반 양자역학이 수학적 의미를 넘어, 물리적 의미를 넘어, 실질적, 존재론적 의미를 가지고 있음을 조금씩 확인하고 있을 뿐이다. 이런 반추를 통해, 실증을 통해 인류의 문명은 또 그렇게 한 발짝 전진한다.

* 손금불산입님에 의해서 자유 게시판으로부터 게시물 복사되었습니다 (2023-10-20 00:22)
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21/12/27 02:45
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양질의 재밌는 글 감사합니다. 양자론과 양자광학 수업 들으면서 경탄했던 생각도 나고, 굳이 수학이나 물리학에 한정짓지 않더라도 추상적인 개념을 발명해 낸다는 것이 가지는 함의에 대해서 생각해보게 되네요.
21/12/27 10:33
수정 아이콘
읽어 주셔서 감사합니다. 허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.
21/12/27 02:56
수정 아이콘
쇼메이커는 존재하죠.
어떤가요
21/12/27 09:37
수정 아이콘
"나를 이승에서 만난다면 손해보는 일 밖에 없을 것"
AaronJudge99
21/12/27 03:13
수정 아이콘
입시 생각만 골똘히 하다 보니 공부에서의 허수로 생각하고 들어왔는데, 아니었군요 크크
언제나 i^4가 되어 실수가 되기를 소망합니다 크크크


....어...좀 어렵...네요 크크...이과를 선택 안해서 다행이다?라는 생각이 들기도합니다 크크
21/12/27 10:35
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고갱님, 지금이라도 이과의 길은 열려있습니다. 언제든 웰컴입니다!
AaronJudge99
21/12/27 15:32
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크크크크크 감사합니다
Quantum21
21/12/27 06:28
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관련 전공자로서 흥미롭게 읽었습니다.
일반 대중을 위한 교양글이라기에는 다소 어려운 내용이 아닌가 싶은데 대충이나마 전달력있게 글을 쓰신것 같습니다.

사실 따지고 보면 제목인 허수는 존재하는가? 와
본문에서 다룬 양자효과를 기술하는 힐버트 공간의 결합이 실수텐서곱인가 허수텐서곱인가?

는 사실 다른 종류의 질문이긴합니다.
일단 '존재한다'의 정의 부터가 불명확하기도 하고요.

개인적으로는 허수의 "존재성"을 논하는것은 수학이나 과학이라기보다 철학에 가까운 주제이고 정말 섬세하게 다루지 않으면 유사과학의 영역으로 끌려가기 쉽다고 봐요.

한편으론 허수를 꺼리는것은 마치 마이너스 양인 음수를 허용하지 않는 수체계를 사용해보려는 시도와 비슷해 보입니다. 자유로운 학문적 상상력은 중요하기에 무의미하다고는 보지 않고 늘 흥미롭게 지켜봅니다만 그런 노력이 주는 유의미한 성과는 아직 못본것 같습니다.
21/12/27 06:39
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본문에서 존재한다는 것의 정의는 나이브한 correspondence theory of truth에 대응하는 듯 보입니다. 그런 면에서 말씀하신 두 질문은 어느 정도 관련이 있는 질문으로 해석될 수 있구요. Correspondence theory가 물론 작정하고 파고들어가보면 철학적으로 엄밀하지는 않습니다만, 일반적으로 존재라는 것의 의미를 사유함에 있어서 충분히 받아들여질만한 가정이지 싶습니다. 특히 일반인들을 대상으로 한 글이라면 더욱 그렇지 싶습니다.
21/12/27 10:37
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읽어 주셔서 감사합니다. 허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.

솔직히 과학철학 쪽은 저도 잘 모르는 분야라서 수학적 개념으로서의 존재 가능성과 자연에서의 실존 가능성의 매칭에 대해, 어떤 판단을 내릴 수 있을지는 잘 모르겠습니다. 다만, 그것이 실험적으로 간접적으로나마 검증될 수 있다면 연결 고리가 한 개 더 확보되는 셈이겠죠. 이런 연구들도 그러한 철학적 탐구의 연장선 상에 있는 것이 아닐까 합니다.
Daniel Plainview
21/12/27 07:10
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헤비사이드 왈, 모르니까 교류에 허수를 도입 못한다고 하는 놈들은 소화과정을 모른다고 밥을 안 먹는 놈들이다라고 하셨죠.. 물론 이때는 인덕턴스 리액턴스의 응답 속도 갖고 허수에 대응시킨 거긴 합니다만...

실제 허수부가 존재하는가는 정말 재미있는 주제인 듯..
21/12/27 10:41
수정 아이콘
헤비사이드도 그렇고, 20세기의 양자역학 시조들도 그렇고, 사실 수학적으로야 복소수 기반으로 이론을 전개하면 깔끔하니까 (feat. 하이젠베르그 & 디랙), 별 고민 없이 사용했을 수도 있겠습니다만, 자연에서 우리가 관측하는 값은 모두 실수이기 때문에, 과연 그 중간에 복소수는 어떻게 된 것인가에 대해 찜찜해하는 사람들도 있었죠. 예를 들어 불확정성 원리에 따라 momentum이 정해졌을 때, wavefunction의 k값을 정할 수 있으므로 psi~psi0*cos(kx)라고 쓸 수도 있지만, 이 상태함수의 존재 확률은 abs(psi)^2이 되니, 이 값은 cos2(kx)가 되어, 주기적으로 위치가 특정된다는 모순이 생깁니다. 따라서 이를 회피할 수 있는 방법은 psi0*exp(ikx)라고 쓰는 것인데, 이렇게 되면 확률을 exp(ikx) * exp(-ikx)라고 쓸 수 있기 때문에, uniform distribution을 가질 수 있기 때문입니다. 그렇지만 그렇다고 해서 도대체 파동함수 속에 있는 ikx라는 허수는 우리가 살고 있는 이 세상에서는 무슨 의미를 갖는 것인가라는 질문으로 되돌아왔을 때, 명확한 답을 할 수 없다는 것이 문제죠.
21/12/27 07:12
수정 아이콘
당연하고 예측 가능한 결과라고 봅니다.
21/12/27 10:35
수정 아이콘
읽어 주셔서 감사합니다. 허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.
21/12/27 11:07
수정 아이콘
허수 및 복소수가 꼭 있어야만 말이 된다는 설명으로서, 교류 전기의 전압파를 드는 글을 본 기억이 납니다.

"V = Vmax•sin(ωt)에서, 가령 V가 평균 전압 100 V이나 141 V에서 -141 V 사이를 오간다면, 그 오가는 동안의 ±Vmax보다 낮은 전압은 대관절 어디로 간 거냐? 허수의 세계로 일단 갔다 옴이라고밖에는 설명이 아니 된다."

전자기력이 론돈 힘의 근원임을 생각해 본다면, 허수없이 물질계의 존재 및 결합이 있을 수 없음을 인정할 수밖에 없습니다.

실수 체 내에서는 유리 방정식의 해가 닫혀 있지 않으나, 복수수 체 내에서 방정식의 해는 닫혀 있습니다. 당연히 잘 아시겠지만, √i 의 해가 여전히 복소수라는 말이고, 사원수를 굳이 가정할 필요가 없다는 말이기도 합니다.( 다만 사원수가 OpenGL에서는 행렬식보다 훨씬 계산이 간편해진다고 하므로, 전혀 무용한 것은 아닐 겁니다.)
21/12/27 11:23
수정 아이콘
네 그렇습니다. 사원수는 실제로 로봇팔의 제어 변수로서 더 효과적이죠. 사실 그렇기 때문에 Scott Aasronsson 같은 양자컴퓨터 연구자들은 사원수 기반 양자역학은 성립이 어려운 것이 아닌가 추측하는 것 같습니다. 복소수 체에서는 Hermittian operator를 깔끔하게 다룰 수 있지만, 사원수로 넘어가면 곱셉의 교환법칙이 성립하지 않으니까요.
죽전역신세계
21/12/27 07:38
수정 아이콘
아.. 완전히 이해했어!! (이해못함)
21/12/27 10:36
수정 아이콘
읽어 주셔서 감사합니다~
aDayInTheLife
21/12/27 08:04
수정 아이콘
제어공학 맛만 본 입장에서 허수가 나올때마다 그러려니 하고 이게 실제로 제어가 되나? 싶었는데 이런 실험이 있었군요. 좋은 글 감사합니다.
antidote
21/12/27 10:20
수정 아이콘
여기서 나오는 허수는 양자역학의 슈뢰딩거 방정식에서 나오는 개념일 거라 제어공학에서 말하는 허수와는 다른 개념일 겁니다.
제어공학의 허수가 본문에서 설명하는 실수인 세계를 설명하기 위한 개념적 수체계에 가깝죠. 실수로 계산해도 결과값은 같게 나오는데 더 간단하고 명료하게 표시하기 위해서 쓰는 것이니까요.
aDayInTheLife
21/12/27 10:21
수정 아이콘
아앗. 부족한 제 지식이 드러났네요. 흐흐 추가 감사합니다.
21/12/27 10:50
수정 아이콘
제어공학에서 나오는 허수 역시 복소함수 기반 해석에 반드시 필요한 장치로 볼 수 있죠.
서쪽으로가자
21/12/27 08:08
수정 아이콘
재미있게 잘 읽었습니다.
21/12/27 10:36
수정 아이콘
읽어주셔서 감사합니다!
Weinberg
21/12/27 08:37
수정 아이콘
애초에 Berry's phase가 실수체계에서 정의된 양자역학에서 가능한가요? 불가능하다면 이미 검증 거 아닌가...

어쨌든 수자체가 추상적인 개념이기도 하고, 또다른 유명한 예로 장(field)가 단순한 수학적 도구를 넘어서 더 근원적인 실체라는 게 밝혀졌듯이 올바른 물리이론이라면 그 안에 있는 수학적 요소들도 단순히 도구가 아니라 실존한다고 봐야겠죠. 그러니 본문의 실험도 성공하는 것이 당연하겠구요
21/12/27 10:54
수정 아이콘
네. 동의합니다. 다만, 허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.
21/12/27 08:54
수정 아이콘
1학년때 물리학을 공부하면서 실수로 이루어진 세상의 모든 요소는 실수여야 하지 않을까? 중간 계산 부분까지도 실존하는 수치여야 하지 않을까 하는 의문이 있었는데, 그 때에도 납득가는 결론을 내지 못했습니다. 계산이야 결과적으로 맞았으니 맞겠지만 항상 미심쩍은 부분이었는데 언젠가는 실체적인 물리적 현상으로 설명할 날이 오겠죠..?
21/12/27 10:53
수정 아이콘
이런 연구들이 그러한 의문들에 대한 끊임없는 반추에서 나온 결과물들이죠.
두동동
21/12/27 09:09
수정 아이콘
허수 이전에 음수라던가 0 같은 '현실에 존재하지 않는 수'는 꽤 있지 않나요? 계산 과정에서 허수가 나오는 것이 이상하다고 생각된다면 그 이전에 좌표계에서 음수가 나오는 건 왜 이상하다고 생각되지 않는지 모르겠습니다. (-4,0) 이란 좌표가 원점에서 왼쪽에 있는 점을 표현하기에 적절하다고 생각되어서 사용될 수 있다면(그리고 그것이 자연스럽다면) 마찬가지로 허수도 계산 과정에서 적절한 쓸모가 있다면 그걸로 충분한 것 같습니다. '허수가 과연 존재하는가?'는 피타고라스 시절 '무리수가 과연 존재하는가?'와 결국 똑같은 것 같아요.
그와 별개로, 허수를 사용하지 않고 계산한 결과와 허수를 포함시킨 계산 결과가 다를 수 있었고 이를 실증했다는 이야기는 정말 재미있었습니다. 물론 '허수를 배제한 모든 계산 방법이 틀리다.'라는 결론은 아니지만 허수 사용 여부가 결과 예측을 다르게 만든다는 건 진짜 신기하네요.
하아아아암
21/12/27 10:26
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음수는 실제 존재하는 개념이라고 볼 수 있을 거 같아요. 대표적으로 전하는 양전하와 음전하로 나뉘구요. 허수도 과연 이러한 실제적 존재를 지니는가? 에 대한 고찰이 되겠네요.
21/12/27 10:54
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허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.
닉네임을바꾸다
21/12/27 11:53
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사실 음수가 서양 수학자들이 받아드리는데 걸린 시간을 생각하면...뭐
번개맞은씨앗
21/12/27 09:46
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실수는 그 자체로는 가상일뿐이라 생각해요. 숫자가 현실에 매칭될 때 그때 비로소 의미가 있는 것이지, 그 전에는 one of 기호일 뿐이겠죠.

1 + 2i는 실은
1h + 2i인 거라 생각하고요.

숫자 뒤에 붙은 것은 차원 내지 채널을 뜻하죠. 우리는 편의상 숫자만 쓰고 그게 무슨 차원인지 무슨 채널인지는 표현하지 않곤 하죠.

2 + 3 이라 할 때 실은 연산불가능일 수 있어요. 5라 할 수 없는 거죠. 연산가능한 경우도 5가 아니라 4일 수 있고요. 다만 편의상 약속을 하고 별다른 얘기가 없는 한, 동일차원으로 통일시켜 연산하는 거죠.

그런데 이건 수학의 문제이고, 이제 현실과 연결되는 과학에서는 다른 얘기를 해야겠죠. 그때 비로소 실수와 허수란게 의미를 갖게 될 테고요. 그런데 과학에서 실수와 허수를 쓰는 경우일지라도 실은 실존적 의미가 없고, 단지 수학적으로 테크니컬하게 쓰이는 경우가 있는 거라 생각해요. 이에 분별력이 필요한 거죠.
21/12/27 10:33
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읽어 주셔서 감사합니다. 허수의 개념은 수학적으로 충분히 정의될 수 있고 존재한다고 볼 수 있지만, 이 글에서는 자연계에서 정말 존재하는지, 물리적 의미가 구현되는지에 대한 최신 연구 성과의 의미를 나누고 싶었습니다.
번개맞은씨앗
21/12/27 11:27
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최신 연구는 아니지만,

최근에 하이젠베르크의 <물리와 철학>을 읽은 적이 있어요. 그 책을 이해하기로는 양자역학에 실존적 의미를 부여하는 건 곤란하다 생각해요. 양자역학과 고전역학의 접점에서 이를 고전역학적 직관으로 존재 의미를 부여하는거야 좋지만요.

그리고 물리적 의미와 존재적 의미는 일치하지 않는다고 생각해요. 양자론에 이르러서는 말이죠.

제가 오래 전에 하이젠베르크의 <부분과 전체>를 읽으면서 깨달은 하나가 '내가 실재인 줄 알았던 것이 실은 그림이구나!' 였거든요. 그 책은 제 인생책이에요. 세계관이 바뀌고 제 삶에 중요한 다원주의 철학을 갖게 되었으니까요.
21/12/27 11:35
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네. 코멘트 감사합니다.
21/12/27 09:47
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요즘 양자역학에 관심을 갖고 취미(?)로 공부하는 비 전공자 킹반인 회사원 입장에서 정말정말정말 재밌게 읽었습니다. 추천 여러개 드릴 수 있다면 다 드리고 싶네요.
혹시 갑작스럽지만 공대 출신이 양자물리 공부하는 데 추천하는 커리큘럼 혹은 수업이 있을까요? 양자역학 관련 유투브나 교양서적 몇권 읽었는데 처음엔 재밌다가 어느 순간부터 만족스럽지가 않네요. 시간이 좀 걸리더라도 물리학과 학부생(대학원생 아니고요!) 정도 깊이 되도록 제대로(수식까지 공부하는) 공부해보고 싶은데 방식 추천해주실 수 있을까요? 저는 대학교 때 일반물리, 전자기학, 공업수학, 신호처리 정도 공부했었습니다.
Weinberg
21/12/27 09:52
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그냥 학부 양자교과서를 보시는 걸 추천합니다. 학부 수준은 다 고만고만해서… 보통 그리피스(Griffith) 많이 보죠.
22/01/02 16:22
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안녕하세요. 추천 주셨는데 연말에 일이 많아 답변이 늦었습니다. 추천 감사드립니다. 책 구매해서 열심히 공부해보겠습니다^^
일반상대성이론
21/12/27 10:04
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선형대수학 한번 제대로 깨부시는 것도 괜찮은 것 같습니다.
21/12/27 10:32
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비단 양자역학 뿐만 아니라, 선대를 제대로 한 번 봐 두시면 아주 긴요하게 여기저기 잘 써먹을 수 있습니다. 머신러닝, 데이터사이언스, 이미지프로세싱, 신호처리, 뭐 그냥 다 쓰인다고 봐도 되겠네요.
22/01/02 16:23
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선형대수는 배웠었는데 다시 공부해봐야겠네요. 감사합니다!
21/12/27 10:31
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저도 공대 출신이고 물리는 부전공했지만, 이미 학부 수준의 양자역학 교과서는 훌륭한 책이 많이 있어서 마음에 드는 책 하나 골라서 집중적으로 파 보시면 좋습니다. 저는 Gasiorowitz로 시작했고, 이후 Sakurai 책, Liboff 책 등으로 공부했지만, 아래 추천처럼 그리피스 책도 좋습니다. 다만 수학적 도구를 미리 섭렵하시면 더 좋을 것 같습니다.
22/01/02 16:23
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안녕하세요. 책 추천 주셨는데 연말에 일이 많아 답변이 늦었습니다. 추천 감사드립니다. 책 구매해서 열심히 공부해보겠습니다. 좋은 글도 감사드려요^^
피우피우
21/12/27 10:33
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윗분도 추천해주셨지만 그리피스 한번 보시고 혹시라도 좀 더 깊이 공부하고 싶단 생각이 드시면 샹카(Shankar)나 사쿠라이(Sakurai) 보시는 거 추천드립니다.
사실 그리피스 정도로 충분합니다. 전자기학도 그렇고 그리피스 할아버지가 학부 전공책 진짜 잘 써놓으셔서 (+한국어로 번역도 잘 되어있어서) 책만 정독해도 기본적인 수준에서 이해하는 데 별 무리가 없습니다.
21/12/27 16:22
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전자기학은 그리프스가 고전 of 고전이죠.크크
22/01/02 16:24
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안녕하세요. 책 추천 주셨는데 연말에 일이 많아 답변이 늦었습니다. 추천 감사드립니다. 그리피스 책이 추천이 가장 많군요. Pdf도 있는 것 같구요! 구매해서 열심히 공부해보겠습니다!
21/12/27 09:51
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유투브 알고리즘으로

세상에서 가장 아름다운 수식 영상 을 최근에 봐서

극초반 내용까지 이해 했습니다 크크
21/12/27 10:30
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읽어 주셔서 감사합니다. 수식 없이 말로 풀어 쓰려니까 힘듭니다.ㅠ.ㅠ pgr도 빨리 TeX를 도입해야..
21/12/27 10:18
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피상전력.. 유효전력.. 무효전력.. 으읔..
21/12/27 10:23
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전력 공학 열심히 공부하셨네요. 이제 phase 복습하실 차례입니다?
21/12/27 10:39
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주업무는 제어설비정비라 안할래요!
21/12/27 10:42
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아이디부터 진성 물덕의 향기가 풍기십니다만?
하얀 까마귀
21/12/27 10:18
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역사에서는 허수의 실재성에 대한 고민은 가우스가 복소평면을 도입하면서 끝장이 났습니다 차원을 하나 늘린 순간 모든 고민이 사라져 버렸죠 실재로 우리는 3차원 좌표 (x,y,z)를 보면서 과연 3차원 좌표란 실재하는가? 이런 고민을 하지는 않죠

복소수의 특별함은 2차원 수임에도 1차원 실수와 똑같이 사칙연산이 가능하다는 점에 있습니다 똑같은 일을 우리는 2차원 벡터와 매트릭스를 써서 할 수 있지만 복소수를 쓰는 것과의 차이는 어마어마합니다 복소수가 많이 쓰이는 이유는 편하기 때문입니다

반면에 해밀튼의 4원수는 4차원 수이지만 복소수 처럼 완벽한 4칙연산을 만들수는 없었었죠 어쨌든 처음에는 사람들이 우와 하면서 감탄했고 해밀튼도 유명해졌지만 점점 안 쓰이고 잊혀지게 됩니다 그 이유는 그 이후 벡터와 선형대수가 발전하면서 유용성을 잃어버렸기 때문입니다
21/12/27 10:30
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사실 질문을 제대로 정의하자면 허수는 자연에 존재하는가가 될 것 같습니다. 당연히 수학적 개념으로서는 말씀하신 바대로 복소평면 도입으로 정립되었죠. 그렇게 따지면 사원수, 팔원수 모두 존재합니다. 본문에서 다루고자 했던 존재성은 물리적 의미에서 실존하는가에 대한 부분이었습니다. 또한 말씀하신 것처럼 물리학자들 역시 복소수의 계산 편의성 때문에 당연히(?) 양자역학 계산에서는 복소수를 기반으로 operation을 합니다. 애초에 양자역학에서 다루는 operator 가 Hermittian operator이니 non-zero eigenvector를 얻거나 operator matrix를 diagonalize 하려면 복소수를 기반으로 하는 수 밖에 없죠. 그렇지만 그렇게 이론적 체계에서 복소수를 당연하게 쓰고, 그것이 잘 working 한다고 해서 정말 복소수가 현실에 존재하는가, 그것의 물리적 의미가 구현되는가에 대한 답으로 바로 이어지지는 않는 것 같습니다. 그래서 실험적인 검증을 하는 것이기도 하고요. 실수에서 복소수, 사원수, 팔원수로 갈 수록 자유도는 높아지지만 operation 자유도는 떨어지죠. 예를 들어 실수와 복소수는 체 (field)를 이룰 수 있지만, 실수에 비해 복소수는 순서 성질을 잃고, 사원수는 곱셈의 교환법칙을 잃고, 팔원수는 결합법칙도 잃게 되죠. 그래서 사원수나 팔원수로 갈수록 그것에 기반한 연산 체계를 만드는 것의 효용성이 떨어지는 것은 아닌가 합니다. 그런데 역설적으로 오히려 사원수는 공학 분야에서 잘 쓰이고 있죠. 로봇팔의 제어 변수 공간을 사원수로 표현하면 계산 효율이 훨씬 올라간다든지, multi-feature database 관리에서도 데이터 개별 위치에 사원수를 도입한다든지 하는 것이 그런 사례들입니다.
하얀 까마귀
21/12/27 16:38
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복소수의 물리적 의미의 실존성이란 개념 자체가 당황스럽습니다. 수학은 철저하게 도구입니다. 복소수를 쓴 결과와 복소수 대신 실수를 쓴 결과가 달랐다? 그러면 두 이론은 다른 이론이고 둘 중 하나는 틀린 것이고, 실험으로 구별해서 어느 것이 틀렸는지 정하면 됩니다. 그 이상 그 이하는 필요 없습니다.

수학자들은 수학이란 학문이 철저하게 논리적이고 추상적이란 것을 이해하고 있고 다른 분야에서는 어디까지나 도구로 쓰인다는 것을 잘 이해하고 있는데 의외로 다른 분야의 사람들이 수학적 개념에 대해 환상(?)을 가지고 있는 것 같습니다. 힐버트가 선과 직선 대신 의자와 맥주잔을 써도 된다고 일갈한 이래 수학적 개념의 실존성(?) 이런 것을 생각하는 수학자는 없을 겁니다. 자연을 기술하는데 수학이란 도구가 잘 쓰이고 있을 뿐이고 사실 수학자들도 도구로써 잘 쓰일 수 있는 수학을 아무래도 주로 연구하게 됩니다.
닉네임을바꾸다
21/12/27 22:00
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뭐 다중우주론 중 수학구조가 곧 우주다라는 이야기도 있긴 하지만요 크크
antidote
21/12/27 10:33
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양자역학의 세계는 역시 난해하군요. 보통 공학에서 거시적 물리법칙의 기술에서 허수를 쓰는건 마치 계산자 쓰던 시절에 로그를 계산기로 썼듯이 유사 계산기로 쓰려고 허수를 가져다 쓰는 것인데 양자를 기술할 때 쓰는 허수는 실제로 물리적인 의미가 있다고 봐야 하는 모양이군요.
21/12/27 10:35
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네 그런 것 같습니다. 양자역학에서의 operator라는 개념을 제대로 정의하려면 복소수는 옵션이 아니라 필수죠. 그래서 이런 연구를 하면 대부분의 물리학자들은 '당연한 사실을 왜 굳이 다시 연구함?' 이라는 질문을 할 수도 있습니다. 그런데 그 당연함이 사실 수학적 계산 과정에서의 당연함에 해당하는 것이었을 뿐, 정말 복소수를 도입하여 설명하는 개념이 물리적으로 구현되는지, 자연계에서 실존하는 현상과 매칭되는지에 대한 논의는 별개라고 봐야하는 것이죠. 그래서 이런 연구들이 여전히 주목받는 것 같기도 합니다.
21/12/27 10:45
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존재한다 안한다가 결국 인간의 관점과 허수체계가 없었을때의 수학체계의 관점이라고 생각합니다.
저는 학부때 허수에 대한 고민을 생각보다 단순하게 정리한게 이름이 허수라고 해서 그렇지 i는 실세계에서 존재하는 개념이라고 결론을 내렸습니다.
양수만 생각했던 세계에서 0 미만으로 넘어가는건 없는거자나 라고 생각했던 한계에서 음수는 존재하는 것이라고 말할 수 있을까요?
하지만 정수와 실수의 세계로 넘어오면서 음수는 당연히 존재하는 것이 됐죠. 사실 존재라는 의미가 사과가 어떻게 -1개 가 될 수 있어? 라고 하지만 사과하나를 빌려줄수도 있자나로 개념적으로 풀리죠. 이제 인간이 이 영역까지는 자유롭게 사고하기에 가능합니다. 결국 수학적 세계에서 존재는 개념의 정립이라고 생각합니다.
허수라는게 (네이밍이 참 중요합니다. 허수라니까 마치 없는것 처럼 느껴지는...) 개념적으로 실증합니다. 마치 마이너스처럼 말이죠. 단지 실수 체계에서 존재 하지 않았던 것이죠. 양수체계에서 음수가 존재하지 않았던 것 처럼 말입니다. 어떻게 제곱해서 -1이 나오는 수가 있을 수 있어 말이 돼? 라고 하지만 말이됩니다. 단지 실수세계에서 말이 안되는 것이죠. 그런 실수가 존재하지 않으니... 하지만 실제 세계에서는 말이 됩니다. 그런 개념이 있을 수 있죠. 우린 익숙하죠. 바로 파동이란 개념입니다. 1이 됐다가 -1이 됐다가 파동은 그런 개념입니다. 정해져 있지 않죠. 시간 또는 어떤 축의 변화에 따라 1이 되기도 -1이 되기도 합니다. 이 파동이란 개념을 수학적으로 압축 시킨것이 i입니다. 그렇기에 제곱하면 -1이 되는 것이죠. 인간이 입자의 영역에서만 살다가 전기와 전류를 발견하고 신호체계를 이용하게 되면서 이제 i도 음수처럼 존재하는 개념이 되었다고 생각합니다.
이런 개념을 인간이 하나씩 찾을때마다 인류 문명이 큰 진보를 이룬다고 생각합니다. 아 순서는 상관 없습니다. 때론 수학적 개념을 먼저 생각했다가 적용되는 물리학 체계를 찾기도 하고 때로는 물리학에서 설명 안되는 무언가를 찾아서 이를 설명하기 위해 수학적 개념을 정립하기도 하죠. 어느쪽이 됐든 인간이 사고할 수 있고 이를 현실에 적용할 수 있다면 그건 존재한다라고 생각합니다.
21/12/27 10:52
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네. 말씀하신 것에 동의합니다. 사실 허수의 개념 역시 음수의 개념처럼 수학적으로 정의되면 얼마든지 존재할 수 있고, 그것을 이용해서 다양한 이론을 전개함에 있어 깔끔한 장치가 될 수 있으니 무리없이 받아들여지고 있다고 생각합니다. 다만, 본문에서 다루고자 했던 것은 그러한 개념적 존재성에 대한 것이 아닌, 실세계에서 물리적 의미로 구현되는 수준으로 존재하는가에 대한 것이었습니다. 사실 그 질문은 관념적 사고만으로는 답하기 쉬운 질문은 아니고, 실존에 대한 것이므로 실험적 검증이 필요했던 것인데, 이번에 소개해 드린 연구들이 그런 질문에 대해 일부 답을 주게 된 것이죠.
antidote
21/12/27 11:19
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(수정됨) 저는 음수와 허수가 정적인 것과 동적인 차이가 있어서 인간이 받아들이기 힘들다고 봅니다. 그리고 현실에서의 실재성을 의심할 수도 있고요.
음수의 경우 0이라는 숫자를 어느 기준점으로 잡느냐에 따라서 충분히 실재한다고 볼 여지가 있습니다.
그래서 해면 고도를 0으로 잡고 그보다 고도가 낮으면 음의 고도(심도)로 계산을 할 수도 있고 전기적으로 중성인 상태를 0으로 해서 전기적 음성으로 대전되면 음수, 전기적 양성으로 대전되면 양수의 개념으로 서술을 하고 이것은 꽤나 직관적인 설명이죠.
그리고 그 음수가 표상하는 것은 비교적 이해하기 쉬우며 실제로 음의 존재는 존재하지 않지만 어쨌든 음의 값으로 표시한 상태가 일반적으로 정적으로 거시적으로 확인이 가능할만큼 상당시간 유지가 가능합니다. 음전하로 대전된 전극판이나 해면 밑 심도까지 파내려간 광산이 갑자기 나타났다 사라졌다 하는 것도 아니죠.
또한 계산의 편의를 위해서 음수를 쓰지만 음수가 없다고 하면 계산이 아주 힘들어지는 것일 뿐 결과값이 다르게 나온다고는 생각하기 어렵습니다. 중성 대비 전하가 1C만큼 모자란 상태를 전자 수조개로 계산하느냐 아니면 음수로 -1C로 계산하느냐의 문제라고 보통 생각을 하게 된다는 말이죠.
그런데 허수로 표현하는 것은 혼돈님의 말씀 말마따나 동적인 것이고 파동의 상태와 같은 것을 기술하는데 거시적 세계에서 음파나 지진파같은 파동은 보통 매질이 움직이는 상태로 나타는 것이고 이는 물질이 실제로 압축되거나 움직이면서 발생하기 때문에 실수세계를 기술하는 계산기라고 생각할 수밖에 없습니다. 이걸 삼각함수의 조합들과 시간, 각도위상이라는 실수 형태로 나타내면 계산하기가 불편해질 뿐이지 실수로 계산할 수 있는 현상을 계산 편의성을 위해 허수로 계산하는 것에 불과하다고 생각할 수밖에 없습니다. 실제로 그러한 삼각함수들의 조합 공식을 고등학교와 대학교 때 배우기도 하지요.
물론 전자기파는 거시적으로 확인이 불가능합니다만 원자 이하 레벨까지 내려가지 않으면 거시적인 수준에서 전자기파는 공간을 타고 전달되는 전기적, 자기적인 흔들림으로 유사하게 계산할 수 있고 이는 마찬가지로 계산기의 용도로서의 허수의 기능적 역할에 충실한 것입니다.
문제는 양자역학의 레벨로 내려가 물질마저 파동으로 계산되게 되었을 때도 허수로 기술할 수 있을 것인가, 허수로만 기술가능한 현상이 존재할 것인가에 대한 argue가 있냐 없냐의 문제가 될 것 같습니다. 저의 직관은 어차피 허수는 계산기이기 때문에 그런 것은 없을 것이라고 생각을 하게 되는데 본문의 내용을 보면 실험결과 그렇지 않다라는 내용이 아닌가 싶습니다.
물질이 파동과 같은 동적인 상태로 존재하는 것을 기술하는 허수를 써야만 계산이 되는가 아니면 실수로도 같은 값을 얻는 계산이 가능한가의 문제가 아닌가 싶습니다.
일반상대성이론
21/12/27 10:52
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주파수영역 이산신호로 받은 데이터를 푸리에변환해서 시간영역으로 해석하려다보면 복소수가 된 채로 만지게 되는데, 시간영역 신호는 사실 실수여야만 한단 말이죠... 힐버트 변환이나 이것저것 해서 어떻게든 실수로 만들어야 하나 싶기도 하고... 아직도 제가 뭔가 제대로 하고는 있는건지 모르겠습니다. 크크
21/12/27 10:53
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제대로 공부하고 계신 것입니다.크크
21/12/27 11:05
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(수정됨) 와 흥미롭네요
공학을 배울 때 허수의 개념을 도입해서 계산 및 표현을 용이하게하고 실제 구현시에는 허수를 표현할 수 없으니 실수만을 이용하여 구현하는 방식으로 이해를 했었는데 만약 저게 사실이면 이런 구현 방식들에 대해서도 영향이 미칠지 궁금해지네요...
거기다 허수가 물리적 의미를 가지면 어떤 의미를 가지는지도 궁금하네요
21/12/27 11:21
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이런 연구들이 그러한 물음에 대한 한 가지 힌트를 주는 것이 아닐까 합니다.
피우피우
21/12/27 11:06
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위 Quantum21님 댓글처럼 허수가 실존하느냐에 대한 논의는 과학철학에 가까운 것 같습니다.

본문의 연구는 복소수라는 도구가 물리학을 기술하는 데 단순히 '편리한 도구'인지 아니면 '없어서는 안 되는 필수 도구'인지 검증하는 연구라고 생각되는데, 사실 이미 필수라고 생각해와서 그런지 말씀하신 것처럼 당연한 거 아닌가? 라는 생각이 먼저 들기는 합니다. 더 정확히는 복소수를 사용하는 것에 별 생각이 없었기 때문인 것 같기도 하고요.

좀 더 생각해보니 우리 우주에 실재하는 현상을 수학적으로 기술하는데 어떤 수 체계가 단순히 편리함을 넘어 필수 불가결하다는 것이 실험적으로 증명된다면 그 수 체계를 '실존'한다고 이야기할 수 있는 철학적 기반이 될 수 있지 않을까 싶습니다. 물론 그 이전에 '실존'을 어떻게 정의할지 먼저 논의가 되어야 하겠지만... 아무튼 좋은 글 감사합니다.
21/12/27 11:20
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네. 정확히 이해하셨습니다. '당연한거 아닌가?'는 이론적 관점에서의 효용성과 존재 가치에 대한 것일 것이고, 정말 자연계에 존재하는가는 또 다른 영역이 아닐까 싶습니다. 저도 과학철학 쪽은 잘 몰라서 더 논의를 이어가고 싶지만 지식이 짧은 것이 한이네요.
아구스티너헬
21/12/27 11:23
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(수정됨) 허수는 진동 다시말해 회전계의 상변화를 표현하는 일종의 백터 도구일 뿐이죠.
제곱근이 -1이 되어야 회전이 표현되기 때문에(기존에 사용하던 사칙연산에 백터를 그대로 사용할 수 있으니까) 그렇게 정의된 것일뿐 그것이 자연계에 존재하냐 아니냐를 따질 문제가 아니라고 봅니다.

그럼 이게 필수냐 전혀 그렇지 않습니다. 모든 허수계는 삼각함수로 대체 가능하죠.
하지만 삼각함수는 이름 그대로 함수가 사용됨으로 계산이 복잡하고 무겁습니다.
복소수라는 도구는 이를 계산이 간단하게 만들어준것 뿐이죠.
하지만 복소수는 우리에게 자연로그라는 거지같은것을 남겨주었죠.
피우피우
21/12/27 11:33
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맞습니다. 평소에 그렇게 계산을 하면서도 수 체계의 실존성에 대해 철학적인 고민을 별로 해본 적이 없다보니 저렇게 댓글을 남겼는데.. 다시 생각하고 댓글 쓰는 사이에 좋은 답글을 남겨주셨네요.

애초에 복소수를 두 실수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다는 점에서 사실 그냥 차원만 늘리면 되는 게 아닌가 어렴풋이 생각해왔던 것 같은데 그런 식으로 기술할 수 없는 실험 결과가 나왔다는 점이 굉장히 재미있네요 크크
피우피우
21/12/27 11:28
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근데 댓글 쓰고 다시 한 번 곰곰이 생각해보니 저도 허수를 '실존'한다고 생각해본 적은 없는 것 같습니다.
실수만으로는 자연의 현상들을 수학적으로 기술하는 것이 매우 불편한 반면 복소수를 사용하면 깔끔하고 편리하니 좋은 도구로 사용할 뿐 결국 확률이든 물리량이든 전부 실수 체계 안에서 존재하니 실수만으로 어떻게 어떻게 잘 하면 다 기술할 수 있지 않을까하고 어렴풋이 생각했던 것 같아요. 그 구체적인 방법에 대해 딱히 고민하거나 공부해보지 않아서 더 그럴 수도 있겠고요.

이렇게 생각하니 소개해주신 연구가 더 흥미롭게 느껴집니다.
올해는다르다
21/12/27 11:28
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이게 일반인을 향해 쓴글이라면 누군가는 멍청한 사람을 대표해서 멍청한 소리를 해야할거 같아서 질문 남깁니다.
저 실험 결과가 의미하는게 관측의 평균값이 허수에 가깝다는건지 아니면 진짜 자연계에 허수라는걸 위치를 찍어서 보여줄수 있다는건지 잘 모르겠네요. 문맥상 아마 전자인거 같은데 그러면 계산도구로서는 예전부터 허수가 쓰이던거와 무슨 차이가 있는지 잘 모르겠습니다. 실수만 가지고 계산하려던 쪽이 틀렸다는거는 알겠는데 허수가 계산 도중 말고 실제로 어디있는거냐는 모르겠어요.
21/12/27 11:34
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제가 글을 다소 불친절하게 썼나 봅니다. 제가 아는 범위 내에서 다시 이 이야기를 해 보자면 이렇습니다.
1. 양자역학은 수학적으로는 복소수 기반으로 기술된다. (전개된다)
2. 그 이유는 그것이 편리하고 복소수 기반으로 전개해서 나오는 해들의 정합성이 복소수 내에서 보장되기 때문이다. (다른 개념을 도입할 필요가 없음)
3. 그렇지만 양자역학 이론에서 예측되거나 관측되는 대상들의 특성은 실수값이다.
4. 그렇다면 복소수의 쓸모는 수학적 장치 그 이상이 아닌 것인가?
5. 사실 양자역학 이론의 전개는 (다소 불편하긴 하지만) 실수 기반 이론으로도 할 수 있다.
6. 입자 한 개 혹은 얽힌 입자 한 쌍에 대해서는 복소수 기반 이론 체계와 실수 기반 이론 체계에서 예상하는 값에는 차이가 없다.
7. 그렇지만 두 개 이상의 쌍, 그리고 그들의 얽힘 정도가 서로 상관관계가 없는 경우에 대해서라면 이 얽힘 정도가 차이가 난다.
8. 이론적으로 그렇게 예측이 되는데, 관건은 실험적으로도 정말 그 차이를 검증할 수 있냐는 것이다.
9. 실험적으로 검증해 보니, 실수 기반 이론에서 예측되는 최대 상관치보다 더 큰 상관치가 나왔고, 이는 우연일 가능성이 매우매우 낮다.
10. 따라서 실수 기반의 양자역학 이론만으로는 설명할 수 없는 현상이 관측된 것으로 볼 수 있으며, 이는 복소수 기반 이론 체계가 더 진실에 가까울 것임을 의미한다. (확증은 아님)
11. 이로부터 허수를 포함한 복소수가 단순히 수학적 장치에 머무는 것이 아니라, 현실 세계에 매칭되는 의미를 가지고 있음을 유추할 수 있다.

이 정도일 것 같습니다.
올해는다르다
21/12/27 11:43
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본문 읽을 때는 6-7이 무슨 소리인지를 몰랐는데 댓글에서 대충 감이라도 잡게 됐네요. 허수로 물리현상을 계산하는게 더 편할 뿐만 아니라 더 정확하다는게 밝혀졌기에 실제로도 영향을 미친다고 볼 여지가 커진거군요.
21/12/27 16:21
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그렇게 해석하면 될 것 같습니다.
닉네임을바꾸다
21/12/27 12:06
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(수정됨) 문과가 대충 보기에는 방정식에서 복소수 이상은 수체계 확장은 필요없다하는게 대수학의 기본정리라는걸 나중에 알았는데...허수에서 끝난게 다행이지 않을까요 크크
이게 보장되지 않았으면 방정식의 차수가 올라가다보면 수체계를 만들어야했을텐데...
antidote
21/12/27 12:14
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위에서 cheme님이 설명하셨는데 사원수는 3차원 위치 제어(로봇팔, 다중축 짐벌 등등)에 실용적으로 사용 가능하고
컴퓨터 그래픽스에서 카메라 시점 제어를 하는 용도로 실용적으로 사용 가능합니다.
그 이외의 영역도 계산기로서의 실용성이 언젠가 생기지 않는다는 보장은 없을겁니다.
닉네임을바꾸다
21/12/27 12:20
수정 아이콘
(수정됨) 뭐 실용적 용도로 사용하는거와 수학에서 흔히 말하는 일반화를 위해서 필수여야하는건 느낌이 다르니까요 크크
21/12/27 13:09
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근데 그렇게 따지면 실수가 존재 한다는 의미는 무엇일까요? 사과 두개 배한개 가 존재하고 연산을 한다고 2와 1이라는 숫자가 존재…한다라.. 그럼복소수도 같은 의미로 존재하는것 아닌지…
21/12/27 13:22
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실수는 현실 세계에서 그 대상을 찾을 수 있으니까요. 정수, 유리수는 이해하실 것이고, 원주율 pi, 정사각형의 빗변과 밑변의 길이 비율이 2^0.5 같은 무리수인 것도 엄연히 존재하는 비율이죠. 그렇지만 복소수가 직접적으로, 그리고 독립적으로 가리키는 자연의 대상이 뚜렷하지 않아서 문제였던 것이죠.
22/01/04 19:54
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아하! 그렇군요..
22/01/04 19:54
수정 아이콘
아하! 그렇군요..
계층방정
21/12/27 13:51
수정 아이콘
수학적으로는 무리수의 정의가 허수의 정의보다 더 대답하기 어려운 문제였는데, 물리학에서는 가측정량을 표현하는 데에는 실수면 충분하기 때문에 관점이 다른 건가 싶네요. 어쩌면 수학자들이 무리수 정의에 실패한 상태에서도 물리학자들은 무리수의 실존을 의심하지 않았을 것 같습니다.
21/12/27 13:58
수정 아이콘
물리학자들은 수학을 장치로 활용하는 경우가 대다수라, 일단 계산만 되면 해피합니다. 물론 게중에는 '아 찜찜하다. 이래도 될까?' 를 고민하는 학자들도 있죠. 그렇게 또 새로운 수학 분야가 탄생하기도 합니다.
닉네임을바꾸다
21/12/27 15:45
수정 아이콘
물리학자들은 무한이 제일 싫지 않을까 크크
21/12/27 16:19
수정 아이콘
아유 무한이 얼마나 중헌디유...덜덜
RapidSilver
21/12/27 14:07
수정 아이콘
저도 참 궁금했어요. 허수가 참 섹시한 개념인데, 이걸 우리가 현실에서 본적이 있나를 따져보면 항상 찝찝한 느낌이었거든요.

요즘 소크라테스 관련 서적을 많이 보고 있는데, 테스형은 줄기차게 '인간의 감각은 진리를 탐구하는데 사실 별로 안중요하다, 감각과 합치하지 않더라도 철저히 변증해서 의심의 여지가 없다면 그게 진리에 가까운거다'라는 말을 해요. 그런데 이걸 양자역학이나 수체계 등의 현대 수학 과학과 대응시켜보면 상당히 묘한 느낌을 주는 말씀인게...
21/12/27 16:20
수정 아이콘
그래서 너무 극단론으로 흐르면 끈이론 같은 이론물리학에서는 '실험적 증거'가 없더라도, 수학적으로 아름다우면 진리에 가깝다 라고 주장하기도 하죠. 사실 이런 이유만 생각해보더라도 모든 과학적 이론에 있어서는 적절한 실증이 필요한 것 같기도 합니다.
echo off
21/12/27 14:13
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흥미로운 글 잘 읽었습니다. 제가 고등학교 시절 허수를 처음 접했을 때의 불만(?) 같은 것이 생각나네요. 어차피 허수는 실재하지 않는 수인데 하필 제곱해서 음수가 되는 수만 따로 허수로 정의해서 공부할 이유가 무엇인가 하는 것이었습니다. 이를테면 0을 곱해도 0이 되지 않는 수라던가, 이런 것도 또다른 허수로 정의할 수도 있지 않는가 하는 것이었지요. 하지만 대학에서 복소수를 이용하면 물리, 공학적 영역에서 손쉬운 계산이 가능하다는 것을 알게 되면서 그런 불만이 누그러졌었습니다. 그때 들었던 생각은 허수와 실수가 단지 서로 orthogonal 한 특징 때문에 벡터로 표현할 것을 하나의 수로 표현한 것뿐이라고 생각했는데, 그렇게 정의된 복소수 체계가 다양한 연산에서 아름다운 조화를 이루고 실용적이기까지 한 것을 보고 경탄했던 적이 있습니다. 기초적인 수학 수준을 맛보기 한 뒤 공부가 끝났기 때문에 그런 아름다움을 더 느낄 수는 없었지만, 그때의 기억이 생각나서 매우 반가운 글이네요.
21/12/27 16:23
수정 아이콘
네. 복소수를 학생들에게 처음 가르칠 때, 그것이 얼마나 유용하고 훌륭한 도구가 되는지를 보여 주면 정말 좋을 것 같습니다. 다 쓸모가 있어서 발명된 장치들이고, 그 유용성이 충분히 넘치므로 지금까지 잘 쓰이는 도구이니 말입니다.
21/12/27 18:02
수정 아이콘
좋은 글 감사합니다!!!
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