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16/05/01 23:32
이게 정리하다보면 (a+n)(b+m)=k 꼴로 나올텐데 (n,m,k 다 정수로요.)
a,b가 정수라서 경우의 수가 많지 않으니 다 구해보면 될 것 같네요.
16/05/02 00:39
이것이 정녕 고1의 문제란 말입니까.............. 아이디어 캐치하는데 오래 걸렸네요.
(a^2+b)(a+b^2)=(a-b)^3이니까 (a^2+b)-(a+b^2)이 a-b로 나누어떨어지니까 a^2+b와 a+b^2은 각각 a-b로 나누어떨어지게 됩니다. 그러면 여기서 (a+b^2)=k(a-b)로 놓으면 a^2+b=(k+a+b-1)(a-b)가 되고 k(k+a+b-1)=a-b가 됩니다. 그다음에 이를 정리하면 (k-1)(a+k)=-(k+1)b가 되고 이때 a,b는 정수여야 하므로 k+1이 k-1로 나누어 떨어지거나, b가 k-1로 나누어 떨어져야 합니다. 사실 b가 k-1로 나누어떨어지는 경우는 잘 모르겠고요. 그러면 k+1이 k-1로 나누어떨어지므로, k+1-(k-1)=2도 k-1로 나누어떨어지고 그러면 k=-1,0,2,3이 가능하고 각각 가능한 k를 대입해보면 k=3일때 a=9, b=-6이라는 답안이 나옵니다. 흠 이 문제를 어떻게 고1 수준에서 풀라는 건지 사실 아직도 모르겠네요. 쉬운 풀이가 있다면 저도 좀 알려주세요...
16/05/02 01:34
일단 식을 전개한 후 b에 관한 식으로 적으면 2b^2+a(a-3)b+a(3a+1)=0이 됩니다.
b가 정수라는 건 위 방정식의 근이 정수이므로 근의 공식을 사용한 해에서 루트 안에 들어가는 값(쉽게 말해 판별식 D)이 제곱이 되어야 합니다. D:{a(a-3)}^2-4×2×a(3a+1)이고 이 D의 값은 제곱이 됩니다. D를 정리한 후 적절하게 인수분해하면 a(a-8)(a+1)^2 이 됩니다. (a+1)^2은 어차피 제곱이니 a(a-8)이 제곱이 되어야 합니다. 적당한 정수 t를 통해 결국 a(a-8)=t^2를 만족하는 a를 찾으면 되며 이 식은 (a-4)^2=t^2+16으로 변형이 가능합니다. * 자연수 a가 주어졌을 때, 5보다 큰 자연수 n에 대해 (n+a)^2-n^2>(n+1)^2-n^2>16이므로 a-4의 절댓값의 최대는 5가 됩니다. 이를 만족하는 a는 -1, 8, 9 뿐이며 맨 위 방정식에 대입하면 b의 값을 알아낼 수 있습니다. 제가 알아낸 값으로는 (a,b)=(-1,-1), (8,-10), (9,-6), (9,-21)이며 이 중 a+b가 가장 큰 값은 3입니다. (a=9, b=-6일 때)
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