PGR21.com 배너 1

- PGR21 관련된 질문 및 건의는 [건의 게시판]을 이용바랍니다.
- (2013년 3월 이전) 오래된 질문글은 [이전 질문 게시판]에 있습니다.
통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2024/07/27 22:27:55
Name 카키스
File #1 11.png (36.0 KB), Download : 1474
Subject [질문] 수학 질문입니다.


고1 수학 수학(하) 함수단원 문제입니다.
문제 출처는 올림포스 고난도 문제집입니다.

문제와 해설을 같이 첨부하였습니다.

해설을 보면 Step1에서 함수 f가 일대일함수임을 먼저 보입니다.
그 이후에 fㆁf가 항등함수임을 보이는데요.

여기서 제가 궁금한 지점은
fㆁf가 항등함수임을 보이는데에 있어서, 함수 f가 일대일함수임을 왜 보여야 하는가? 입니다.
즉, Step1을 생략해도 되지 않냐 인 것이지요.

고견 부탁드립니다!

통합규정 1.3 이용안내 인용

"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.
법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
패마패마
24/07/28 00:39
수정 아이콘
수학 배운 지 오래돼서 확실하지는 않은데...
Step 1 마지막 결론의 대우 명제가 f(a) = f(b) -> a = b 잖아요 ... (가)

Step 2 3번째 줄에서 f(bf(a)) = af(b)이고 이걸 2번째줄 함수에 대입하면
f( f( af(b) ) ) = f( af(b) )란 말인데

여기서 (가)를 사용해야 f( f( af(b) ) ) = f( af(b) ) -> f( af(b) ) = af(b) 가 나와서
Step 2 4번째 줄이 성립하는 것 같습니다.

요약 : f 하나 벗기기 위해서 일대일함수 조건이 필요하다?
인듀어런스오라
24/07/28 10:29
수정 아이콘
6번째 줄에서 하나는 bf(a)여야 됩니다
패마패마
24/07/28 11:35
수정 아이콘
[f( f( af(b) ) ) = f( af(b) )란 말인데] 여기면 더 풀 필요하 없네요
급발진 죄송합니다...
24/07/28 01:08
수정 아이콘
(수정됨) 모자란실력으로 생각좀 해봤는데요
step 2에서는 양변에 함수f를 합성하면서 결론을 도출합니다.

근데 저렇게 양변에 추가로 합성함수를 만든다는것자체가, 일대일함수가 아니면 성립되질 않을것같습니다.
기억이 매우 가물가물하지만, 양변에 사칙연산을 한다던가 미/적분을 한다던가 하는것은 예외없이 성립하지만
함수를 합성하는건 반드시 성립하지는 않았던것으로 기억합니다...

합성함수 fog가 성립되려면 f의 치역이 g의 정의역에 포함되어야한다고 배웠던거같은데
만약 g가 일대일함수가 아니라면, f는 정의역에서 같은숫자가 중복되어 나오게됩니다. 따라서 함수가 성립이 안되네요.

그래서 f가 먼저 일대일함수라는걸 보여주고 그뒤에 양변에 f를 합성하는 등식을 성립시키는 도구로 이용한 것 같습니다.
수학선생이아니라 전문적인 답변이 아니라 죄송합니다 (__)
인듀어런스오라
24/07/28 10:19
수정 아이콘
생각하신대로 없어도 됩니다
패마패마
24/07/28 10:23
수정 아이콘
혹시 유도과정 알려주실 수 있을까요?
인듀어런스오라
24/07/28 10:25
수정 아이콘
어...그냥 step1을 없애고 그 아래 step2부터 시작해도 풀이가 맞다는 뜻입니다
임의의 '실수' 부분만 양수로 고치면 좋을 것 같네요
패마패마
24/07/28 10:28
수정 아이콘
제가 풀땐 일대일함수 조건이 필요해서요...
다른 풀이방법도 궁금하더라구요
패마패마
24/07/28 10:33
수정 아이콘
f o f ( af(b) ) = f ( af(b) ) --> f ( af(b) ) = af(b)
여기서 일대일함수 조건이 필요했습니다
(합성합수 기호가 헷갈려서 좀 틀려도 이해부탁드릴게요...)
인듀어런스오라
24/07/28 10:40
수정 아이콘
일단 f o f (af(b) ) 와 f (af(b)) 는 다르구요,
f ( af(b) ) 와 af(b) 도 다릅니다
ab 바꿀 때 잘못 바꾸신 것 같네요
패마패마
24/07/28 10:41
수정 아이콘
그럼 해설지 풀이 자체가 틀렸다는 말씀이신데요...?
오라님 풀이를 써주시죠
인듀어런스오라
24/07/28 10:44
수정 아이콘
앞에 step1없어도 step2부터 그대로 쓰면 맞는 풀이에요
패마패마
24/07/28 10:46
수정 아이콘
아니 step 2 푸는 과정에 일대일함수 조건이 들어간다니까요?
패마패마
24/07/28 10:46
수정 아이콘
임의의 두 양수 a b 에서 f( af(b) ) = bf(a) 니까 a b 바꿔도 성립해서 f(bf(a)) = af(b)가 나오는거죠 (Step 2 3번째줄)
패마패마
24/07/28 10:48
수정 아이콘
step 2 3번째에서 4번째줄로 넘어갈때 필요합니다
인듀어런스오라
24/07/28 10:51
수정 아이콘
안 필요합니다만, 그냥 그렇게 생각하세요 뭐 중요합니까
풀이에 f f ( af(b) ) = f( a f(b) ) 로 적혀있지 않습니다
패마패마
24/07/28 10:52
수정 아이콘
인듀어런스오라 님// 풀이가 맞았다는 말하고 틀렸다는 말하고 동시에 하시는데 말입니까 방구입니까 크크
풀이 따로 써서 보여주시던가, 갈길 가세요
패마패마
24/07/28 10:56
수정 아이콘
인듀어런스오라 님// 그니까 일대일 함수 조건 없이 거기서 양변에 f 어떻게 벗길거냐구요 크크
패마패마
24/07/28 10:51
수정 아이콘
f ( af(b) ) 와 af(b) 도 다릅니다
이거 바로 같다고 한게 아니라 식 유도해서 도출한거에요... Step 2 4번째줄이 아예 틀렸다는 말인데 풀이 그대로 따라가면 맞다는 말은 앞뒤가 안맞아요
인듀어런스오라
24/07/28 11:04
수정 아이콘
f(t)= 1/t를 예로 들 수 있고,
그리고 f(af(b)) 가 af(b) 랑 같다는 결과가 나오면 안되는데요
패마패마
24/07/28 11:23
수정 아이콘
헉... 죄송합니다 급발진했네요
24/07/28 11:24
수정 아이콘
(수정됨) 문제를 살짝 바꿔서 생각해보시면 됩니다.

위의 문제에서 0보다 크다라는 조건을 모두 0보다 크거나 같다로 바꿔보시면......
step1에서 f가 일대일함수임을 증명할수 없고, [f(a)가 0일수도 있으니, 함부로 양변을 f(a)로 나눌수 없죠]
step2에서 af(b)를 임의의 수 t라고 가정할수도 없습니다. [f(b)가 0일수 있으니 af(b)가 임의의 수라고 단정 불가]

결국 굳이 따지면 일대일함수는 af(b)를 임의의 수t로 치환할때 쓰는 조건인데......,
문제가 위와 같은 반례가 없도록 설계되어 있으므로, 굳이 증명하지 않아도 구렁이 담넘어가듯이 넘어가게 됩니다.
24/07/28 12:54
수정 아이콘
문제조건에 함숫값은 모두 양수로 정의했으므로 나눗셈은 성립합니다.
목록 삭게로! 맨위로
번호 제목 이름 날짜 조회
179454 [질문] 일본 유후인 여행 조언 부탁드립니다. [22] 콩순이2947 25/01/23 2947
179453 [질문] 폰 선물을 하려고하는데 S23 S25중에 고민중입니다. [35] 리들3835 25/01/23 3835
179450 [질문] 입주 시 탄성코트, 나노코딩 등 의견 문의 [5] 자너프2247 25/01/23 2247
179449 [질문] 철권태그1 게임할 조이스틱 요청입니다 [15] 틀림과 다름2237 25/01/23 2237
179448 [질문] 헬창님들 맨손운동으로 어디까지 몸만들수 있나요? [28] 기술적트레이더4269 25/01/22 4269
179447 [질문] 구운계란의 노른자만 가지고 맛있는 음식 가능할까요 [15] 앗흥3839 25/01/22 3839
179446 [질문] ISA 계좌 서민형 전환에 질문있습니다. [1] 믿음사랑평화3106 25/01/22 3106
179445 [질문] AI 이미지 제작에 대해 잘 아시는분? [1] 하이퍼나이프3087 25/01/22 3087
179444 [질문] ESG 분야 취업 고민 조언해주시면 감사하겠습니다 [7] sionatlasia3046 25/01/22 3046
179443 [질문] 연말정산 시 장기주택저당차입금 소득공제 질문 [6] 라이너스2838 25/01/22 2838
179442 [질문] 윈도우 부팅만 안되면 재설치가 답인가요? [3] 웸반야마2612 25/01/22 2612
179441 [질문] LOL 탱포터 추천 부탁드려요. [9] 속보2306 25/01/22 2306
179440 [질문] 엔카로 중고차 사보신분 계신가요? [13] 아스날2728 25/01/22 2728
179439 [질문] 맥북으로 주식 매매 하시는 분들 계신가요? [3] LG의심장박용택2916 25/01/22 2916
179438 [질문] 쉐프들은 전동거품기를 안 쓰나요? [19] 꽃비3987 25/01/21 3987
179437 [질문] 발전소나 전력망 관련 투자 공부 조언 [4] 깃털달린뱀2588 25/01/21 2588
179436 [질문] 남자 올인원 스킨케어 제품 추천 부탁드려도 괜찮을까요?? [32] 애기찌와3441 25/01/21 3441
179435 [질문] 아래 질문과 유사한 설 연휴때 부모님 모시고 경기도 근처 다녀올만한 곳 [9] Sebastian Vettel3358 25/01/21 3358
179434 [질문] Swift 프로그래밍 질문입니다 [3] slipzealot2599 25/01/21 2599
179433 [질문] 야식으로 먹을 맛있는 단백질? [35] Grundia2897 25/01/21 2897
179432 [질문] 설 명절 전라도 여행 코스 추천 부탁드려 봅니다. [13] Red Key2452 25/01/21 2452
179431 [질문] 연극 추천 부탁드립니다. [9] 먼산바라기2267 25/01/21 2267
179430 [질문] 위고비 처방 받으신분?? 처방제한 있나요? [10] 본좌2578 25/01/21 2578
목록 이전 다음
댓글

+ : 최근 1시간내에 달린 댓글
+ : 최근 2시간내에 달린 댓글
맨 위로