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Date 2016/09/26 16:48:36
Name 티어루프
Subject [질문] 수학문제좀 도와주세요! 상수,전사함수 비가산집합
안녕하세요

과제 진행중에 어려운점이 있어 피식인 여러분들께 도움을 구하고자 합니다 ㅠㅠ

문제1
집합 X에 대해, A는 X의 부분집합이고, 특성 함수 K : X -> {0,1}을 다음과 같이 정의하자.
   K(x) =   1,      x가 A의 원소일때
          =   0,      x가 A이외의 집합X 원소일때

(1) X의 부분집합 A는 특성함수 K : X ->{0,1}에 대하여 상수 함수를 만족하는가?
(2) X의 부분집합 A는 특성함수 K : X ->{0,1}에 대하여 전사 함수를 만족하는가?

문제2
집합 S에서 어떤 비가산 집합으로 전사하는 일대일 대응관계가 있으면 S는 비가산 집합이다.


문제1번의 경우 답을
(1) 모든 집합A 원소의 함수값은 1로 고정이므로 상수함수이다.
(2) 모든 집합A 원소의 함수값은 1로 고정이므로 전사함수가 아니다.
라고하였는데 답지에는 (1) 상수함수가 아니다     //  (2) 전사함수이다.    라고 답만 나와서 잘못생각한점이 어디인질 모르겠네요

문제2번의 경우 답을
어떤 비가산집합을 T라고 잡고 f: S->T를 만족하는 일대일대응의 함수가 있다고 하자
T는 비가산집합이므로 g: T->N(가산집합)에 일대일대응이 불가능하다.
따라서 T집합이 일대일대응을 하는 함수 h : T->Q(임의의 비가산집합) 일때 뿐이다.
h o f:  S->Q는 집합S에서 Q(비가산집합)로 대응하는 일대일 함수이다.
이렇게 정리하였는데 맞는풀이 인지도 모르겠고 답도 정확히없어서 잘모르겠네요  도와주세요!

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봄하늘
16/09/26 17:16
수정 아이콘
음 문제 1에서 A에 대한 다른 조건이 없나요?
그냥 A가 X의 부분집합이라고 하면
(1)은 상수함수가 아니다. (2)는 전사함수가 아니다. 가 되야할 것 같은데요
예를들어 X = {1,2,3}인 경우에
A ={1,2}이면 K: X -> {0, 1}은 상수함수가 아니죠.
한편으로는 A=empty 이거나 A={1,2,3}이라면 K: X -> {0, 1}은 전사함수가 아니게 됩니다.

문제 2는 대략 맞는것 같은데요
S가 가산집합이라고 가정하자. 그러면 f: S -> N인 일대일 함수가 존재
h: S -> T라고 하면 h^-1: T -> S인 1대일 대응이 존재하는데
그러면 h^-1 * f: T -> S -> N인 일대일 함수가 존재하게 되므로 T가 비가산 집합이라는 가정에 모순.
티어루프
16/09/26 17:51
수정 아이콘
답변에 감사드립니다.

예를들어 X = {1,2,3}인 경우에
A ={1,2}이면 K: X -> {0, 1}은 상수함수가 아니죠.

이때 왜 상수함수가 아닌질 아직모르겠어요 1과2는 A의 원소이므로 K(1) = 1 , K(2) = 1 로 상수함수 아닌가요ㅜㅜ
(혹시 K: X->{0,1}의 0과 1이 공역이 아니고 치역인건가요?? 그래서 A의 원소대응값은 항상1이므로 치역인 0이없기때문에 상수함수가 아니다.
이렇게 생각하는게 맞는건지..)
(2) 말씀하신대로 A=empty 이면 K(x)=0 은 존재하지만 k(x)=1은 없으므로 전사함수가 아니다 // A={1,2,3}이면 K(x)=1 존재 , k(x)=0 존재하지않음
따라서 전사함수가 아닌경우가 존재한다.
혹 잘못 이해한점이 있으면 ㅠㅠ 설명좀 부탁드리겠습니다. 바쁘신 시간에 감사합니다.
좋은하루되세요
16/09/26 19:57
수정 아이콘
일단 일종의 낚시성 문제로 보이므로 상수함수의 정의에 대해 정확히 파보시는것을 추천합니다.

제가 이해한것이 맞다면
함수 K는 정의역 X와 공역 {0,1}사이에서 정의되어 있으므로 앞에 A고 뭐고 무슨말이 오든지 간에
상수함수가 아닙니다. K의 정의역은 X이기 때문이지요.....
글쓴이님이 생각하신것은 '함수 [L:A ->{0,1} , L(z)=K(z) , z는 A의 원소]는 상등함수이다.'입니다.
좋은하루되세요
16/09/26 19:59
수정 아이콘
(2)는 정확히 이해하신것이 맞는것 같습니다.
티어루프
16/09/26 20:25
수정 아이콘
두분 덕분에 1번문제는 이해한것 같습니다

감사합니다.
좋은하루되세요
16/09/26 20:12
수정 아이콘
2번. 같은 경우에는 귀류법(귀류법이 어려우시면 대우법)을 사용하는 아이디어가 편한 방법입니다.

집합 S에서 어떤 비가산 집합 T으로 전사하는 일대일 대응관계가 있는 [가산 집합] S가 있다고 가정하자.
S의 원소가 s1,s2,s3,.....,sn까지 모두 n개 라고할때,
대응되는 T의 원소 t1,t2,t3...,tn이 존재한다.
그러면 t1,t2,....,tn이 아닌 원소 t(n+1)에 대해서는 일대일 대응되는 원소가 S에 존재하지 않는다! [모순!!]

글쓴이께서도 [T는 비가산집합이므로 g: T->N(가산집합)에 일대일대응이 불가능하다. ]라고 감이 확오셨는데,
이걸 차근차근 설명해야합니다.
티어루프
16/09/26 20:32
수정 아이콘
답변에 감사합니다!

집합 S에서 어떤 비가산 집합 T으로 전사하는 일대일 대응관계가 있는 [가산 집합] S가 있다고 가정하자.
S의 원소가 s1,s2,s3,.....,sn까지 모두 n개 라고할때 <- 이부분에서 [가산 집합] 이기에 셀수있으므로 sn까지 있다고 할수있는거죠?
반면 비가산집합은 셀수없으므로 n개보다 많지만 셀수없기 때문에 t(n+1) 이 존재한다.
그러므로 일대일대응 불가능하므로 ~~~~ 이런식으로 모순을 쓰는게 맞는건가요?
바쁘신 시간에 질문에 답해주시느라 감사하고 죄송합니다. ㅠㅠ
좋은하루되세요
16/09/26 21:00
수정 아이콘
네 셀수 있기 때문에 n개라고 말할수 있는것 맞습니다.
티어루프
16/09/26 22:02
수정 아이콘
감사합니다.
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