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Date 2016/10/09 14:39:07
Name 날쏘고가라
Subject [질문] <수학-집합>공집합의 원소의 합은 0?
안녕하세요 여러 전문가님들의 도움좀 받을까 해서 올립니다.

공집합의 원소의 합과 원소의 곱에 대한 이야기 입니다.

문제는 모든 원소의 합과 곱이 2의 배수가 되는 부분집합을 찾는건데

여기 답에 공집합이 들어가는지가 애매해요

공집합의 모든원소의 합/곱이 '0'인가 '없다'인가

어느쪽일까요??

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16/10/09 14:49
수정 아이콘
전공자긴한데..공집합의 원소의 합은 정의가 안되겠죠?
집합의 원소가 수만 되는것도 아니고.
16/10/09 14:52
수정 아이콘
글쎄요. 가령 실수의 모든 부분집합을 고려할 때, 공집합의 원소의 합, 곱이 정의될지 모르겠지만 혹시 된다고 쳐도, 합은 0이 합당하겠지만 곱은 1이 되면 되었지 0일리는 없다고 생각합니다. 모든 실수의 0제곱은 1입니다. 심지어 0^0 = 1이구요.. 그래서 합과 곱이 2의 배수가 될 수가 없으므로 공집합은 안 들어갈 것 같네요.
날쏘고가라
16/10/09 15:05
수정 아이콘
음. 원소가 1개인 경우 가령 {4}인 경우는 모든원소의 곱은 그냥 4라고 하지 않나요?

그렇다면 공집합의 곱이 정의 된다고 치면 0^0이라고 할것이 아니라 0이 맞지 않을까요?
16/10/09 15:10
수정 아이콘
음.. 글쎄요. 왜 0이어야 하죠? 어떤 실수든 간에 "이것을 0번 곱한다"라는 행위 후에 나온 답은 1인데요.
집합에 0이 포함되어 있는 것도 아닌데 왜 곱이 0이 나와야 하죠?
날쏘고가라
16/10/09 15:22
수정 아이콘
음... 그래서요.. 그부분이 좀 애매해요. 원소가 0인것은 아닌데 없는상태를 0이라고 해야 하는가에 대해서요..
특히나 원소의 합은 심증적으로 0에 가까운데 원소의 곱은 또 0이라고 보기 불편해서요.
합을 0+0으로 볼꺼면 곱을 0*0으로 볼만도 한데....
애매하네요
16/10/09 15:38
수정 아이콘
제 생각에는 "공집합의 모든 원소의 합과 곱이 정의된다"라는 관점에서 시작하시려면
[공집합의 모든 원소의 합과 곱은 바로 이것이다]라는 "정의"에서 시작할 수 밖에 없지 않나 싶습니다.
그리고 그 정의에 알맞는 유일한 수는 덧셈의 항등원인 0이고 곱셈의 항등원인 1입니다.

왜냐면, 실수의 부분집합이고 공집합이 아닌 A에서 원소 하나 (c라고 합시다) 가 늘어 B가 될 때를 생각해보시면
(B의 원소 합) = (A의 원소 합) + c
(B의 원소 곱) = (A의 원소 곱) * c
인 것이 당연합니다.
그럼 이제 만약 여기서 A가 공집합인데 c가 추가되어서 B = {c}가 되는 경우를 생각해보시면,
수학적으로 일관성이 있기 위해서는 위와 똑같은 관계식이 성립해야 합니다.
(B의 원소 합) = c = (A의 원소 합) + c
(B의 원소 곱) = c = (A의 원소 곱) * c
이므로 모든 실수 c에 대해 위의 식을 만족할 수 있는 (A의 원소 합)와 (A의 원소 곱)은 0과 1밖에 없습니다.
날쏘고가라
16/10/09 16:07
수정 아이콘
아.. 공집합을 0이라고 생각한나머지 공집합의 곱에 대한 역원을 모든 실수라고 믿어 버렸네요. .
감사합니다 이해가 됬어요.
그럼 문제는 공집합의 모든 원소의 합과 곱이 정의 된다는 관점이 옳은가에 대한 얘기네요.
16/10/09 16:16
수정 아이콘
네 그렇죠. 공집합에서 정의가 되느냐 마느냐는 어떻게 "집합의 원소의 합"과 "집합의 원소의 곱"을 정의하느냐에 따른 문제인데,
어떤 정의에서는 "공집합이 아닌 집합에 대해서, 합과 곱을 이렇게 (원소들의 합과 곱으로) 정의한다"라고 할 수도 있고
어떤 정의에서는 "공집합의 합과 곱을 0과 1로 놓고, 다른 집합에 대해 합과 곱을 (제가 윗 댓글에서 말씀드린 것 같이) 정의한다"라고
할 수도 있겠죠. 이건 사실 정의하기 나름인 것 같고요. 원 질문에서 말씀하신 문제에 대해서만 말씀을 드려보자면
정의가 안된다 -> 정의가 안된 수들 가지고 2의 배수를 논할 일 없으므로 어차피 공집합 포함 안됨,
정의가 된다 -> 합과 곱이 0, 1이므로 2의 배수가 아님.
이므로 어찌 되었든 간에 그 답에 공집합이 들어갈 일은 없을 것 같습니다.
16/10/09 15:18
수정 아이콘
그런데 0^0은 정의하지 않는다고 고등학교때 배운것 같았는데 1인가용??
16/10/09 15:27
수정 아이콘
음...... 제가 요즘 보는 책에서 그렇게 다루고 구글도 1이라고 하길래 아무 생각 없이 그렇다 라고 생각했는데 다시 검색하고 생각해보니 undefined라고 보는 관점도 상당히 있고 타당성도 꽤 있네요. 부끄럽게시리!
0^0=1으로 정의하는 관점은 "이 함수는 0일때만 아니면 다 좋고 0 주변에서는 1에 엄청 가까운데 0이면 0^0 꼴이 나와서 정의가 안돼서 귀찮아!" 이 되는 경우가 많기 때문에 "그럼 0^0=1로 정해버리면 모두가 행복해지겠군!" 하고 정의하는 경우가 많은 것 같네용.
16/10/09 14:54
수정 아이콘
정의하기 나름일텐데, 보편적으로 생각하기에 공집합 원소의 합은 0 곱은 1이라고 치는게 훨씬 자연스러울 것 같습니다.
위원장
16/10/09 15:22
수정 아이콘
존재하지 않는다일 것 같네요.
워송배틀드럼
16/10/09 15:57
수정 아이콘
편의에 따라 합은 0, 곱은 1로 취급합니다
개고기라면
16/10/09 16:22
수정 아이콘
일단 문제에서 합, 곱을 제시하는 순간 두 개의 수 이상의 관계가 등장하는 것이기 때문에 애초에 구하는 부분집합에서 원소의 개수가 0, 1인 것은 제외함이 옳아 보입니다.

0!=1, 0^0=1 등의 정의는 팩토리얼, 파워 등의 기호를 정의할 때 수체계의 완결성을 깨뜨리지 않기 위해 정한것 뿐이지 저 등식만을 가지고 다른 곳에 적용하는 것은 오하려 혼란만 가중시킬 뿐입니다.
16/10/09 16:27
수정 아이콘
합과 곱이라는 "관계"의 정의에 집중하면 이렇게 생각할 수도 있겠네요. 흥미롭습니다.
(0^0을 인용한 것은 제 실수라고 생각합니다. 으으...)
프로듀사
16/10/10 21:27
수정 아이콘
공집합의 모든 원소의 합과 곱은 2의 배수가 맞습니다.
공집합의 모든 원소의 합과 곱은 홀수다도 맞습니다.
원소가 없으니까요.
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