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Date 2022/09/28 15:30:16
Name veteus
Subject [질문] 퀴즈> 여섯자리의 숫자 찾기 (수정됨)
또 퀴즈입니다.  이건 숫자만 나오는 거라 재미가 없어서 유머에는 어울리지 않을것 같아요.

서로 다른 여섯개의 숫자로 구성된 어떤 여섯자리숫자가 있다.  (x라 하자)

이 숫자에 2, 3, 4, 5, 6을 각각 곱해도 여섯자리수가 나온다.

뿐만아니라 결과물의 여섯자리 숫자는 최초의 x와  배열은 다를지라도 구성숫자는 항상 똑같다.

(예를 들어 최초숫자가 123456  이었다면 결과물은 356421 이런 식이라는 뜻입니다.  물론 이 숫자는 틀린 답입니다.)


숫자 x를 구하시고 논리적인 이유를 설명해 주세요..  

(그냥 이 숫자가 곱해보니 조건에 들어맞는다 가 아닌 이런 이유로 해서 이렇게 나왔다.. 가 있어야겠죠)
(물론 어느 정도의 추측과 가정은 허용됩니다.)













>저는 이런 방식으로 풀었습니다.

우선 한가지 가정을 했습니다.  x = abcdef 라 하면  2, 3, 4, 5, 6을 곱했을 때 자리의 배열은 바뀌지만 원순열 꼴로 돌것이다..
라고 가정했습니다.  즉  몇을 곱했는지는 모르지만   cdefab 꼴은 가능해도  cedabf는 안 될 것이다.. 라구요..

첫번째 자리는 무조건 1입니다.   (2면 5이상 곱했을때 7자리로 변하죠)   따라서 1bcdef 꼴일 것입니다.

이제 Nx = bcdef1 일 것입니다. (N은 2~6이겠죠),     마지막 1이 핵심인데 구구단에서 1로 끝나는 건 (3,7), (7,3), (9,9) 입니다.

N x f의  일의 자리가 1인 것이므로 N= 3, f=7 밖에 없습니다.  

x = 1bcde7 ,3x = bcde71     3 x 7 = 21 에서 2가 올라가므로 2 + 3e = 7, 3e = 5, 3 x 5 = 15 이므로 e= 5

x= 1bcd57, 3x = bcd571       3 x 5 = 15 에서 1이 올라가므로 1+ 3d = 5 , 3d = 4  , 3 x 8 = 24이므로 d = 8

x = 1bc857, 3x = bc8571       3 x 8 = 24에서 2가 올라가므로 2+3c = 8  3c = 6,  c=2

x = 1b2857, 3x = b28571       3 x 2= 6에서 자리올림없음 3b = 2 ,  3 x 4 = 12 이므로  b = 4

x = 142857   이렇게 풀었습니다.  

x = 1bcde7 에서 7 x2 = 14, 7x 3 = 21, 7x4 = 28, 7x5 = 35, 7x6 = 42 이므로 7,4,1,5,8,2 의 배열이겠다라는 걸 짐작할 수도 있겠죠.





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22/09/28 15:33
수정 아이콘
1/7인 142857이 저 성질이란건 아는데 거꾸로 이유를 물으니까 모르겠네요
22/09/28 15:34
수정 아이콘
(수정됨) 예전에 문제적 남자에 나왔는데 거기서도 논리적인 대답은 못하더라구요. 그냥 1/7이 그런 성질이 있다, 그냥 대충 이럴 것 같아서 해봤다 (수학적 통찰력이 있는 친구들이 주로 이러죠). 물론, 저같은 사람은 그냥 싸매고 풀어야죠.
2'o clock
22/09/28 15:52
수정 아이콘
앞자리가 1인 것은 예상할 수 있습니다. 정답을 보고 이유를 거꾸로 찾다 보니,
2를 곱하고, 3을 곱하고, 4를 곱하는 것은 x만큼 커진다고 생각하면 됩니다.

그러면 최종 7자리에서 균일하게 커지는 숫자를 생각하면 1000000에서 6으로 나누거나 7로 나누거나 8로 나누거나 9로 나눴을 때
해당 조건을 만족하는 7로 나눴을 때인 142857.xxx 뿐이라는 것을 귀납적으로 알 수 있겠네요.

요컨대, 2를 곱하고 3을 곱하고 4를 곱한다고 생각하지 마시고, x에 x를 계속 더하는 방식으로 5번까지 더했을 때 1000000을 넘지 않으려면,
어떻게 균일하게 숫자를 배분할까 생각하면 될 것 같습니다.
22/09/28 15:57
수정 아이콘
음.. 6배를 해도 여섯자리 수이니까 그 6배한수의 맥시멈에서 거꾸로 나눠나간다..는 말씀이신 것 같네요. 답을 알고 푼 느낌이 너무 듭니닷!!
2'o clock
22/09/28 16:04
수정 아이콘
여섯자리가 유지되어야 하니까 999999로 해도 되기는 합니다.

그냥 편의상 1000000 나눈다고 생각하면, 5로 나눠도 앞자리가 2가 됩니다. 앞자리가 2가 되면 6배하면 당연히 일곱자리가 되겠죠.
사실 6으로 나눠도 166666이 되고 166666 (166666차이) 333332 (166666차이) ..... -> 999996이 되어 6자리가 되는 조건은 세잎이 되지만,
서로 다른 숫자라는 조건은 만족하지 않으므로 탈락이고요,

그 다음 7로 나누면 142857이 되고 142857 (142857차이) 285714 (142857차이) .... -> 857142가 되어 6자리가 되는 조건도 세잎이 되고,
서로 다른 숫자라는 조건도 만족할 수 있습니다.

제 풀이의 요지는 2,3,4,5,6을 계속 곱하는 것을 그냥 x만큼 균일하게 증가시킨다고 생각하는 것입니다.
22/09/28 16:09
수정 아이콘
그니깐 999999로 해야 하는 걸 편의상 10000000으로 했더니 마침.. 답이 나왔다....는 거죠. 인정해 드리겠습니다.
2'o clock
22/09/28 16:06
수정 아이콘
답을 알고 푼 느낌은 맞습니다. 흐흐
22/09/28 16:09
수정 아이콘
그니깐요.. 하필 1/7이 나왔네요.. 어이쿠..
넌이미죽어있다
22/09/28 16:03
수정 아이콘
그냥 brute force like하게 하자고 하면..
앞자리 1 확정.
1을 만들어 낼 수 있는 끝자를 생각해 보면 7만 나옵니다.
1, 7 이 만들어졌으니까 7로부터 곱해서 파생되는 숫자는 4,1,8,5,2
그렇게해서 6자리 숫자가 만들어졌으니... 대충 답이 나오죠.
22/09/28 16:11
수정 아이콘
엇. 제가 바로 이 방식으로 풀었습니다. brute force라뇨.. 엄청 논리적인데..
로즈엘
22/09/28 16:55
수정 아이콘
(수정됨) 1/7인것은 알고 있었으니 순환소수 관련해서 여러가지 찾아보니 몰랐던 내용을 알게되네요.
1/x 구조에서 순환소수 개념을 이용하려면 순환마디가 6개가 되어야하는데, 보다가 관련 내용은 단시간 봐서 이해하기 어렵네요.
순환마디가 6인 조건이 나오고, 그 순환소수가 첫번째조건이 시작하려면 경우의 수가 확 줄어드는거 같네요.
22/09/28 17:09
수정 아이콘
(수정됨) 친구에게 이 문제를 내었더니.. 스윽.. 보더니.. 대충 1000000/7의 정수부문 같다는 겁니다. 이유를 물었더니.. 1/7에서부터 시작하면 되는데 6까지 곱하는게 힌트랍니다. 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 이 모두 무한소수라는 거죠. 0.abcdefabcdefabcdef.... 이렇게 반복되는데 10을 곱하면 a.bcdefabcdefa.. 이런 식이 될 것이고 백, 천, 만 곱해 나가면 한자리씩 밀려 나간 다는 거죠. 그러므로 10/7 = 1 + 3/7 이므로 bcdefa 는 abcdef의 3배일거랍니다. 100/7 = 14 + 2/7 이니까 cdefab는 abcdef의 두배.. 이런식으로 천, 만, 십만 백만까지 예측을 했고 그것은 정확히 맞았습니다. 무서운 놈입니다.. 이 친구 멀리 하기로 마음먹었습니다.
은때까치
22/09/28 17:06
수정 아이콘
그러게요. 보자마자 1/7이네 생각을 하긴 했는데 왜? 라고 물으면 예쁜 증명이 안떠오르긴 하네요...
후치네드발
22/09/28 19:55
수정 아이콘
핵심 포인트는 위 조건을 만족하는 6개의 미지수 위치가 중복되지 않는다는 명제를 증명하는 것 같습니다.
이걸 증명해야 이 수가 원순열 구조를 가지고 있다는 전제도 증명이 되겠죠.
가령 f를 0으로 고정했을 때 위 조건을 만족하는 abcde0 가 존재하는가? 라는 질문에 대답하려면 단순 대입 말고 다른 풀이가 있을지..

만약 위치가 중복될 수 없다는 전제만을 증명할 수 있다면 이 숫자가 7배수 순환만 성립할 수 있다는 걸 찾아내는 건 비교적 쉬운 일 같습니다.
[1bcdef] * 열 [1 2 3 4 5 6] = 을 했을 때 열의 값이 중복되지 않는 6x6 매트릭스를 만드려면
0과 1은 될 수 없고 짝수는 x5로 순환하니까 탈락. 나머지 3,7,9 중에서 x(2,3,4,5,6) 의 각 결과값에서 일의 자리에 1이 올 수 있는 경우는 7이 유일하니까 (3의 경우 x7에서 1, 9의 경우 x9에서 1) 각 곱셈 결과값의 일의 자리는 7 4 1 8 5 2 이 됩니다. 이것은 또한 각 자리의 미지수가 되겠죠.

이 숫자들을 오름차순으로 나열하면 1,2,4,5,7,8 이 되고 이것은 1부터 시작하는 십만 단위의 미지수가 되므로 6x6 매트릭스는
[ 1 x x x x 7
2 x x x x 4
4 x x x x 1
5 x x x x 8
7 x x x x 5
8 x x x x 2 ]
가 될 겁니다.

여기서 이 매트릭스의 값이 원순열 구조라고 가정하면 일의 자리 수는 십만 자리 수의 바로 앞자리 수가 되므로 첫 행에서 7 다음이 1 이라는 것을 유추할 수 있고, 3배수에서 1 다음 수는 4, 같은 논리로 2,8,5,7 을 순서대로 나열하면 714285 가 되고, 십만 자리 수를 1로 맞추면 142857 이 나오네요.

원순열 구조를 가정할 수 없다면 첫 행의 만 자리 수를 4 또는 5로 고정할 수 있고 (x3이 10 이상 20 이하, x5가 20 이상인 수)
5의 바로 뒤 숫자는 모든 곱셈에서 십의 자리 숫자가 되어야 하므로 7또는 8이 됨 (넘김 수를 받지 않을 경우 5 또는 0이 나오므로)
각 행이 첫 행의 배수라는 점을 이용해서 노가다 하다 보면 식을 만족하는 유일한 정답을 찾을 수 있겠네요.
22/09/29 09:05
수정 아이콘
증명이 어려우니 그냥 원순열이라는 가정을 한거죠. 수학올림피아드나 뭐 이런 곳이라면 당연히 증명도 풀이과정인 거지만요. 암튼 후치네드발님도 무서운 분이시네요.... 멀리 해야겠습니다. (농담인거 아시죠)
후치네드발
22/09/29 14:08
수정 아이콘
흐흐 재밌는 퀴즈였습니다. 이런거 좋아하니까 자주 출제해주시길
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