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08/03/26 21:19
뱃속의 여인님// A라는 숫자가 있다면 3번안에 A이상의 수를 부르면 1000-A점만큼이 오르는거고
그안에 A이상의 수를 부르지 못 한다면 마지막에 부른 수만큼의 점수가 깎이는거임
08/03/26 21:40
아. 문제 이해한 줄 알았는데.. 또 모르겠어요. (차감되는 것은 포인트에서 차감되며 처음 포인트는 0에서 시작합니다.)
그럼 나온 숫자보다 높은 숫자를 못부르면 포인트가 마이너스가 된다는 뜻이예요? 처음 포인트가 뭐예요?
08/03/26 21:42
만약 3번 다 불렀는데 그 안에 없다면 마지막에 부른 수만큼이 차감됩니다 라는 말에서 제일작은수를 찾아보니깐 2인데 아닐까요 이거.
08/03/26 22:02
음수가 가능하다는게 자기 포인트가 음수로 떨어지는게 가능하다는 말인지... 아니면 콜을 음수를 부를수 있다는 말인지...
만약에 콜을 음수가 가능하면 첫번째 포기하고 두번째 포기하고 세번째 마이너스 무한대값 -_- 그럼 무한대만큼 포인트가 ...... 그런게 아니라면 만약의 경우까지 다 생각해서 500, 1000, 1500 세번 부르면 절대로 손해보는 일은 없겠네요 만약에 400 , 800, 1200 이런식으로 불렀다가 1200 이상이면 낭패니...
08/03/26 22:25
그러니까 알려지지 않은 목적수 N (0과 1500의 구간에 존재)에 대하여,
A, B, C 세번의 추측을 할 수 있는데 (A, B, C는 0과 1000의 구간에 존재) 추측하여 한 번이라도 N보다 크면 1000-N 점을 얻고 끝나며. A, B, C모두 N보다 작으면 -C 점으로 끝나게 되는 것이군요.
08/03/26 22:28
그런데 좀 이상한 부분이 있습니다.
추측이 성공한 경우 1000 - A 와 같이 추측한 값에 따라 점수를 받는게 아니라, 결국 주어진 목적수인 N에만 관련된 값인 1000 - N을 받게 된다는 건.. 추측을 1000, 1000, 0 으로 하면 됩니다. 1/3의 확률로 N이 1000보다 크다면 무조건 0점으로 끝나고, 2/3의 확률로 1000보다 작으면 1000 - N 으로 끝납니다.
08/03/26 22:28
음..
생각해 보니 세 번의 추측 A, B, C에 대하여 A < B < C의 조건이 있는 것입니까? 여러모로 문제 설명이 좀 부족합니다.
08/03/26 22:48
문제에서는 0부터 1500까지이지만 보기좋게 하기위해서 저는 일단 0은 뺐습니다.
1 <= N <= 1500의 N에 대해 1 <= A < B < C <= 1000이라고 둡니다. (A, B, C는 순서대로의 추측기회) 첫번째 1001<= N <= 1500 에 있을 확률은 1/3 A, B, C는 위범위내에서 모두 실패하게 되므로 최종 기대값은 1/3 x (-C) 두번째 1<= N <= 1000 일 경우 1회차에서 성공할경우 확률 (1000 - N)/1000 이므로 기대값은 (1000 - N)/1000 X (1000 - N) ------- p 1회차에서 실패하고 2회차에서 성공할 경우 확률 (N/1000) X ( (1000- N) / (1000- A)) 이므로 기대값은 (N/1000) X ( (1000- N) / (1000- A) ) x (1000 - N) ---- q 1, 2회 실패하고 3회차에서 성공할 확률 (N/1000) x ((N-A)/(1000-A)) x ((1000-N)/(1000-B)) 기대값은 (N/1000) x ((N-A)/(1000-A)) x ((1000-N)/(1000-B)) x (1000 - N) ----- r 3회모두 실패할 경우 (N/1000) x ((N-A)/(1000-A)) x ((N-B)/(1000-B)) x (-C) ------- s 종합하면 2/3 x (p + q + r + s) + 1/3 x (-C) 이군요... 자, 이제 나머지는 뒷분들께 부탁해 볼까요?
08/03/26 23:13
흠,뭔가 풀이가 이상한데요? 만약 목적수가 1000~1500에 존재한다면, 0,0,0 이최적이지만,
1000이하의 수라면, 맞추는게 제일좋은 것 아닌가요? 1000~1500사이에 존재한다면(그러니까 1/3확률로) -(마지막에 부르는 수)*1/3 의 기대값을 가지고/ 0~1000까지 존재한다면(그러니까2/3의 확률로) (1000-목적수)*2/3의 기대값을 가지게 되죠. 250,500,750을 불러보겟습니다
08/03/26 23:16
0만 부르는게 제일 나은듯합니다.
0을 제외한 어떤 수를 부르더라도 기대값은 0보다 낮습니다. 식으로 써 보면, y라는 값을 불렀을 때의 기대값은 선택된 수의 기대값을 x라고 할 때 (1000-x)*(y+1)/1501-y*(1500-y)/1501 입니다. 여기서 앞쪽 부분이 적용되는 경우는 x<=y인 경우입니다. 따라서 x의 기대값은 y/2가 되죠. 이제 대입해서 정리해보면 (1/3002)*(y^2-1003y+2000)가 되어 결국 0일때 최선임을 확인할 수 있습니다.
08/03/26 23:16
gangadin님//
중간에 포기하는 건 0, 0, 0 과 같습니다. 중간에 포기하게 되면 A나 B에서 멈출 때 -A나 -B를 받게 됩니다. 올빼미님// 풀이가 이상한 부분이 있다면 확률로 다시 설명해 주세요. 1000이하의 수일 경우 맞추는 것이 좋기 때문에 C는 1000을 부르는 것이 최적입니다. 125, 250, 750을 부른 경우 기대값은 음수입니다. 시뮬레이션 돌려봐도 그렇게 나옵니다.
08/03/26 23:18
R.님//
이상, 이하를 처리하는 방법 때문에 정수 1들이 자꾸 중복되어 등장하는 것 같습니다. 개념적으로 (a,b] 형태의 구간을 설정하는 것이 좋을 듯 합니다.
08/03/26 23:20
올빼미님 // 결국 1000을 불렀을 때 1001~1500사이의 수였다면 최종 스코어는 -1000점이 됩니다. 이렇게 될 확률이 약 1/3이죠.
08/03/26 23:22
항즐이님 // 제 풀이에서 숫자가 지저분한 것은 결국 0이 포함되어서입니다. 사실 1~1500까지에서 선택한다고 하면 좀 더 깔끔하지요.
기대값은 x^2-1000x가 되고 결국 숫자를 전혀 부르지 않거나 1000을 부르는게 제일 낫다는 결론에 도달합니다. 풀이는 다르지만 결국 항즐이님과 같은 결론이지요.^^
08/03/26 23:25
결국 해는 한 가지가 아닙니다.
(0,0,0)을 부르거나 포기한 경우의 기대값은 0 (A, B, 1000)을 부른 경우의 기대값은 0 입니다. 기대값은 0입니다. 다만, 분산까지 고려하면 (0,0,0)전략은 상수이고, (A, B, 1000)의 경우에는 기대값 0 주위로 -1000에서 1000까지 결과값이 분포하겠죠. (일양분포) risk - averse 라면 (0,0,0)전략을, risk - loving이라면 (A,B,1000)전략을 선택해야 합니다. risk - neutral일 경우에는 두 전략의 효용이 같습니다.
08/03/26 23:25
항즐님// N<= A 일 경우만 예로 들자면 확률은 2/3 X (1000 - N)/1000) 이 맞는 것 아닌가요? 거기다가 포인트 1000-N을 곱해야 할 것 같은데요.
08/03/26 23:27
gangadin님// 그 경우에는 확률이 2/3 X A / 1000 아닌가요?
항즐이님// 시뮬레이션은 어떻게 돌려보셨나요?
08/03/26 23:28
gangadin님//
아니죠. 일양분포이므로 발생 확률은 그냥 A/1500입니다. 경우의 수를 굳이 그렇게 나눌 필요가 없습니다. 굳이 그렇게 나눈 풀이를 원하신다면 다시 올릴 수는 있습니다만, 복잡해질 뿐, 기대값이 똑같아집니다. 살짝 적어보자면, N<1000일 경우를 나눈다면, N은 (0,1000)의 일양분포로 분포가 달라지므로, 2/3 * A/1000 * (1000-N) 입니다.
08/03/26 23:29
gangadin님//
제가 틀릴 수도 있습니다, 다만, 밑도 끝도 없이 "일단 항즐이님 풀이는 틀린 것 같습니다" 라는 표현은 거북합니다. 저는 최소한 수식으로 차근차근 전개했는데-_-+
08/03/26 23:30
lieberstukov님//
엑셀로 (0,1500)일양분포 발생시키고, (125, 250, 750) 전략의 결과값을 구했습니다. 수천~수만번 반복하면 되죠.
08/03/26 23:31
항즐이님// 제가 이과가 아닌이유로~ 이산평균인가요 그계산방식이-_-... 그걸 잘몰라서 계산하기 쉽게 그냥나누어봤습니다.
다시 생각해보니, 마지막에부른수=q, 라고 할때, (q+1)*q/2-(1500-q)q에 1500으로 나눈게 기대값같네여.
08/03/26 23:35
N<= A인 경우는
1-------------------------------------N-------------------------1000 인 상태이므로 A가 N보다 크려면 A는 1000에서 N만큼을 뺀 곳에 위치하면 됩니다. 따라서 확률은 2/3 X ((1000 - N) /1000) 가 맞는것 아닌가요?
08/03/26 23:36
항즐님// 사과드립니다, 밑도 끝도 없이는 아니었구요. 바로 댓글을 달려구 생각하고 있었어요. 근데 막 여러 의견들이 올라오다보니 읽고 생각정리하느라 댓글달 타이밍을 놓쳐버렸네요. 꾸벅.
08/03/26 23:57
gangadin님// 그것도 틀린건 아닌 듯 한데
조정하려는 변수가 A,B,C이니 이 변수들로 확률을 나타내는게 문제푸는데 더 좋지 않을까요? A,B,C는 정할 수가 있지만 N의 값은 그렇지 않으니까요.. 그리고 항즐이님의 경우는 A,B,C를 고정시키고 기대값을 구했고 gangadin님의 경우는 A,B,C를 고정시키지 않았으니 차이가 나는 것 아닐까요?
08/03/27 00:02
기대값은 마지막에 부른수를 Q라 할때,
(Q+1)Q/2-(1500-Q)Q /1500=(3Q-2999)Q/1500
이며, Q는 1000이하의 수이고...오직1000일때만 양수가성립되네요.
08/03/27 00:05
당최 일양분포에 대해 무지한지라... ^^ 이쯤에서 GG입니다. 결국 대충 수를 부르다가 이번이 마지막이다 라는 시점에서 최대치를 불러야 하는군요. 그래봤자 기대값은 본전이고. 아, 마치 도박의 속성을 보는 듯 하네요.
08/03/27 00:15
항즐이님// 0,0,0은 이해가 되는데 그럼 뒤에 답은 A,B가 어떤숫자이든 항상 기대값은 같다는건가요?
그렇다면(A,B,1000)이 아니라 (1000,0,0) 이라고 해야 답이 맞는 듯 하군요.
08/03/27 00:15
공실이님//
네 그렇습니다. 이 게임은 결국 A, B를 부르는 것이 의미가 없습니다. 실패해도 벌점이 없으니까요. 그냥 한 번 추측하여 부르게 하는 것과 다를 바 없습니다. 여러 번 부르게 한다고 해도 변하는 것은 없습니다.
08/03/27 00:22
궁금한게 있어서 몇자 올립니다. 항즐이님 하신 거 어떻게 올리신건가요? 아직 아는게 많이 없어서.. 매트랩이나 비지오 같은걸로 작성하신후 태그로 올리신건가요? 별로 스마트하지도 않은 무식한저에게 가르침을..
08/03/27 00:30
스마트토스님//
Ms word에 Mathtype을 이용해 수식을 친 것을 snag it 으로 캡쳐한 것입니다. 매트랩에 수식을 저렇게 쓸 수 있는 기능이 있나요? 비지오.. 는 뭔가요? ^^;
08/03/27 01:01
아.. ㅠㅠ 나같은 무지랭이 양민은 이제 유게마저도 올 수가 없는 것 같군요.. (2)
많은 수식을 보고 이유없는 분노를 느낍니다. 엉엉
08/03/27 04:16
0은 쉽게 생각했는데 다른 답이 있는 게 좀 의문이네요.
못 맞추면 마지막에 부른 수 차감이니까, 0으로만 3번 밀면 되는데, 맞추면 무조건 포인트차감이 일어나는 것 아닌가요?
08/03/27 11:27
쉽게 생각하자면,
처음에 부를수 있는 최대의 숫자가 1000입니다. 하지만, 선택된 숫자는 1000보다 클 수도있고, 1500까지 존재합니다. 이때, 선택된숫자를 A라고 생각하면, 두가지 경우가 발생하게 됩니다. A=<1000 의 경우와 A>1000 의 경우입니다. 첫번째 경우 점수 1000점을 받으며 게임이 끝나게 되지만, 두번째 경우 다음차례로 넘어가게 됩니다. 하지만, 플레이어는 1000초과의 숫자는 부를 수 없기때문에 이때부터는 차감점수를 최소화하기 위해 0을 부르게 되는것이죠. 결국, 처음에는 1000을 내지르고, 두번째는 아무숫자나 부른뒤, 마지막에는 0을 부르면 됩니다.
08/03/27 11:30
스타나라님//
아닙니다. 두번째 부르는 숫자는 처음 부른 숫자보다 커야 합니다. 세번째는 더 커야 하구요. 따라서 1000, 0 같은 전략은 가능하지 않습니다.
08/03/27 15:15
항즐이님// 뭐야 이거... 무서워... 하다가 물어봅니다. 첫 번째 식에서 확률이 A/1500인 것은 이해가 되는데 기대값이 1000-A/2인 이유가 뭔가요?
08/03/27 17:53
A보다 N이 작은 상황이므로, N은 (0,A]구간의 일양분포로 바뀝니다.
따라서 N의 기대값은 A/2 이고, 얻게되는 점수는 1000-N이므로 그 기대값은 1000-A/2 입니다.
08/03/27 22:00
항즐이님// 대답 감사합니다. N이 0에서 A까지 동일한 확률로 나타날 것이기에 기대값이 A/2이고, 결국 1000-A/2라는 거죠? 흥미로운 것은 기대값을 N으로 하나 1000-N으로 하나 곡률만 다를 뿐 X축과의 교점, 즉 해는 같네요? 조금 특이하네요. ;;;
08/03/27 22:27
1000이나 0이 답이 맞고요
일단은 마지막이 1000이나 0에서는 본전을 건지게 됩니다 a=처음 골라진수 나머지 경우에대해서 마지막에 n 까지 부른다면 1500-n/1500의 확률로 n을 잃고 n/1500의 확률로 1000-n의 값을 얻게됩니다 저걸 더하게 된다면 2차함수서 ax^2+bx+c=y 이것에서 a의 값이 양수를 얻기때문에 0초과1000미만에서는 음수해밖에 나오지않으므로 마지막에 1000이나 0을 부르는것이 이게임의 최대값이 됩니다
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