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통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2019/09/19 14:54:33
Name StondColdSaidSo
Subject [질문] 수학 두문제 부탁드립니다.
1. 두 양수 a, b 에 대하여 a + 4b = 3ab 일때 a+b 의 최솟값을 구하여라

2. 두 집합 A :   1 < x < 4
              B :   x^2 - 2kx + 3 < 0
     에 대하여 B가 A에 포함되도록 하는 실수 k 값의 범위를 구하여라

이렇게 두문제 입니다.

1번은 감을 못잡겠구요

2번은 B의 2차방정식의 두 근이 1보다 크고 4보다 작아야 한다 이렇게 풀었는데,
혹시 허근이 나오면 공집합처리가 될 테니까 무조건 성립한다고 보아 판별식을 제외하고
근의 분리로만 풀이해본 결과 답이 1 < k < 6/19  이렇게 나왔거든요
근데 답에는 -1 < k < 6/19 라고 되어 있어서 의아하네요..

답변에 미리 감사드립니다.

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19/09/19 15:05
수정 아이콘
1번은 a+b=x 로 놓고 식을 풀면 3b^2 + (3-3x)b + x = 0 입니다. b의 근이 존재하므로 (3-3x)^2 - 12x >= 0
인수분해하면 (3x-5)^2 >= 16, 3x-5 >= 4 혹은 3x-5 <= -4 , 앞의 경우 a=2, b=1일때 x=3 / 뒤의 경우 a=2/3, b=-1/3일때 x=1/3
a,b가 양수이므로 답은 3입니다.
StondColdSaidSo
19/09/19 15:10
수정 아이콘
감사합니다 명쾌하게 이해되었습니다.
오대감
19/09/19 15:41
수정 아이콘
1번은 기본적인 산술기하 문제입니다.
주어진 조건의 양변을 ab로 나누면 1/b + 4/a = 3
3(a + b) = (1/b + 4/a)(a + b) = a/b + 4b/a + 5 이고 여기서 산술기하를 적용하면 a/b + 4b/a ≥ 4 이므로
3(a + b) ≥ 9
따라서, a+b 의 최솟값은 3
등호성립조건은 a/b = 4b/a 이므로 a=2, b=1 일 때 성립.

2번은 답이 이상한 듯 합니다만.
제가 풀어보니 -√3 ≤ k ≤2 가 나옵니다.
StondColdSaidSo
19/09/19 16:36
수정 아이콘
감사합니다 2번은 혹시 어떻게 접근하셨는지 알 수 있을까요?
오대감
19/09/19 16:51
수정 아이콘
(수정됨) f(x) = x^2 - 2kx + 3 이라 하면,
y = f(x) 가 허근이나 중근을 가지는 경우 (D/4 ≤ 0), 조건을 만족하구요.
y = f(x) 가 서로 다른 실근을 가지는 경우 (D/4>0), 조건을 만족하기 위해
중심축이 1과 4 사이에 있어야 하며 (1 < k < 4),
경계값들이 0 이상이어야 합니다. ( f(1) ≥ 0, f(4) ≥ 0 )

풀어보면 전자의 경우 -√3 ≤ k ≤ √3, 후자의 경우 √3 < k ≤ 2 이므로
종합하면 -√3 ≤ k ≤ 2 가 나옵니다.
StondColdSaidSo
19/09/19 17:37
수정 아이콘
감사합니다!!
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