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Date 2020/10/28 10:56:20
Name lck우승기원
File #1 입델.png (5.1 KB), Download : 0
Subject [질문] 수학) 입실론 델타 증명관련 질문드립니다.


다음의 네 문제를 입실론 델타로만 증명해야 하는데요. (샌드위치 공식은 이용 가능)

일단 최대한 델타를 입실론의 상수배, 변수배로 나타냄으로써 증명하려고 합니다.

1번의 경우 나름 풀었는데 |x-3||x-1|<ε 로 해서 |x-3|<ε/|x-1| 이므로 δ=ε/|x-1| 이다, 라고만 해도 증명이 되는지 모르겠네요.

2번의 경우 적절한 δ값을 어떻게 설정해야할지 모르겠고

3번의 경우 x가 무한대로 가다보니까 이러한 증명방법이 소용이 없더라구요.(샌드위치를 해야하나 싶습니다.)

4번의 경우는 더더욱 모르겠네요..

입실론 델타 너무 어렵습니다ㅜ

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추대왕
20/10/28 11:37
수정 아이콘
대학교 1학년 미적분학 막 배우기 시작한 학생인 것 같네요....
고생 많습니다.

1. 과 같이 식을 쓰면 안됩니다. δ가 x에 종속되면 안될 것 같습니다.
지금 수업 들어가기 전이라 1번만 한번 해봤는데
δ=min(1, ε/3) 으로 잡으면
|x-3|<δ ≤1 이기에 -1 ≤ x-3 ≤ 1 , 1 ≤ x-1 ≤ 3, |x-1|≤ 3
|x-3|<δ ≤ ε/3 이므로 |x-1||x-3| ≤ 3 * (ε/3) = ε
입니다.
인내의고대장고
20/10/28 11:38
수정 아이콘
#1. 써놓으신 대로 하면 안되는 이유는, 델타에 영향을 주는 값은 입실론과 lim값을 찾는 위치(여기서는 3)만 있어야 하기 때문인데요,
써놓은 곳에는 델타가 x값에 영향을 받기 때문에 안됩니다.
|x-3| < delta이면 |x-1| < 2+delta 이니까 이걸 잘 이용하시면 되겠습니다

#2. 얘는 |x-7| < epsilon * 4 * |x-3| 이 되게 delta를 찾아야 하니까
delta를 epsilon*12 와 1 둘 모두보다 작은 값으로 잡으면 될 겁니다

#3,4. 정의가 조금 달라지는 걸 아셔야 됩니다.
- 임의의 epsilon에 대해 적당한 K 가 존재해서 "x > K 이면 |f(x)-L| < epsilon 이다."
- 임의의 N에 대해 적당한 delta가 존재해서 "|x-a| < delta 이면 f(x) > N 이다."
정의만 아시면 K 나 delta는 대충 잡아도 대부분 따옴표 식을 만족시킵니다
lck우승기원
20/10/28 13:30
수정 아이콘
감사합니다. x에 따라 델타 값이 변할 수 있기 때문에 δ< ε/3 라고 함으로써 이를 해결하는 거군요.
δ= min(1,ε/3)을 잡을 줄 아는 것이 핵심인거 같네요.

완벽히 이해되진 않지만.. 감사합니다.
lck우승기원
20/10/28 13:57
수정 아이콘
#1은 윗분과 인내의고대장고님 덕분에 대략이해가 갑니다. 감사합니다.

이를 바탕으로 #2를 해보았는데 인내의고대장고님과 약간 다른 부분이 나온걸 보면(저는 delta = min(1,10ε)이 도출되었습니다ㅠ) 아직 한참 고민해야할 거 같습니다.
인내의고대장고
20/10/28 14:01
수정 아이콘
자세한 숫자는 별로 안 중요하니까요
부등식이 맞게 유도되면 그걸로 충분합니다
lck우승기원
20/10/28 14:05
수정 아이콘
정말 감사합니다.
어렵긴 하지만 그만큼 고민하는 과정과 문제를 풀었을 때 쾌감이 있는 학문인 것 같습니다.
추대왕
20/10/28 15:39
수정 아이콘
퇴근전에 잠깐 시간이 남아서 추가로 언급하자면
입실론 델타 기법은 극한의 수렴/발산을 주장하고자 하는 사람(A)이 누군가(B)에게 설득하는 상황이라고 이해하면 좋습니다.

예를들어 1의 결과를 주장하는 A, 반대하는 B가 있는 상황을 가정합니다.
A : x의 값을 내가 원하는만큼 3에 가까이 갈 수 있다면, f(x)의 값을 얼마든지 0에 가깝게 만들수있어.
B: 아닌것 같은데. f(x)와 0의 차이를 0.3보다 작게 할수있어?
A: 물론이지. x와 3의 차이를 0.1보다 작게하면 가능해.
B: 그럼 f(x)와 0의 차이를 0.00003보다 작게할수 있어?
A: 물론이지. x와 3의 차이를 0.00001보다 작게하면 가능해.

이런식의 흐름을 생각하시면 이해하시기가 좀 수월하지 않을까 생각합니다.
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