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16/10/09 14:52
글쎄요. 가령 실수의 모든 부분집합을 고려할 때, 공집합의 원소의 합, 곱이 정의될지 모르겠지만 혹시 된다고 쳐도, 합은 0이 합당하겠지만 곱은 1이 되면 되었지 0일리는 없다고 생각합니다. 모든 실수의 0제곱은 1입니다. 심지어 0^0 = 1이구요.. 그래서 합과 곱이 2의 배수가 될 수가 없으므로 공집합은 안 들어갈 것 같네요.
16/10/09 15:05
음. 원소가 1개인 경우 가령 {4}인 경우는 모든원소의 곱은 그냥 4라고 하지 않나요?
그렇다면 공집합의 곱이 정의 된다고 치면 0^0이라고 할것이 아니라 0이 맞지 않을까요?
16/10/09 15:10
음.. 글쎄요. 왜 0이어야 하죠? 어떤 실수든 간에 "이것을 0번 곱한다"라는 행위 후에 나온 답은 1인데요.
집합에 0이 포함되어 있는 것도 아닌데 왜 곱이 0이 나와야 하죠?
16/10/09 15:22
음... 그래서요.. 그부분이 좀 애매해요. 원소가 0인것은 아닌데 없는상태를 0이라고 해야 하는가에 대해서요..
특히나 원소의 합은 심증적으로 0에 가까운데 원소의 곱은 또 0이라고 보기 불편해서요. 합을 0+0으로 볼꺼면 곱을 0*0으로 볼만도 한데.... 애매하네요
16/10/09 15:38
제 생각에는 "공집합의 모든 원소의 합과 곱이 정의된다"라는 관점에서 시작하시려면
[공집합의 모든 원소의 합과 곱은 바로 이것이다]라는 "정의"에서 시작할 수 밖에 없지 않나 싶습니다. 그리고 그 정의에 알맞는 유일한 수는 덧셈의 항등원인 0이고 곱셈의 항등원인 1입니다. 왜냐면, 실수의 부분집합이고 공집합이 아닌 A에서 원소 하나 (c라고 합시다) 가 늘어 B가 될 때를 생각해보시면 (B의 원소 합) = (A의 원소 합) + c (B의 원소 곱) = (A의 원소 곱) * c 인 것이 당연합니다. 그럼 이제 만약 여기서 A가 공집합인데 c가 추가되어서 B = {c}가 되는 경우를 생각해보시면, 수학적으로 일관성이 있기 위해서는 위와 똑같은 관계식이 성립해야 합니다. (B의 원소 합) = c = (A의 원소 합) + c (B의 원소 곱) = c = (A의 원소 곱) * c 이므로 모든 실수 c에 대해 위의 식을 만족할 수 있는 (A의 원소 합)와 (A의 원소 곱)은 0과 1밖에 없습니다.
16/10/09 16:07
아.. 공집합을 0이라고 생각한나머지 공집합의 곱에 대한 역원을 모든 실수라고 믿어 버렸네요. .
감사합니다 이해가 됬어요. 그럼 문제는 공집합의 모든 원소의 합과 곱이 정의 된다는 관점이 옳은가에 대한 얘기네요.
16/10/09 16:16
네 그렇죠. 공집합에서 정의가 되느냐 마느냐는 어떻게 "집합의 원소의 합"과 "집합의 원소의 곱"을 정의하느냐에 따른 문제인데,
어떤 정의에서는 "공집합이 아닌 집합에 대해서, 합과 곱을 이렇게 (원소들의 합과 곱으로) 정의한다"라고 할 수도 있고 어떤 정의에서는 "공집합의 합과 곱을 0과 1로 놓고, 다른 집합에 대해 합과 곱을 (제가 윗 댓글에서 말씀드린 것 같이) 정의한다"라고 할 수도 있겠죠. 이건 사실 정의하기 나름인 것 같고요. 원 질문에서 말씀하신 문제에 대해서만 말씀을 드려보자면 정의가 안된다 -> 정의가 안된 수들 가지고 2의 배수를 논할 일 없으므로 어차피 공집합 포함 안됨, 정의가 된다 -> 합과 곱이 0, 1이므로 2의 배수가 아님. 이므로 어찌 되었든 간에 그 답에 공집합이 들어갈 일은 없을 것 같습니다.
16/10/09 15:27
음...... 제가 요즘 보는 책에서 그렇게 다루고 구글도 1이라고 하길래 아무 생각 없이 그렇다 라고 생각했는데 다시 검색하고 생각해보니 undefined라고 보는 관점도 상당히 있고 타당성도 꽤 있네요. 부끄럽게시리!
0^0=1으로 정의하는 관점은 "이 함수는 0일때만 아니면 다 좋고 0 주변에서는 1에 엄청 가까운데 0이면 0^0 꼴이 나와서 정의가 안돼서 귀찮아!" 이 되는 경우가 많기 때문에 "그럼 0^0=1로 정해버리면 모두가 행복해지겠군!" 하고 정의하는 경우가 많은 것 같네용.
16/10/09 16:22
일단 문제에서 합, 곱을 제시하는 순간 두 개의 수 이상의 관계가 등장하는 것이기 때문에 애초에 구하는 부분집합에서 원소의 개수가 0, 1인 것은 제외함이 옳아 보입니다.
0!=1, 0^0=1 등의 정의는 팩토리얼, 파워 등의 기호를 정의할 때 수체계의 완결성을 깨뜨리지 않기 위해 정한것 뿐이지 저 등식만을 가지고 다른 곳에 적용하는 것은 오하려 혼란만 가중시킬 뿐입니다.
16/10/09 16:27
합과 곱이라는 "관계"의 정의에 집중하면 이렇게 생각할 수도 있겠네요. 흥미롭습니다.
(0^0을 인용한 것은 제 실수라고 생각합니다. 으으...)
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