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13/10/06 08:39
한마리당 6개의 다리를 가진, 개미가
5마리있으니까요 5x6은 한마리당 5개의 다리를 가진 개미가 6마리있다를 표현하는 곱셈식이라는 게 이 문제의 진위판별 논리죠 물론 경험적으로든 수학적으로든 바꾸어도 되지만요
13/10/06 08:43
수준 미만의 선생이네요... 수업시간에 똑같은 문제를 알려줬던게 아니고서야.. 6*5와 5*6이 다르다니...
13/10/06 08:43
6마리*5개라고 쓴게 아니면 절대 말이 안 되는겁니다. 애초에 사칙연산 배울때 순서 바꿔도 된다고 배우고, 그것에 예외가 있다는걸 고1에 가서나 배우는데요.
13/10/06 09:09
궁금해서 질문드리는데요. 사칙연산에 순서를 바꾸면 안되는 예외가 어떤 경우인가요?
제 기억엔 무한의 개념이 들어가기 전에는 없는데 고1 때 그런것도 배우나요? 다른경우가 있는건지.. 기억이 가물가물해서요;;
13/10/06 08:53
5개x6마리라고 쓴것도 아닌데요? 그런데 이게 말이 아주 안되는게 아니라구요?? 5x6을 5마리x6개라고 이해해서 썼을수도 있는거자나요. 그게 왜 틀린거죠?? 저기 답안만 놓고봤을때 문제가 될게 없어보이는데요.
13/10/06 08:55
사진에 짤려 있는 설명이 더 있어야 알 수 있을것 같습니다
만약 사진에 짤린 설명이 개미 6마리에 다리가 5개라고 써 있으면(그럴리가 없을것 같긴한데;;;) 틀렸다고 채점하는게 맞을것 같고 그게 아니고 그냥 개미 5마리에 다리가 6개라고 이유를 썼다면 맞는거죠;;; 저게 어떻게 틀렸다고 채점 할 수 있나요;;;
13/10/06 09:13
실제로 어떤 법칙이 정형화 되어있어서 6X5는 맞고 5X6이 틀리다고 해도
초등학교 교육에서는 저래서는 안된다고 보는 1인인지라.. 창의적인 발상을 막고 있는 느낌이 물씬 들어서 거부감이 드네요 (물론 6X5=5X6이 창의적이라는 소리가 아닙니다)
13/10/06 09:24
9번에 2번 이원목적분류표에 6x5로만 써놔서 그거대로만 채점해야 한다면야 뭐..
근데 저같으면 이원목적분류표에 6x5 5x6 다리6개가 5마리있어서 6을 5번 더해서 등등 으로 써놓고 맞게 해줄겁니다 그건그렇고 9번에 1번은 답이 맞는데 왜 세모야
13/10/06 09:56
저희 학교 같은 경우에도 저런경우를 대비해서..
서술형 답안카드는 항상시험 후에 제출하고.. 수행평가든 정기고사든 서술형 답안 카드랑 유사답안 양식에.. 논리적으로 문제가 없으면 정답인정을 꼭 끼워넣기는 하는데.. 윗 사진은 좀 정말 그러네요..
13/10/06 09:31
해석 방법에 따라 둘다 맞을 수 있죠.
일단 6x5은 개미 하나의 다리가 6개이고 그것을 5배한 것으로 볼 수 있고, 5x6은 개미의 다리를 (좌상다리, 좌중다리, 좌하다리, 우상다리, 우중다리, 우하다리) 같은 식으로 본 다음에 각각의 다리는 5개씩 있으므로 5x6으로 생각할 수 있다고 봅니다. 물론 보통 그렇게 보지는 않겠지만..
13/10/06 09:44
와이프에게 물어보니, 가르치는 수학이론에 위와 같은 이론이 있다고 하네요.. 제대로가르치고 틀렸다고하면 문제되지는 않을듯 합니다.
13/10/06 09:59
위에 언급된 동수누가 이론이 맞는 것 같습니다. 기본적으로 '같은 개수를 더해가는 것'이 그 방법론인데, 문제에 주어진 대로라면 5*6 (=5+5+5+5+5+5) 가 아니고 6*5 (=6+6+6+6+6) 으로 푸는 게 맞는 것 같습니다.
13/10/06 09:55
그런데 후에 배운다고 쳐도... 그럼 그 학생은 어라 이때는 틀렸는데 왜 지금은 맞지? 의구심을 생기게 하는거 아닌가요? 분명 틀렸다고해서 내가 틀렸구나 잘못알았구나 라고 생각했는데 얼마 지나니 맞다고 그러고... 늦게 배우든 뭐든간에 맞다면 맞다고해야죠.
예를들어서 서울특별시가 맞는표현이다 라고 가르치고 서울시라고 썼을때 틀렸다고 하구선 얼마 있다가 서울시도 맞다라고 하면...
13/10/06 10:00
답만 맞으면 되는 교육이 아니라면, 과정과 이유도 제대로 이해하고 있는지를 평가해야죠. 그걸 위한 서술형 문항이구요. 6*5나 5*6이나 똑같으니 무슨 상관이냐고 할 것 같으면 구태여 (2)번 문제를 낸 의미가 희석되죠.
13/10/06 10:05
곱하기는 초등학교 2학년 수준에서 동수누가로 표현되는데 5 x 6은 5를 6번 더한 것이고 6 x 5는 6을 5번 더한 것입니다. 이 둘은 수학에서 엄연하게 다르고, 산수를 가르치는 것이 아니라 수학을 가르치는 것이기 때문에 저 문제 풀이는 틀렸다고 할 수 있습니다
현행 초등학교 교육과정 상에서 원하는 수학 능력은 단순 곱셈 연산을 하는게 아니라 덧셈의 원리를 이해하는 것입니다. 저런 식의 문제 풀이는 학교에서 수업에 집중을 안 하고 그냥 학원에서 배워왔다고 간주하기 때문에 틀렸다고 해도 할 말은 없습니다. 보통 세모를 주긴 하지만요 오해는 없으시길 바랍니다
13/10/06 10:05
동수누가를 배웠고 그것을 아는지 알아보기 위한 시험이었나 보죠. 문제 자체가 5 곱하기 6을 적는 문제가 아니라 왜 그렇게 되는지 설명하는 문제니까요. 교사에 따라서는 5곱하기6을 왜 해야 하는지 설명 안 했다고 틀렸다고 할 수도 있습니다. 덧붙이지면 단순히 곱셈식을 적은 것이 아니라 동수누가의 개념을 알고 있다는 것이 드러나는 설명이 있었다면 정답처리 되었을 겁니다.
13/10/06 10:08
위에서도 몇 번 나온 얘기지만, 해당 과정 중에서는 후자의 접근이 맞는 접근이니까요.
고등학교 수학시험 서술형 문제에서 로피탈을 쓰는 걸 허용할 게 아니라면 이것도 틀리다고 하는 게 잘못되지 않았습니다.
13/10/06 10:14
1번 다리6개+다리6개+다리6개+다리6개+다리6개 = 6 * 5 = 30
2번 개미5마리+개미5마리+개미5마리+개미5마리+개미5마리+개미5마리 = 5 * 6 = 30 라고 한다면 tyro // 문제에서 개미 다리를 기준으로 제시했기 때문에 2번 풀이는 맞지 않습니다. 반대로 문제가 개미 숫자를 제시하고 총 다리 숫자를 구하라고 했을 때는 2번 풀이가 맞고 1번이 틀리게 됩니다. 이 둘을 구별할 수 있는지 확인하는 것이 저 문제의 진짜 목적입니다.
13/10/06 10:18
저는 문제를 총 다리 수를 구하라는 것으로 문제를 이해했고, 말씀하신 표현을 빌리면 저는 이렇게 생각했습니다.
2번 좌상다리 5개+ 좌중다리 5개+ 좌하다리 5개+ 우상다리 5개+ 우중다리 5개+ 우하다리 5개 = 30
13/10/06 10:23
문제는 단순해보이지만 초등학교 2학년 수준에게는 매우 난해한 내용입니다. 아마 초임 교사분이 낸 문제일 듯 합니다.
요즘은 가르치는 단계에서부터 저 둘을 구분해서 가르칩니다만, 그렇다고 해도 틀린 다음에 피드백이 없다면 무책임한 교사라고 할 수 있겠죠.
13/10/06 10:30
뭐 그렇죠. 피드백을 위해서 저렇게 "엄격하게" 채점했다고 생각합니다. 저 시험의 경우에는 기말고사로 보이지는 않고(최근 시험지라는 가정 아래.. 지금은 시험 치는 기간이 아니기도 하고, 중간 고사 없어진 학교가 더 많기도 해서...) 단원 형성평가 정도로 보이는데... 그래서 저렇게 개념을 묻는 어려운 문제를 내고 엄격하게 채점했다고 봐야겠죠.
13/10/06 10:19
수학은 계열을 매우 중시하기 때문에 곱셈은 동수누가를 토대로 지도합니다. 동수누가 개념을 모른 상태로 보면 5x6과 6x5의 차이를 이해하기가 어려울 수도 있지만 수학을 가르치는 이유는 5x6=30이란걸 가르쳐주기 위함이 아니라 수학이 어떤 식으로 구성되는지 알려주는겁니다. 수학은 철저하게 약속에 의한 학문이고, 엄밀한 학문이기 때문에 개인이 임의로 바꿀 수는 없습니다. 그런 것을 익히는 과정에서 수학자가 탄생하기도 하고요.
요점은 시험에서 5x6=30 산수를 물어보는건 별 의미가 없다는 것입니다. 그런 시험이야 말로 단순 암기고 주입식이죠.. 수학이 어떤 원리를 통해 구성되는가를 안다면 5x6과 6x5는 자연스럽게 구분이 됩니다. 물론 일상생활 하는데는 5x6이나 6x5나 전혀 상관없습니다만, 학교는 학문적인 내용을 가르치는 곳임을 이해해주시길 바랍니다
13/10/06 10:23
생각보다 초등수학이 어렵습니다. 당연시 알고 지나가는 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈도 그렇구요 기회 되시면 초등학교 교사용 지도서 한번 보세요. 그 논리를 쭈욱 따라가는것이 흔히들 생각하는 "초등수학"과는 차이가 있습니다. 직관적으로 한순간에 이해될 덧셈을 여러학년에 걸쳐 몇 단원으로 쪼개서 가르치는것을 이해하게 됩니다.
13/10/06 10:29
학부모 입장으로서 말씀드리는건데... 이런식으로 교육이 나아가게되면 애들이 수학에 대한 흥미를 더 잃어버리지 않을까요?
솔직한 말로 애들이 집에와서 이런 문제가 왜 틀렸나는 식으로 물어보면 답하기도 어려울것 같네요... 그렇다고 위에 설명하신대로 동수누가 어쩌고저쩌고는 설명이 안될것 같고 ;;
13/10/06 10:46
저는 중고등학교가서 수많은 수학포기자들이 양산되는 이유가 학생들이 초등학교때부터 논리는 무시하고 단순 계산의 알고리즘화에만 익숙해져있기 때문이라고 생각합니다. 마치 수학을 "외운 공식에 숫자를 끼워넣는 퍼즐" 정도로 생각하기 때문에 나중에 나오는 수많은 공식들을 소화하지 못하고 무너져버리는 것이라고 보거든요.
학생의 입장에서 "초등학교때는 외워서 숫자만 넣으면 됐는데, 수학의 정석에는 왜 이렇게 외우기도 힘든 공식들이 끝도 없이 있는거야? 못하겠어!"라고 생각하게 되죠. 초등학교에서 배울 때 부터 12 나누기 2를 그냥 2*6=12의 역연산으로만 생각해서 답을 6으로 쓰고 넘어간 학생과 1. 12를 2등분 했을때 한 묶음의 크기는 얼마인가?(등분제) 2. 12를 2씩 묶어내면 몇 묶음이 나오는가?(포함제) 로 충분히 이해하고 문제를 푼 학생이 있다면 계속해서 수학에 흥미를 잃지 않고 공부해나갈 학생은 후자라고 봅니다. 그래서 수학을 처음 접하는 초등학교 시기 부터 수학은 아주 잘 짜여진 논리-처음부터 이해해 나간다면 그다지 어렵지 않은-라고 생각하게 만드는 것이 수학에 대한 흥미를 더 갖게 하는 방법이라고 생각합니다.
13/10/06 10:51
이런 식의 교육이 무엇을 뜻하는지 모르겠습니다. 저 문제가 어렵다는 것이 문제인지, 틀렸다고 하는 것이 문제인지...
저 문제의 경우에는 문제 문장이 이해하기 힘들고, 문제 자체도 어려운 문제이긴 하나, 저 문제의 의도는 "맞다, 틀리다." 를 감별하여 순서를 정하는 것을 떠나 학생이 얼마나 개념을 이해하고 있는지 확인해보기 위한 것으로 보입니다. 그래서 저 학생의 답의 경우에는 학생이 개념을 얼마나 이해하고 있는지 알 수 있는 점이 없기 때문에 문제를 틀렸다고 하여 학생으로 하여금 다시 한번 공부하게 하고, 교사가 학생과 한번 다시 이야기 나누어 보는 피드백을 통해서 학생이 개념을 익히게 하는 것이 학생에게 더 낫다고 봅니다. 저 문제가 지향하는 바는 많은 사람들이 지루한 수학으로 지목했던 외우는 수학, 답만 적는 수학에서 벗어나기 위한 일환의 하나라서... 오히려 저런 문제를 잘 다듬어서 많이 내는 것이 요즘 추세입니다. 문제의 문장 자체에 고칠 점이 보이기는 하나 지향하는 바도 좋다고 봅니다.
13/10/06 11:01
'수학은 약속으로 이루어진 논리체계이므로 정해진 대로 해야 한다' 는 것만 납득시키면 될 것 같은데...'왜 그래야 해요?' 라는 물음에 '약속이니까....'라는 대답밖에 할 수 없다면 '뭐야 그런게 어딨어요!' 라는 반응이 무조건 나올 것 같습니다 ㅠ.ㅠ 뭐 그걸 해결해내는 게 교사의 역할이겠지요
13/10/06 11:03
그렇군요~ 이제는 집에서 어느정도 가르치는데도 한계가 있겠네요...;;
그리고 교육에대한 불신이 있어서 그런건 아니지만 과연 이런 과정을 선생님한테 물어보면 알기 쉽게 설명해주시는 분들이 많이 계실까? 라는 생각도 드네요.
13/10/06 11:08
사실 그냥 이거 외어, 이게 맞아, 이거 풀어
하는게 선생님으로서 휠씬 편하기는 하죠 크크크크 그러다가 선배한테 욕먹는게 일상이긴 합니다.
13/10/06 11:14
교과서에도 나오기는 하죠. 두 사람이 서로 다른 뜻의 같은 말을 해서 문제가 생기는.... 저 같은 경우에는 이름 얘기도 해주고.. 네가 홍길동인 것은 홍길동이어서가 아니라 네 아버지가 그렇게 지어줘서 그런거야. 그걸 다른 애들이 마음대로 부르면 좋겠어. 뭐. 그러기도 하고...
13/10/06 10:23
마치 이 글의 흐름이 수학을 실제와 다르게 가르친다고
그러니까 학문적인 수학을 가르친다로 흘러가는 것 같은 노파심에 더 적는데요 동수누가는 교환법칙보다 휠씬 직관적이고 현실에 가까운 수학입니다. 오히려 6x5하고 5x6이 같다라는 걸 가르치는데 한 10배는 더 학문적인 수학이죠
13/10/06 10:35
여기서도 이렇게 논란 되는 걸 보면 저걸 초2한테 납득시키기는 정말 어려울 것 같네요.
아마 대부분의 아이들은 구구단을 외우면서 교환법칙이라는 것을 간접적으로 체득했을텐데 뒤늦게 교환법칙이 없던 시절의 수학을 이야기하고 '지금은 그렇게 하면 안된다'라고 교육하려면 그 부분에 대한 충분한 설명과 약속이 필요할 것 같습니다. 뭐 저 시험지 한 장으로 그 과정을 거쳤는지 알 수 있는 건 아니겠지요.
13/10/06 10:42
닉네임이 여기서 빛을 발하는군요 크크 사실 수학과 학생이 아닌 다음에야 저게 당연하지 않은 상황이 상상이 안 가죠 흐흐 사실 저도 수학과 친구들은 많지만 수학과는 아니라서 친구들이 과제로 1+1=2 같은거 증명한다는 얘기 듣고 멘붕한 적이 많습니다-_-;; 수학이 그만큼 정교하구나 싶더라고요
13/10/06 11:11
5마리가 6개씩 다리를 가졌다는 연산으로 5*6 = 30하면 잘못된 얘기인가요? 고등수학에서 5 * a 같이 쓰는건 오히려 이게 맞는거 같긴한데...
13/10/06 11:16
1번다리 5개 2번다리 5개 ...6번다리 5개 니까 5*6=30 하면 문제 의도에 맞을 것 같습니다. 다만 시험지 한 장으로 저런 생각을 알 수는 없을 것 같습니다. 그렇기 때문에 초등학교에서도 클레임 시간이 필요합니다?
13/10/06 11:37
사실 저 학생이 두 문제의 답에 대한 이유를 적는게 개-_-판이긴 하죠. 제 생각에는 둘 다 틀렸다고 말해야 정상같긴 한데...
13/10/06 11:14
초등교육에 대한 가장 큰 불만은 명확하지 않은 문제에 대한 획일화된 답입니다. 초등학교 시절 다음 그림은 무엇인지 맞춰보라는 문제가 있었고 파도 그림이 있길래 파도라 적었는데 답이 바다여서 틀렸었죠. 초등학교 3학년 백일장때는 글을 너무 잘써서 초등생 스럽지 않다고 탈락했습니다. 그 때부터 글쓰기에 대한 의욕이 없어졌죠.
수학이론 얘기하시는 분들이 계신데 저 답안을 가지고 학생이 교환법칙을 사용한건지, 곱셈을 외워서 푼건지, 아니면 덧셈의 표현방식이 미숙했던건지는 알 수 없습니다. 애시당초 저런 형태의 문제는 그걸 측정할 수 없는 형태거든요. 그렇다면 학생의 의도늘 확인하고 채점을 하거나 명확한 오답이 아니면 맞다고 해준후 피드백을 하는게 좋죠. 심지어 저 문제에서 어떤 방법을 쓰라고 언급하지 않은 이상 개미다리 세어보니30 개더라..라고해도 틀리다고 할 수는 없죠. 쿠마님께서 로피탈 얘기도 해주셨는데..고등학생들은 어느정도 지적성숙이 이루어져서.. 교과과정내 수준으로 문제를 풀어야한다는 것에대해 이해하고 있으니 문제될 것이 없지만 초등2학년 생들에겐 그렇지 않기도 하죠. 저 나이때는 오히려 폭넓은 사고른 키워주기 위해 열린 문제를 내면서 채점은 획일화 시키는건 문제가 조금 있다고 생각합니다.
13/10/06 11:18
획일화된 답을 강요한다고 하기에는 저 학생은 문제에 대해서 제대로 답하지도 않았어요.(말씀하신 것처럼 문제의 문장이 안 좋기는 합니다만.) 초등학교 2학년 같으면 교사가 학생들에 대해서 대충 알기 때문에 저 학생이 평소에 학원에서 배운 계산 방법대로만 푸는 학생이었다면 저런 식으로 틀렸다고 해주는 것도 효과가 좋습니다. 물론 이후에 같이 이야기해보고 개념을 아는지 확인해보고 같이 생각해보는 과정과 같은 것이 필요하겠지만요.
13/10/06 11:27
그런가요? 어떤 방법으로 풀어야하는지에 대한 언급이 전혀 없는 문제에 대해 학교에서 배운 방식으로 풀어야 정답 처리가 되는데요? 개미다리 세어니 삼십개입니다. 라고 썼다면 어째서 틀렸다고 하시겠습니까? 문제에 전혀 그러 조건이 없죠. 중고생쯤 되면 그런 함의에 대해 이해하고 납득합니다만 초등2년생에게는 마냥 억울하고 이해안되는 일일겁니다.
13/10/06 11:37
시험이란 등수 세우기가 아니라 수업시간에 배운 내용을 잘 익혔는지 알아보는 것입니다
어떤 방법으로 알아보았는지 써보시오는 학생이 수업시간에 배운 내요을 잘 익히고 있는것인지 쓰는것이지요 분명히 초등학생이라면 왜 내 방법은 틀려? 라고 생각할수 있지만 자신이 가르친 내용을 잘 이해하고 있는지 판단해야하는 교사라면 틀렸다고 하는게 틀린건 아닙니다
13/10/06 11:33
초등부터 고등학교까지 학교내신 수학은 계산 실수있던것 빼면 다 100점 맞았는데
동수누가라는 말 처음 듣네요. 교사가 수학 가르친 내용이 곱셈에서 앞뒤 순서가 중요하다고 바뀌면 틀렸다고 가르치고 본 시험이였다면 이해하겠지만 그런것 없이 그냥 "6이 5번 있으면 6x5 라고 쓰면 됩니다." 라고만 설명하고 끝났다면 문제있다고 봅니다.
13/10/06 11:33
많은 분들이 이 선생 자질이 없네 라고 생각하실수 있습니다
20대이상의 사람들은 '동수누가? 그게 뭐임? 곱셈은 구구단으로 외우는거' 라고 교육을 받았을 가능성이 높고 설령 동수누가에 대해서 배웠더라도 더 어려운 곱셈을 배우면서 동수누가에 대한 기억은 잊혀졌을 가능성이 높지요 그렇기에 이 선생님이 왜 틀렸다고 하는지 이해를 못하실수 있습니다 하지만 초등학교 2학년에서는 분명히 동수누가에 대한 개념을 공부합니다 그냥 외우기식으로 곱셈은 이렇게 해 라고 가르치면 교사도 분명히 편합니다 왜 이런지 모르겠어? 그냥 외워 라구요 근데 이런 방식은 우리 사회가 요즘 아주 혐오하는 주입식 교육의 한 부분이죠 교사도 그냥 저 답을 맞다고 넘어가버리면 피드백 할 시간에 개인시간 생기고 편합니다 하지만 저렇게 틀렸다고 채점한 교사라면 분명히 아이에게 피드백이 들어갈거라고 생각하네요 아이가 어떻게 생각해서 5*6이 나왔는지도 물어보고요 아이는 아 학원에서 이렇게 공식 대입하면 맞다고 해주는데 왜 학교에서는 이래? 학교 이상하네 라고 생각할수도 있지만... 이런 논란이 발생하는 것도 학교가 주입식 교육에서 학생이 탐구하는 교육으로 발전해 나가는 과정이라고 생각해주시면 좋겠습니다
13/10/06 11:36
본문의 답은 틀린 게 맞죠. 사실 우리가 수학을 배울 때 "왜"는 잘 안 배우고 "어떻게"만을 배우다 보니 문제는 답 나오면 잘 푼 거라는 생각 때문에 이걸 이해 못 하는 것일 뿐입니다.
13/10/06 11:42
오히려 저걸 틀렸다고 하고 자세히 설명해주는게 참된 교육 아닐까요? 답만 맞았으니 됬다는 식이 더 안좋은 것 같은데요.
초등학교 2학년이 덧셈만 하다가 곱셈이라는 새로운 난제를 만났으면 순서 생각하면서 설명해줘야 맞죠.
13/10/06 11:52
4*9 앞의 답은 정말 맞으니까요 크크
4개를 9번 더해서 36개가 된다로요 사실 뒤의 답을 보고 교사도 살짝 고민하긴 했을겁니다 얘가 제대로 알고 답을 적을걸까? 라고 말이죠 피드백 할 시간에 한번에 물어볼거라고 생각합니다
13/10/06 11:57
그렇게 해석한다면, 뒤에 것도 위에 제가 말씀드린대로 '5마리의 곤충이 각각 6개의 다리를 가지고 있으므로 5*6으로 했다'고 설명하면 틀리다고 하기 뭐해서 그런거죠^^;
곱셈식만 보면 앞뒤문제에 연산방법이 정반대라서 뒤에 것만 틀렸다고 한거 같긴 합니다. 근데 제 예상엔 아이한테 물어보면 '그냥 곱셈식에 대입했다'고 할 것 같습니다-_-;
13/10/06 12:08
사실 그렇게 5마리의 곤충이.... 라고 대답을 하면 틀린건 아닌데 교사는 참 난감해요
내가 가르치지도 않은, 훨씬 앞서있는 내용을 알고 있는 아이 올바르게 과정을 거쳤다면 상관없지만 거의 대부분이 과정없이 결론만 외운 탐구없는 지식이 들어있는 경우거든요 여기서 나오는 문제가 말씀하신 것처럼 곱셈식에 대입했어요 라고 했을때 동수누가를 설명해줘도 곱셈식이 더 편하다고 느끼고 동수누가에 대해 이해를 하려고 하지않는다는 거죠
13/10/06 12:12
뭐 좀 냉정하게 말하면 선행학습한 대가를 치룬다고 보고 거기까지라고 해야죠.
전 채점이 잘못되었다기보다 앞문제에 똥골뺑이를 주고난 뒤에 뒷문제에 답을 보고 교사가 채점을 어떻게 해야하나 고뇌를 느꼈을거 같습니다. 제가 TA할 때 숙제 채점하면서 자주 겪는 갈등이라...-_-(이 놈을 5점 만점에 1점은 줘 말어?)
13/10/06 11:54
4X9의 이미는 4개씩 9상자가 있다는 뜻이죠.
즉 4를 9번 더했다는 뜻이고, 4개들이이므로 4x9로 계산해야 합니다. 개미 다리 6개인데 5마리이므로 6을 다섯번 더했다로 생각해야죠. 물론 아이는 개미는 5마리인데 다리가 6개니깐 5x6 이라고 썼을수도 있겠습니다만 그냥 주입식 교육으로 5 6 30 이라고 생각없이 적었을 수도 있죠. 애초에 저것을 채점한 선생님이 숙제를 내주실때 이러이러하게 생각하고 해와라. 라고 하고 숙제를 내주시지 않았나 싶습니다. 곱셈에 대한 개념을 설명해주는 숙제면 저걸 틀리게 하고 아이에게 왜 순서를 바꿔썼는지 물어보고 피드백 해주는게 더 좋은 교사라고 생각합니다.
13/10/06 11:58
네 저도 일관성이 결여된 앞뒤의 답을 보고 왜 뒤에 문제에만 틀렸다고 했는지 이유는 알거 같습니다. 전 사실 성격이 더 쪼잔해서 둘다 틀렸다고 할거 같습니다^^;
13/10/06 11:51
초등학교 2학년에서 처음 곱셈을 배우는데 6*5와 5*6이 같다는 곱셈의 교환법칙은 당연히 배우지 않습니다. 초등학교 2학년 수준에서 6*5와 5*6은 엄연히 다른 곱셈입니다. 다리 6개를 5번 더한다(6*5)가 정답이기 때문에 저건 당연히 틀린 답입니다. 물론 창의적인 학생이 색다른 방법으로 5*6으로 계산했다면 정답이 될 수도 있겠고 칭찬하고 권장할 수도 있겠죠. 하지만 저 정도 설명으로는 모르고 썼다고 판단하게는게 맞죠.
13/10/06 12:03
5*6이 안될 이유는 없죠. 5를 6번 더해도 계산할 수는 있지만 일반적으로 교과서에서 연습한 방법은 아니니까요. 당사자에게 왜 5*6으로 썼는지 물어보고 판단하는게 젤 좋겠죠.
13/10/06 12:11
위 예시가 교과서에서 연습했을 방법과 다른거 같지는 않아요.
사실 별다른 설명이 없는 8번문제를 맞다고 채점한걸로 보아 그냥 선생님이....
13/10/06 12:23
저것만 보고는 판단할 수 없는 일이죠. 저 선생님이 어떻게 수업을 했는지, 저 시험이 어떤 목적을 가진 어떤 시험인지, 저 학생의 수학에대한 관심과 수준, 평소 문제푸는 습관과 버릇은 무엇인지, 저 문제를 풀고있는 시점이 어떤 차시를 학습한 이후인지.. 고려해야될 점이 너무 많은데 그걸 저 문제만 보고 혼자 생각하고 상상해서 판단하면 안된다고 생각해요.
13/10/06 12:00
대충 수의 연산에서 덧셈과 달리 곱셈은 연산자 옆에 있는 두 수의 성질이 다르다고 말하면 되지 않을까요. 그 다음은 두리뭉실하게 약속의 영역이라고 둘러대고 그냥 받아들이라고...
13/10/06 12:16
흥미로운 주제라 댓글 한번 쭉 읽어봤는데 확실히 초등교육에 대한 관심과 신뢰가 부족하다는걸 느낍니다. 저 선생님이 수준미만이라느니, 저 선생님에게 배우는 학생들이 불쌍하다느니.. 이런 반응이라니. 저 선생님이 어떤 생각으로 저 문제를 틀렸다고 채점했는지 당사자가 아니면 아무도 모를 일인데 말이죠.
게다가 수학적으로 저 문제가 맞냐 틀리냐에대한 논의만 있지 초등학교 2학년 학생들이 곱셈을 처음 이해하는데 저 문제가 도움이 되느냐 되지 않느냐에대한 논의는 없는게 아쉽군요.
13/10/06 12:26
문제에 괄호치고 (동수누가의 법칙에 근거하여 푸시오) 라고 나왔으면 좋았겠죠
학문적 단계로는 모르겠지만 보통사람에게는 곱셈 교환법칙이 성립안되는 경우가 더 예외적인 상황이라고 생각합니다 행렬같은 경우처럼요 교환법칙을 배워야 5x6과 6x5가 같다는 걸 아나요? 저는 처음에 교환법칙이라고 설명해 줄때 아니 왜 당연한걸 이름 붙여서 짜증나게 하지 이렇게 생각했습니다. 교환법칙은 안가르쳐도 자연적으로 습득가능 합니다. 산수와 수학은 다르다고 생각하는데 초등학교 수학이 1+1=2라는 것을 증명하는 마인드로 구성되있다고 생각하지 않습니다. 교사가 정말 그런 마인드로 아이들을 가르친다면 존경할만 하지만 그런 교사가 전국에 몇명있을지 모르겠네요
13/10/06 12:30
초등학교에서 동수누가, 배의 개념으로 곱셈을 도입하지만 용어는 가르치지 않습니다. 게다가 아이들이 귀납적으로 교환법칙을 습득할 수 있도록 여러가지 예를 제시하기는 하지만 교환법칙이라는 이름을 붙이지는 않습니다. 초등학교 수학은 증명과 수학적 엄밀성을 추구하지 않습니다.
뭔가 오해하고 계시네요.
13/10/06 12:27
틀린 이유를 저도 한참 생각 해봤는데요 2번의 문제가 5x6 이든 6x5든 틀렸다고 선생님이 채점 했을거 같네요 그답에대한 풀이가 필요한거 같네요 설명이 필요한거죠 구구단 처럼 5x6=30 이렇게가 아닌 5는 머고 6은 머인데 이렇게 이렇게 해서 30이 나온다 가령 이렇게 설명을 좀 구체적으로 했으면 이 학생이 이해 하고 있구나 이런식으로 설명을 적어야 답인거 같네요 문제에 답이 있는거 같네요
13/10/06 12:49
저 채점이 '동수누가법칙'에 따라 맞는 채점이라면, 전 그 법칙을 적용하는 것이 틀렸다고 생각합니다. 왜 곱셈이 성립하는가에 대한 설명을 할 때나 사용할 문제지, 그걸 시험 볼 때는 사용할 것이 아닌 것 같네요. 만약 그걸 시험보고 싶었다면 문제 자체를 2번 보기항 아래에 개미 다리 ( ) 개 * 개미 ( ) 마리 = ( ) 이런 형태로 냈어야죠. 막말로 전좌다리, 전우다리, 중좌다리, 중우다리, 후좌다리, 후중다리로 나눠 5마리라 각 5개씩으로 셌다고 하면 저 답이 틀린 겁니까?
무엇을 설명하기 위해서 채점을 했던 간에, '틀렸다'라는 표현을 하기 위해서는 그것이 틀린 것이어야합니다. 저 식은 전혀 틀리지 않았네요. 적어도 교사의 채점은 수학적인 채점이라 생각할 수 없습니다.
13/10/06 13:06
가끔 이런이런 논란이 생길때마다 아쉬운건 다들 저런 문제와 채점을 보시고 맞고 틀림에 연연해 한다는 점입니다.
교사의 입장에서 학생들애게 평가를 하는 이유는 단순하게 맞고 틀림을 알아보고 그를 서열화 하려는 목적은 절대로 없습니다. 특히 초등교사의 입장에서는 이 학생이 수업목표에 도달 하였는가를 보는 과정입니다. 평가의 의도는 원래 그래요. 따라서 위와같이 틀린 경우 학생에게 피드백이 가야합니다. 왜 그런 생각을 하였는지 생각의 서술이 먼저이며 거기에서 교사는 학생이 가진 오개념을 파악하고그에 맞는 처방을 다시 하는 과정중에하나에요. 저거 틀렸다고 속상햐 하거나 세상이 무너지거나 하지 않는다는거.. 교사도 바보가 아니고.. 기계가아니고 교육에 대해 많은 생각을 갖고 있다는 점 알아주세요
13/10/06 13:30
근데 그런의도라면 굳이 저렇게 '틀렸다'라고 해야하나요?
따로 표시해놓고 나중에 다시 자세히 설명해주면 될텐데. 선생님의 의도가 어쨌건 저게 '틀렸다'라는건 좀 의문이 들긴 합니다. 댓글다신분들이 저거 하나 틀린게 아이의 미래에 엄청난 부정적 영향을 줄거라고 댓글다시는 것도 아닌것 같구요.
13/10/06 13:49
맞다 틀리다에 지나치게 집착 안하셔도 될듯 합니다. 실제로 어린 아이들을 두는 학부모들이 "이게 왜 틀렸냐!" 라고 과민반응 하는것 같은데
아이의 실력을 향상시키는 것은 "맞다고 인정"해주는 것이 아니고 이런식으로 "잘 틀리는것" 이 중요합니다. 틀렸다는 표시는 다음에 맞출 수 있다는 표시죠... 환자로 따지면 환부가 있으면 의사입장에서는 "검사요망" 이라고 표시를 해야지, 환자에게 희망을 준다고 "건강함" 이라고 표시하면 안되는 것 처럼요.
13/10/06 14:09
집착 안하는데요?
틀리지 않은 것을 틀렸다고 하는 것에 대해 애들이 혼란스러울 것 같아서 그렇죠. 만약 제가 초등학교 때 저런 채점하는 선생님있으면 정말 이게 틀린걸까? 하고 혼란스럽기만하지, 무슨 깊은 뜻이 있어서 그렇구나 안할 것 같습니다. 맞는건 맞다고 하고 나서 따로 설명을 해주던가 하는게 더 낫다고 생각되어 의견남겼습니다.
13/10/06 14:06
그럼 틀렸다는 표대신 별이면 만족하시나요?
그냥 표기일 뿐입니다. 이렇게 생각해보시면 됩니다. 한반에 30에서 20명 정도입니다. 그학생들을 평가하는데 많은 시간을 소비할수 없어요. 하루 저학년은 4~5시간을 소비합니다. 그렇다면 최댜한 빠르게 평가하고 그 학생에 대해서 다시 피드백 해줘야합니다. 그리고 일반적인 지식으로 저문제를 본다면 당연히 맞겠지만... 수업에선 동수누가의 목표를 가지고 진행한 수업이며 학생의 답은 교사의 입장에서 틀린겁니다. 목표를 도달 못한거에요. 많은 분들이 착각하시는게...틀리면틀리고 끝난게 아니에요. 저렇게 틀린게 하나라면저런 표시 하나 남기고 넘어가게 될겁니다. 하지만 저런 식으로 틀린게 많다면 학생은 목표를 도달하지 못한것이며 그로 인해 보충을 받아야합니다. 흔히 말하는 나머지 공부죠. 저거 틀렸다는 표시는 그저 교사가 학생의 평가를 수월하게 하기 위한 표시일 뿐입니다 하지만 보통 그렇게 바라봐 주시지 않아서 답답할 뿐이지요.
13/10/06 14:10
위 댓글로 대신합니다.
+ 제가 만족하고 말고할게 뭐있나요. 선생님 입장이 그렇다는 건 알겠는데, 별로 좋은 채점방식이 아닌 것 같아서 의견남긴건데요.
13/10/06 13:58
아마 애들이 '동수누가의 법칙'이라는 복잡한 이름을 배우는 일은 거의 없겠지만, 초등학교 때 곱셈 배우면 원래 이렇게 배웁니다. 여기 계신 대부분의 분들도 이제 기억을 못하실 뿐 그렇게 배우셨을 겁니다.(제대로 된 초등교사에게 수학을 배우셨다면)
13/10/06 13:43
그냥 다 자기 아는만큼 보이는거에요. 저게 왜 틀렸는지 모르는 사람들은 어설프게 아는 수학지식 동원해서 초등교육이 애들을 잡네 마네 하는거고
초등교육 전문가들이 보면 틀린게 맞는거죠. 중간중간에 수학교육전공자/초등교사 로 추정되는 분들께서 화도 안내시고 친절히 설명해주시는데도 그냥 읽지도 않고 자기리플만 써대는 나름 '성인' 들이 많네요.
13/10/06 13:46
실제로 많은 교사들이 이 글에 달린 리플과 같은 반응이 두렵고 귀찮아서 대충 맞다고 치고 넘어갑니다. 좋은게 좋은거라고
위 문제를 채점한 교사는 암만 몰라도 아이에게 수학적 개념을 제대로 설명해 줄 각오를 하고 채점한 듯 하네요. 어설픈 관심이 교사의 의욕을 확 꺾습니다 이나라는
13/10/06 13:49
그렇다면 과연 저 학생은 정말 개미 한 마리 당 다리 5개씩 6마리라서 30으로 계산했다! 하면서 했을까요? 바보가 아닌 이상 개미 한마리 당 다리 6개씩 5마리로 계산했겠지요. 초등학생에게 그렇게 자세하기 기술하게 해야 할 필요성도 못 느끼겠고.. 물론 저는 수학교육의 시옷도 모르는 사람이지만, 저걸 틀렸다고 긋는 행위 자체가 옳다고 보진 않습니다.
13/10/06 13:52
저같으면 맞았다고 동그라미 해 주고, 그 밑에 설명을 써줬을 것 같네요. 이런 경우에는 이러이러하다~라고 쓰는 것이 더 올바르다 라고. 틀린 것과 문제를 다른 방향으로 풀어서 맞추는 것에는 크나큰 차이가 있습니다. 그리고 많은 분들의 저 초등학생의 답변에 대해 무성의하다고 많은 지적들을 하시는데, 과연 여기에 댓글 다신 분들께서도 초등학교 때 "개미 한 마리 당 다리가 6개, 그리고 총 개미가 5마리 있으므로 6*5의 계산을 해서 30이라는 답이 나왔습니다." 라고 쓰셨었을까요..? 괜히 논란의 요지를 겨우 9살밖에 되지 않은 초등학생에게 전가하는 것 같아 보기에 매우 불편하네요. 저 학생은 절대로 저걸 몰라서 저렇게 간단하게 쓴 것이 아닙니다. 아니면 저렇게 답안을 자세하게 작성하라고 교사가 가이드라인을 정해줘야지요. 그럼 교사 잘못이겠네요?
13/10/06 14:05
말씀하신 것처럼 생각하고 쓰라고 교과서에 나오고 교사들도 그렇게 가르치고 학생들도 그렇게 대답합니다.
그리고 말씀하신 내용을 몰라서 그렇게 썼을 수도 있습니다. 의외로 많은 학생들이 수학의 개념을 익히기보다는 대충 곱셈으로 계산해서 답만 맞추는 행위에 열중합니다. 답만 맞추는 것은 빠르고 쉽고, 칭찬까지 받는 경우가 많기 때문이죠. 문제 낼 때, 덧셈식으로 풀어야 할 문제를 곱셈식처럼 내면 틀리는 학생들도 있을 정도죠. 위에서 말씀하신 분도 계시지만 초등학교에서는 문제 틀렸다고 시험 성적이 낮게 나온다고 상처 받을 필요가 없다고 가르칩니다. 그래서 시험 성적을 어딘가에 공식적으로 기록하거나 하지 않습니다. 문제 뭐가 틀렸는지 확인 차원에서 시험지를 나눠주기는 합니다만... 중요한 것은 자신이 뭐가 틀렸고 왜 틀렸는지 아는 것이죠. 저 문제 맞다고 하면 틀린 사고 과정을 "해도" 괜찮다는 의미를 부여해줄 수도 있습니다.
13/10/06 13:56
동수누가라고 해도 왼쪽 앞다리 5개, 오른쪽 앞다리 5개... 이런식으로 하면 맞습니다.
숫자를 놓고 객관적으로 여러방향에서 해석할 수 있는 게 수학입니다. 논리적으로 해석에 이상이 없으면 틀린게 아닙니다. 틀렸다는건 그냥 어거지입니다. 아무리 봐도 어거지입니다.
13/10/06 14:46
윗분들 말대로 해석에 따라서 맞을수있는 문제같은데 위는맞고 아래는 틀렸다는건 말이안되죠..
제대로된 설명이아니라고 봤으면 둘다 틀렸거나 둘다 맞아야되는거 아닌가요
13/10/06 14:48
??? 댓글을 읽어봐도 왜틀렸는지 이해가 안가는 일인입니다. 개미 5마리가 각각 6개의 다리가 있으니까 5 x 6 = 30... ???
13/10/06 14:53
뭐가 100플 넘게 달렸나 했더니.. 그냥 단순히 심리적인 문제인데요.
8. 한 상자에 윷가락이 [4]개씩 들어 있습니다. [9]상자에 들어 있는 윷가락은 모두 모두 몇 개인지 알아보시오. (1) 윷가락은 모두 몇 개입니까? (2) 어떤 방법으로 알아보았는지 써 보시오. 9. 개미 한 마리의 다리는 [6]개입니다. 개미 [5]마리의 다리는 모두 몇 개인지 알아보시오. (1) 개미 [5]마리의 다리는 모두 몇 개입니까? (2) 어떤 방법으로 알아보았는지 써 보시오. 8번과 9번의 차이점을 아시겠나요? 학생은 그냥 문제에 나온 숫자의 순서에 따라 숫자를 썼을 뿐입니다. 8번은 4 9의 순서니까 4 x 9라고 쓴거고 9번은 (1)에서 [5]마리의 다리가 몇 개냐고 하니까 5를 먼저 쓴거지요. 1. 동수누가의 법칙에 따라 틀렸다. -> (1)을 읽고 5마리의 개미의 다리가 모두 몇 개냐고 물었으니 (2)에서 자연스럽게 5마리를 뜻하는 5가 먼저 오기쉽다. 언어적으로도 (2)의 질문은 개미 5마리의 다리가 몇 개인지를 어떤 방법으로 알아보았냐라는 질문이 되니 5가 먼저 오는게 문제되지 않는다. 2. 설명이 불충분하니 틀렸다 -> 하지만 8번을 정답처리 한 것으로 보아 설명이 불충분해서 틀렸다고 보기 어렵다. 따라서 저 선생이 제대로 채점을 하려면 9번을 맞다처리하거나 8,9번의 (2)를 모두 오답처리해야한다 입니다.
13/10/06 15:24
저 시험이 학교에서 공식적으로 보는 시험이고 내신성적에 반영된다면 당연히 맞았다고 해야죠.. 하지만 그게 아니라면 교육의 목적으로 얼마든지 틀렸다고 할 수 있습니다. 그래야 경각심이 생기고 다음에 안틀리게 되니까요.. 뭐 맞다고 해주고 피드백 해줄수도 있지만 그거야 사람차이죠..
13/10/06 15:26
6+6+6+6+6 이 그림으로 잘 표현되어 있네요. 1번의 그림도 마찮가지고...
초등수학 교육은 잘 모르지만 틀리게 한 이유가 수긍이 되네요
13/10/06 15:34
이해가 안 가는데요.
다리 6개 달린 개미 5마리 = 6 * 5 = 30 이나 개미 5마리가 다리 6개씩 있음 = 5 * 6 =30이나 무슨 차이가 있는 거죠 ㅠㅠ
13/10/06 15:36
설령 출제 의도가 6개/마리 x 5마리 = 30개 였다고 해도, 5마리 x 6개/마리 = 30개 가 틀렸다는건 학생에게 곱셈 답은 이 순서대로 써라 라고 외우라는 쓸데없는 강요를 하는거죠. 뺄셈 나눗셈도 아니고.
13/10/06 17:19
구구단 다 못 외운다고 집에도 못 가고 남아서 교실도 못 들어가고 운동장에서 다 외울 때까지 구구단만 줄창 외워야 했던 제 국민학교 2 학년 시절과는 많이 다른가 보군요...
13/10/06 17:23
9-1번에 30마리는 맞는건데 왜 세모표시한게 더 이해가 안가네요
문제풀이는 그러다 쳐도 답이 30이 맞으면 그냥 맞는건데 이해가 안가는 채점이네요
13/10/06 17:46
저걸 틀렸다고 해서 학생이 알수 있는것은
6X5를 5X6으로 쓰면 안되는구나 밖에 없습니다. 결국 잘못된 방식이란 거죠. 5+5+5+5+5+5 = 5X6 혹은 6+6+6+6+6 = 6X5 라고 쓴답만을 정답처리해주어야지 설명에 대한 생각을 하게 되지 바꾸어 썼다고 틀렸다고 하는데서 얻을수 있는것은 없다고봐요. 개인적으로 교사와 교대생들한테 제가 느끼는 감정을 그대로 다시금 느끼게 해주는 글과 댓글들입니다. 실제 그리 수학적 재능이 있는 사람들이 교대에 가는 경우가 드물다 보니.. 실제 본인들이 창의적으로 수학을 공부해보지 못했기때문에 수학의 교습법에 있어서도 유연성이 부족합니다.
13/10/06 19:25
동의합니다. 첨언하여,
5x6 = 5+5+5+5+5+5 6x5 = 6+6+6+6+6 이 두 결과가 같다는 사실은 절대 당연한 게 아닙니다. 하지만 많은 아이들이 (특히 선행학습을 한 상태라면 더더욱) 이 둘이 같다는 걸 본능적으로 (혹은 의심치 않고 당연한 듯이) 알고 있습니다. 하지만 이유를 설명하라 하면 못하는 경우가 많죠. 이걸 틀렸다고 하면 억울함과 반발심만 키워 줄 가능성이 큽니다.
13/10/06 19:44
v를 지운 흔적이 있는걸로 봐서 나중에 수정한게 맞는것 같습니다.
6*5 = 30 을 5*6 = 30이라고 써서 틀렸다는건 말이 안돼요. commutative는 고도로 추상화된 개념에 대한 수학적 접근이지만, 초등학교의 수 개념은 그러한 추상화된 개념에 대한 엄밀한 법칙을 논하는단계가 아닙니다. 몇개 해봐서 되면 되는거에요. 귀납적으로 납득이 되면 충분합니다. 역사적으로 봐도 이런 개념이 자연스럽구요. 수학교육계에서도 1960년대에 새 수학 운동이 펼쳐지면서 과도한 논리, 형식에의 추구에 매달리던 시기가 있긴 했습니다만, 이게 이미 50년 전 일입니다. http://news.donga.com/Column/DA/3/040106/20101027/32146759/1 [이를 신랄하게 비판한 ‘조니는 왜 덧셈을 못하나(Why Johnny can＇t add)’라는 책은 흥미로운 사례를 제시하고 있다. 새 수학의 관점에서는 왜 3+4=4+3인지를 묻는 질문에 그 합이 7로 같기 때문이라고 답해서는 안 된다. 덧셈의 교환법칙으로 인해 좌변과 우변이 같다고 답해야 한다. 이런 식의 수학적 엄밀성을 따지다 보니 학생들은 현대수학의 고상한 내용을 이해하기는커녕 기초 연산능력마저 저하되어 ‘기본으로 돌아가기(Back to Basics)’ 운동이 나타나게 됐다. 구관(舊官)이 명관(名官)이라는 말처럼 예전으로 회귀한 것이다. ] 이 문제로 치자면 '철수는 왜 곱셈을 못하나?' 쯤 되겠네요. 만약 저게 정말 교사분이 저렇게 채점한 거라면 교사에게 문제가 있는게 맞습니다.
13/10/06 21:57
수업시간에 저부분에 대한 강조를 했을겁니다. 아니라면...
수업시간에 둘의 차이점을 언급했다는 전제에 엄격하고 옳은 채점이라 보이네요. 사실 저 부분도 초등교재에 다 있는 내용인데 말이죠. 굳이 구구단만 외우고 놀거나 선행만 빡쎄게 하면서 이해보다 암기로만 주구장창했던 학생들은 저거 틀려도 할말없죠. 교환법칙은 그 뒤에 배웁니다.
13/10/07 06:49
수학은 논리학인데, 논리적으로 저 답이 틀린점이 하나도 없음에도 불구하고 가르친적이 없다는 이유로 틀리다고 채점을 했다면 그게 옳은 채점인건가요?
맞다고 하고서 설명 필요라고 써놓으면 모를까. 위에분들이 6+6+6+6+6과 5+5+5+5+5+5 의 차이점을 이야기 하시지만, 저건 그거와는 전혀 다른 이야기입니다. 1. 다리 6개인 개미가 5마리다. 2. 개미가 5마린데 다리가 6개다. 의 문제지, 3. 다리가 5개인 개미가 6마리다. 의 문제가 아니란 말입니다. 개미의 다리는 6개입니다 라고 문제에서 주어줬기에 곱셈 시에 6을 먼저 써야 한다 라는 결론이 곱셈의 정의에 있습니까? 그게 논리적으로 맞습니까? 그게 수학입니까? 그걸 수학이랍시고 가르치고 있으면 선생이 수학을 못하는거죠. 그리고, 저 문제의 답으로 쓴 곱셈의 전후 관계로 다리가 5개인 개미가 6마리다. 라고 아이가 생각했으리라 짐작했을리는 전혀 없습니다. 그 사실은 이미 문제에 주어져 있기 때문입니다. 수업시간에 이 둘의 차이점을 어떤식으로 언급했건 간에, 옳음을 동그라미 그름을 작대기로 표시하는 채점이란 행위에 있어서 저 문제의 저 답을 작대기를 그었다는 것은 즉 수학적으로 참 거짓을 판별하는데 있어서 말도 안되는 겁니다. 세모면 모를까. 10cm x 10cm 인 사각형을 그려놓고, 이 사각형이 무엇이냐? 라고 아이한테 물었을 때에, 그 교육과정 내에서 정사각형을 아직 안가르쳤다고 한 변이 10cm인 정사각형 이라고 답을 쓰면 틀렸다 라고 하는게 말이 됩니까? 넌 왜 미리 아니? 하면서? 초등학생한테 '난 지금 너한테 동기누수 이론을 가르치는거지 곱셈을 가르치는게 아니란다. 니가 누구한테 이걸 배웠는진 모르지만, 그 사람이 가르쳐준 이 방식을 여기서 쓰려면 내게 모든 자연수의 곱에서 교환법칙이 성립하는지 증명하렴. 그 사람이 그것도 가르쳐 줬을까?' 이게..엄격하고 옳은 교육이라면 할 말이 없네요. 과정이 틀렸다는 건, 과정 중에 논리적인 하자가 발생 했을 때의 문제죠. 곱셈을 이미 할줄 아는 초등학생 한테, 곰셈은 앞 뒤 바꿔도 성립한단다. 이상의 설명이 필요하다고 보시는 건가요? 아니면, 아이가 구구단을 외우는데 곱셈이란 개념을 모를 거라고 생각하시는건가요? 대한민국에 어린 파스칼이 재림해서 1부터 100까지 더하는걸 101*50=5050이라고 풀고 놀면 줄긋고 난 덧셈을 가르치고 있지 등차수열과 곱셈을 가르치고 있는게 아니란다. 덧셈부터 제대로 해. 라고 하시겠네요. 덧셈을 못하면 저 연산 자체가 불가능할텐데도요. 그렇게 동기누수 의미와 과정에 중점을 둔거라면, 구지 밑에서 설명을 하라는 서술란에 5x6이기 때문입니다. 가 아니라 6+6+6+6+6이기 때문에 6이 5개니 6*5라서 30입니다 라고 쓰게 했어야죠. 그 위에 윷 문제도요. 사실 6+6+6+6+6 이니 5x6=30 이라고 계산했다고 틀렸다고 하는 것 자체가 말이 안되지만요. 이미 6이 5개라는 사실을 아는 애가 5+5+5+5+5+5 라고 계산했으리란 상상은.. 그냥 오육삼십이나 육오삼십이나 똑같으니 그렇다 라고했겠죠. 그리고 선행학습이 죄고 잘못입니까? 왜 틀리면 할말이 없어요? 전 이렇게 할 말이 많은데.
13/10/07 09:21
무슨말을 이리 길게 하시는지... 읽어봐도 같은 얘기 반복이네요
폰이라 길게 쓰긴 힘든데 개미다리를 셀때 왼쪽에 있는 녀석부터 6개,6개,6개,6개,6개 이렇게 30개잖아요. 그럼 총 6이 5개면 6x5 가 맞는표현이죠 5가 6개있는게 아니니깐요... 곱셈은 덧셈을 쉽게하기 위해 배우는게 기초인데 그 표현을 가르치는 단원의 평가에서 그부분을 엄격히 보는게 맞다고 봅니다만. 그리고 크게 보고 교육이 어떠하다라는 것을 떠나서 채점기준에 따라 정확히 채점을 했다고 한건데 뭘 그리 과격하게 댓글을 다시는지... 답이 30인게 끝이라면 3x10은 왜 안될까요 곱셈기호를 쓸때도 무엇을 어떤순서로 곱했는지 보면 어떻게 이해했는지도 볼수 있습니다 수업시간에 배운대로 하면 되죠
13/10/07 12:13
계산은 논리라는 걸 말씀드리는 거에요. 논리적으로
6이 5개면 6 곱하기 5가 맞는 표현인건 맞습니다. 근데 5 곱하기 6이 틀린 표현은 아니란거죠. 근데 틀렸다고 줄을 그었으니 문제가 된거죠. 논리적으로 안 틀린 것에 틀렸다고 줄을 그었으니까요. 지금 그리고 3x10과 5x6과 6x5의 유사성과 차이점을 전혀 모르시는건가요? 교환 법칙의 성립에 대해 이야기 한건데요. 그건 왜 갑자기 말씀하시는지 모르겠네요. 3x10=30이라고 썼다면 풀이과정의 잘못으로 틀렸다고 해야죠. 당연히. 근데, 5x6은 저 애가 개미 다섯마리가 다리가 여섯개니 그렇다라고 생각할 수도 있고, 6x5는 다리 여섯개인 개미가 5마리다 라고 생각할 수도 있단거죠. 또, 채점기준이 진도라는게 말이 안된단 걸 말씀드린거고요. 이건 더 이상 설명 자체가 필요 없죠. 수학에서 답을 풀이의 무결성과 참, 거짓 이외의 것으로 매기는거 자체가 넌센스니까요. 곱셈기호를 쓸 때 무엇을 어떤 순서로 곱했는지 보면 어떻게 이해했는지도 보인다는건 정말 굉장한 일반화시네요. 그럼 e=mc^2은 질량과 빛에 대한 어떤 곱셈의 이해가 숨어있나요? 행렬 곱이면 몰라도 셈의 전후관계가 상관 없다는 법칙이 있는데 그걸로 어떻게 사고했는지를 유추한다..? 생각한대로 쓸 수도 있지만 습관이나 관습으로 곱셈의 선후관계를 결정하는 사례도 많습니다. 결과적으로 수업시간에 배운대로 하면 된다. 선생님이 가르친대로 해야지 왜 딴 방법으로 풀려고 하니 라고 하는 그 자체가 제가 지적하고 있는 잘못입니다. 애가 곱셈을 배우는건지 생각하는 방법을 배우는건지에 대한 문제에서 내가 가르친대로 안했으니 틀린 생각이다가 그게 생각하는 방법을 가르치는 교육인가요? 암기지? 그리고, 단원의 평가라는 의미로 저 문제들을 평가한거면 전부 틀려야 합니다. 과정이 빠져있기 때문에요. 아이의 논리의 무결성을 확인하고 싶었으면 처음부터 (6+6+6+6+6) = 6x5 = 30이라고 쓰게 했어야죠. 6x5가 6이 5개 있다는 개념이니 지구상 다른 모든 계산은 그럴 필요 없지만 딱 저 한단원에서만은 곱셈에서 반드시 6을 먼저 써야 한다는 건 도대체 어디서 나온 교육이론이고 법칙이죠?
13/10/07 13:23
채점을 해서 동그라미 또는 작대기를 해야하는 상황인데 교육목적에 맞지 않으니 작대기를 했겠죠.
그리고 뻔히 초2시험에서 곱셈에 대한 순서를 보면 어떻게 이해했는지 알수 있다고 한건 당연한거 아니겠어요? 교환법칙을 몸속에서 자연스레 받아들여진 우리 성인들을 대상으로 한말이겠습니까? 그래서 웃기지도 않은 과학공식 들고 와서 예를 드나요? 오해가 심하시네요. 과격하게 댓글을 달기전에 오해는 없는지 좀 물어보세요. 그리고 다큰 성인입장에서 그런 예를 들고 판단할게 아니라 초2가 처음 곱하기 기호를 배우는 시점에서 한번 생각해보시길.
13/10/07 13:31
수학이 논리란걸 누가 모릅니까.
근데 저 내용은 논리를 떠나 곱셈기호는 어떤의미인가 무슨 약속인가를 배우는 시기입니다. 즉 약속된 기호를 배우는데 그 시점에서 논리가 왜 나와요?
13/10/07 20:47
곱셈의 개념을 처음 배우는 애 한테 곱하는 수의 선후관계가 상관이 없는데 있다고 가르치니 하는 소리죠. 그리고, 세모치고 설명해주면 된다고요.
전체적인 곱셈의 과정도 맞고 풀이도 맞지만, 선생님이 수업시간에 가르쳐 준 곱셈의 정의에서 한정 시켜보면 6이 5개 있는 거니 5x6은 그 정의에선 맞지 않아 라구요. 곱셈 연산은 실질적으로 덧셈의 확장이 아니라 정의에 가까운데, 그 정의가 4가 5개 있는 것이고요. 그걸 덧셈을 통해 확인시켜 주는거지 덧샘이 한자리 곱셈의 필수 불가결한 과정은 절대 아니란 겁니다. 곱셈을 배우는 그 이유 자체가 동일 수 덧셈을 매번 안하는데 있는 이상에는요.
13/10/07 13:33
선행학습이 죄나 잘못은 아닙니다만, 왠만한 선행학습은 거의 학원에서 이루어 지고 학원은 주로
거의 모든 수업이 빠른 공식 암기후 풀이로 이루어지죠. 이게 우리가 그렇게 비판하는 주입식 교육이라는 것에 대한 비판은 없으신가요? (물론 모든 학생이 완전학습에 이를 수 없기에, 학교를 믿을 수 없기에 학원을 보낸다는 말에는 할 말이 없어집니다만) 이런 '어차피 얘는 공식 암기로 알고 있는 내용인데 뭘 그리 구구절절이 설명하고 있어?" 라는 사고 방식으로 계속 선행학습이 이루어지면 결국 사회에서 그렇게 비판하는 학교교육은 제자리 걸음일거라는 생각은 혹시 안드시나요? 이 동수누가와 곱섹십 암기가 탐구중심과 암기식의 공부의 훌륭한 예가 되겠는데요 탐구중심은 아이가 일단 익히기에는 설명도 많이 필요하고 이해 시간도 많이 걸리지만 일단 익히면 수학적 사고가 암기식보다는 더 향상됩니다 암기식은 아이가 생각없이 외우면 빨리 배운것 같고 당장에 공식 대입하기에는 아주 좋죠 일단 암기식으로 배운 학생들은 탐구중심 학습을 우습게 볼 가능성이 많습니다 '아니 이거 그냥 외우면 땡인데 뭘 그렇게 힘들게 이해해? 나 이렇게 안하고도 잘함" 하지만 이런 공식 암기가 당장 초등학교에서는 잘 먹힐지 몰라도 중학교 고등학교에서는 이게 잘 통하지 않는 학생들이 많다는 거죠 이걸로 "애가 초등학교에서는 수학을 잘했는데 중고등학교에서는 못해요" 라는 현상이 나오죠 물론 초중고 다 암기식으로 씹어먹는 학생도 있습니다만, 괜히 우리나라 초중고 과목중에서 수학이 기피과목이 되는게 아닙니다. 사회에서는 주입식 교육을 비판하고 혐오하면서 정작 다른 교육방법을 쓰면 주입식 교육보다 비효율적이라고 짜증내고 빠른 성과가 나오지 않는다고 화내기 바쁩니다
13/10/07 21:05
연산이라는 도구의 사용 방법을 배우는 데에 창조가 필요 없다고 생각합니다. 도구를 쓸 줄 알아야 도구를 가지고 창조가 나오는 거라고 생각합니다 전.
곱셈 덧셈 등의 연산은 수학에선 걸음마입니다. 걷지도 못하는 애 한테 춤의 창조성을 가르치자고 걷는 법을 비논리적으로 가르치는건 제 생각엔 이상한 듯 합니다. 창조적인 사고를 하는 사람들이 구구단을 안 외우나요? 창조적이건 아니건 구구단은 결국 다 외워야 교육과정을 이수하고 그게 곱이고 어떤 방식의 연산인지 그 성질이 뭔지는 그 숫자들의 연관성에 대해 암기하며 설명듣고 조금만 생각해봐도 다 아는 내용입니다. 사 칠은 칠 사하고 똑같아. 육오는 오육하고 똑같다 라는 거 하고요. 오히려 저렇게 세분화시켜서 곱셈 할 줄 아는 애 한테 더하기가 이렇게 되서 다섯마리니 다리가 몇개가 된다 앞뒤 순서가 사고 흐름에 의미가 있다. 라고 문제 수십개 풀게 하는 게 창조적 교육이란 것에 대한 광풍이고 집착같네요. 중학교로 가서 애들이 암기만 해서 수학을 못하는 건, 엄마들의 핑계죠. 수열같은 데서 부터 본격적으로 산수가 아닌 논리학으로 접어들게 되는건데, 완전 다른 학문을 하기 시작하는 거니까요. 덧셈은 곱셈은 연산이나 공식이 아니라 정의에 가까우니 외워야죠. 아빠가 아빠란 걸 아는데 무슨 창조가 필요하나요. 아빠가 아빠인걸 외워야 아빠가 남자의 일종이란 걸 깨닫게 되고 하는거지.
13/10/07 21:11
그리고 수학이 암기가 되는 이유는 교육 과정의 문제가 아니라 평가 방법의 문제 같네요. 평가를 하는 이상 교육과정이 그걸 따라가야 하는 건 자명한 현실이니까요 이 이야기는 논외이니 이렇게만 하겠습니다.
13/10/09 23:51
이걸 틀리다고 하다뇨.
수학은 전개에 논리적인 결함이 없으면 무조건 맞는겁니다. ( 그리고 곱셈의 경우 교환법칙이 성립하니 맞는 풀이방식이고요. ) 초등학교 2학년 생이 풀었건 수학교수가 풀었건 내용으로 평가하는거죠. 이걸 틀리다고 하려면 수학이라고 하면 안됩니다.
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