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16/04/12 17:18
네근을 편의상 a, b, c, d 라 하면 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = 0
전개하면 x^4 - (a+b+c+d)x^3 + (ab + ac + ad + bc + bd + cd)x^2 - (abc + abd + acd + bcd)x + abcd = 0 a+b+c+d = 0, abcd = 1, ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 0은 명백히 근이 아니므로 주어진식을 x^4로 나누면 1+ 1/(X^3) + 1/(X^4) = 0, => 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = -1 ===> A 주어진식을 x^3로 나누면 X+ 1/(X^2) + 1/(X^3) = 0, ===> B 주어진식을 x^2로 나누면 X^2+ 1/(X) + 1/(X^2) = 0, ===> C (1/(a^3) - 1/(a^4) ) + (1/(b^3) - 1/(b^4) ) +(1/(c^3) - 1/(c^4) ) + (1/(d^3) - 1/(d^4) ) = 1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) + 1/(d^3) - (1/(a^4) + 1/(b^4) + 1/(c^4) + 1/(d^4) ) = 4 + 2 (1/(a^3) + 1/(b^3) + 1/(c^3) + 1/(d^3) ) (A이용) = 4 - 2 ( a+b+c+d + 1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/(d^2) ) (B이용) = 4 - 2 (1/(a^2) + 1/(b^2) + 1/(c^2) + 1/(d^2) ) = 4 + 2 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1/a + 1/b + 1/c +1/d) (C이용) = 2 + 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ) ( 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = -1 이므로) = 2 + 2 ( (a+b+c+d)^2 - 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)) = 2 으아.... 푸는 것보다 타이핑이 더 힘듬...
16/04/12 17:43
(준식) = Sigma (a_i-1)/(a_i^4) 로 쓴 후, a_i^4 = -a_i - 1을 이용하여
(준식) = Sigma (a_i-1)/(-a_i-1) = -4 + 2* Sigma 1/(a_i+1)까지 유도할 수 있습니다. x^4 + x+1 =0 -> (x-1)^4 + (x-1) + 1 =0 ( a_i +1 이 근) 전개하면, x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 3x + 1 = 0 여기서 x^4로 나누어주면 y^4 - 3y^3 + 6y^2 - 4y + 1 =0 은 ( 1 /(a_i+1) ) 을 근으로 갖습니다. 따라서 Sigma 1/(a_i+1) = 3이 되고 (준식) = -4 + 2*3 = 2 이렇게 하는 게 의도가 아닐까... 합니다
16/04/12 19:08
위에 사람들이 푼것처럼
(1/x^3-1/x^4)=y를 만족시키는 y에 대한 방정식을 세워보시면 y^4 - 2*y^3...이 나옵니다.
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