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07/01/16 22:41
이거 얼마전에도 올라와서 엄청난 논란(?)을 일으키고 많은 수의 리플과
새로운 글이 올라온 다음에야 끝났던 그 유명한 문제군요... 다른 것 다 필요 없고 그 때 올라왔던 글에서 계속 확률이 1/2 라고 하시던 분을 설득시켰던 "세츠나" 님의 예시를 허락없이 그냥 퍼다 붙여 봅니다. 복권을 10000장 발매했습니다. 나는 복권을 한장 샀습니다. 이때 내가 산 복권이 당첨복권일 확률은 1/10000 입니다. 번호는 0000부터 9999까지입니다. 그 중에 잘못 발행된 번호가 있어서 9999번은 인쇄가 되지 않고 9998번이 중복 발행이 되었습니다. 그래서 그 두 개의 번호는 절대 당첨번호가 아니라는 사실이 발표가 되었습니다. 이 때 확률이 변할까요? 당첨번호는 이미 정해진 상태였고, 9998과 9999는 절대 당첨번호가 아니라는 사실이 알려졌습니다. 그렇다고 내가 이미 산 복권의 당첨확률이 올라갈까요? 그 시점에서 모든 사람이 복권을 새로 구입한다면 올라갈 것입니다. 혹은 0000부터 9997까지 중에서 당첨번호를 다시 랜덤하게 결정한다면 역시 당첨할 확률은 올라갈 것입니다. 그러나 나중에 아무리 '이 번호는 당첨되지 않습니다' 라는 정보를 준다고 해서 자신이 쥐고있는 복권의 당첨확률이 올라가진 않지요. 아니면 내가 복권을 선택한 후 주최자가 하나씩 아닌 번호를 줄여나가서, 마지막에 두 번호만 남았다고 합시다. 이 때, 복권을 바꿀 기회를 주었다면? 육도열화님의 생각대로라면 분명 1/2일겁니다. 바꾸거나 바꾸지 않거나 마찬가지란 거겠죠. 하지만, 바로 그러한 경우의 수가 9999가지가 있는겁니다. 주최자의 입장에서 생각해보십시오. 처음에 내가 가진 복권이 당첨일 확률은 1만분의 1밖에 되지 않습니다. 주최자는 결국 '두 개'의 선택지만 남기고 9998개를 줄여야하죠. 결국 내가 처음에 찍었던게 꽝이었다면, 반드시 당첨이 남게된다는 겁니다. 주최자가 9998개를 줄였으므로 바꾸면 반드시 당첨인겁니다. 내가 처음에 맞게 찍었다면? 바꾸면 틀리죠. 하지만 그럴 확률은 1만분의 1밖에 되지 않습니다. 그러므로 바꾸어야 하는겁니다. 아만자님이 제시한 게임을 할때 바꾸지 않는 결정을 미리 내린다면 그건 정말 주최자 입장에서는 봉 밖에 안됩니다. 난 이미 꽝을 찍었고 9998개를 '어떤 순서로 줄이건' 남은 것은 반드시 당첨복권인데, 바꾸지 않으니 정말 어처구니가 없을 겁니다. 하지만 애초에 내가 당첨을 쥐었을 확률은 1/10000입니다. 그런데 주최자가 9998개를 줄여주었다고 이것이 당첨일 확률이 상승했다고 생각하는 것은 정말 어이없는 일입니다. 왜냐, 내가 이 복권을 이미 손에 쥐고있으니까요. 확률의 바깥에 나간거죠.
07/01/16 22:42
자 아주쉽게설명해드릴께요 머릿속은 백지상태에서 들으시면 좋을 것 같네요. 먼저 첫번째 3개중 하나를 택할때에 '꽝'을 선택할 경우가 2/3 이가 되겠죠 ? 이건 100%사실이죠 ? 여기서 짚고 넘어가야할점 처음 '꽝'을 선택하고 나중에 바꾸었을때 당첨될확률은 100%가 되겠죠 ?(꽝을 가지고 있고 꽝을 개봉했으니 나머지는 100% 당첨 ) 그러므로 꽝을 선택했을 확률이 높으므로 바꾸었을때 당첨될 확률이 높아지는거죠
07/01/16 23:03
저도 이 문제는 이해하겠는데, 한가지 의문이 있습니다;
문이 2개 남았을때 바꾸지 않겠다는건 2개중에 내가 골랐던것을 다시 선택하는 (1/2) 확률이라곤 생각 할 수 없는가요?; 명쾌한 답변 부탁드립니다
07/01/16 23:17
^^; 리플주신분들, 특히 일벌님 감사합니다.
도 트는 소리가 들리는군요. 복권 예시는 명쾌하게 알아들었는데 그게 쉽게 자동차 1/3 확률엔 적용이 머릿속에 안되더라구요; 방금 뇌내 보완을 통해 겨후 이해 완료했습니다;
07/01/16 23:18
teatime//문이 두개 남았을때 다시 선택하는 것이라고 생각해도 마찬가지입니다.
애초에 한 문은 제거대상이 아니었습니다.(꽝이될 리스크 0%) 그러나 다른문은 제거될 리스크를 넘기고 살아남은 문입니다. 따라서 다른문을 선택하는것이 더 확률이 높습니다.
07/01/16 23:20
전 오히려 글쓴분 생각이 더 이해가 안되네요. 이미 알고 있건 말건, 결과는 같습니다. 사회자가 문을 열어준다는것을 내가 미리 알고 있다고 해서 그 확률이 변하는건 아닐텐데요.
07/01/16 23:23
차시간님// 방금 깨달은 김에 제가 말씀드려도 될런지 모르겠네요;
1/3 이건 2/3 이건 암만 분수를 써도 제 머릿속엔 쉽게 연상이 안되어서 '모든 경우의 수를 나열' 해 보았습니다. 3개밖에 안되어서 오히려 그게 더 낫더군요. 문1, 문2, 문3이 있습니다. 자동차는 무조건 문3에 있구요, 물론 당신은 어느문에 차가 있는지 모릅니다. *****문을 바꾸지 않을경우******** 문1을 선택............꽝 문2를 선택............꽝 문3을 선택............자동차~~ *****문을 바꾸는 경우******** 문1을 선택....(사회자가 문2를 삭제)... 바꾸고 자동차~~~ 문2를 선택....(사회자가 문1을 삭제)... 바꾸고 자동차~~~ 문3을 선택....(사회자가 문-암거나- 삭제)... 바꾸고 (뭘 선택하든지) 꽝 이게 모든 경우의 수입니다. 바꾸지 않으면 쓰여있는 그대로 1/3 의 확률로 당첨이구요, 바꾸는 경우에도 쓰여있는대로 2/3의 확률로 당첨이 되네요 ^^;; 어서 깨우치셔서 저와함께 행복을 느껴봐요~ -_-;;
07/01/16 23:24
글쓴이//만약 사회자가 랜덤하게 열어서 상품이 나오면 그냥 끝내고.
꽝이 나오면 그냥 진행하는 형태였다면 1/2입니다. (전에 한분하고 쪽지로 이야기 했었는데 결론이 이렇게 나더라구요.) 그러니 본인은 사회자가 어떤 진행방식을 택할건지에 대한 정보가 완전하지 않다면, 진행방식 선택 확률이 내것의 당첨확률의 변화를 가져옵니다. -_-; 말이 너무 복잡한가요? 어쨌든 몬티홀 조건일 확률이 높을수록 바꾸는게 유리하고, 랜덤 공개일 확률이 높을수록 1/2에 수렴합니다.
07/01/16 23:53
문제에선 분명히
'문 하나를 골랐습니다. "그러자 " ' 라고 사회자의 행위가 의도치 않게 발생함을 나타낸다고 생각합니다. 단발성 이벤트로 처음부터 사회자가 꽝을 열 의도가 있었는지 없었는지를 2차선택을 할때까지 알 수가 없다면 ------------------- 위 내용은 저도 예전에 문제가 나왔을 때 지적한 사항인데요, 저 상황이 예기지 않은 상황이라면 수학적 확률 문제로 부적합한 문제입니다. 사회자는 항상 그래왔다는 규칙이 있어야 수학적 확률 문제로 적합하죠. 예를 들어서 똑같은 문제인데, 돈독이 잔뜩 오른 야바위꾼이 접시 세개 중에 하나가 당첨인 접시를 열심히 돌렸습니다. 그래서 내가 하나를 골랐더니 야바위꾼이 살짝 움찔하더니만, 고르지 않은 접시 중 하나를 뒤집어서 꽝인 것을 알려주고 다시 선택할 수 있는 기회를 준다고 합시다. 그럼 여러분은 바꾸는게 2/3의 확률이니까 바꾸시겠습니까? 그럴 수 없겠죠. 왜냐하면 돈독이 오른 야바위꾼이 다시 바꿀 기회를 줬다는건 내가 첨에 고른게 당첨이라는 방증이니까요. 만약 당첨을 고르지 않았다면 다시 고를 기회를 주지도 않았을 것입니다. 비슷하게 위 문제에서도 문맥상 사회자가 예기치않은 행동을 한 것으로 오해를 줄 수 있어서 더욱 헷갈리게 되어있습니다. 저 쇼의 규칙(사회자는 참가자가 고른 문 이외의 다른 문 중 꽝인 문을 열어주고 다시 선택할 수 있게 한다.)을 설명해 주었다면 좀 더 수학적인 확률 문제로 좋을 것 같습니다.
07/01/17 00:11
"" http://blog.naver.com/arukaize?Redirect=Log&logNo=90011688926 ""
이것도 읽어 보시면 재미있습니다. 3번째 이야기가 같은 이야기인데...
07/01/17 00:12
아만자님// 그렇군요!
야바위 예시가 나오니까 알수 없는 개운치않았던 부분이 다 풀리네요 ^^ '사회자가 출연자를 떨어뜨리기 위해 출연자가 자동차를 골랐을때에'만' 꽝인 문을 여는 액션을 취한다' 라는 명제가 참일까 거짓일까는 출연자는 알수 없기 때문에 거기서부터 새로운 확률이 탄생할수 있는 여지가 생겼던 것이군요 ^_^
07/01/17 00:28
김상묵님// 문제들이 가히 예술적이군요 -_-;
3번째 문제, 도대체 확률이 왜 바뀌는지 오늘중으론 이해하기 힘들것 같습니다. 그냥 오늘은 자고 천천히 생각해 봐야겠네요 --;
07/01/17 04:14
아만자님//
물론 문제의 어휘가 명확하지는 않지만 수학문제에서 인물의 의도나 그런것을 따지기 시작하면 벌써부터 수학문제가 아닌 것 같은데요.
07/01/17 06:42
한숨자고 일어나서 새벽공기마시며 신문돌리다보니
뭐가 문제였는지 확실히 정리가 되네요. 분명히 처음 제가 문제를 제기했던 문장이 가장 중요한 실마리이고 이 문장을 어떻게 해석하느냐에따라 결과는 달라집니다. 문제가 정확해지기 위해선 그 부분을 좀 더 보완할 필요가 있다는 겁니다. 한분한분 반박해 보겠습니다. 개념less님// 물론 처음부터 '검색을 통해서' 이 문제를 보게 되었습니다. 아만다님께서 덧글 후반에 저와 같은 부분을 짚고 넘어가셨는데 그에 동조하는 분위기도 없고, 제가 같은내용의 글을 써봐도 결국 제자리걸음의 설명들 뿐이지 않습니까? workbee님// 똑같이 복권 10000장을 예로 들겠습니다. 주최측은 처음부터 상품을 지급할 의도는 없다고 가정하겠습니다. 9999/10000 의 확률로 상품은 지급되지 않습니다. 하지만 그 만의 하나. '내'가 당첨복권을 뽑아버린 겁니다. 주최측은 어떻해서든 내가 복권말고 꽝으로 옮기길 원해서 9999개의 꽝 중에 9998개를 열어제낍니다. 여기서 '나'는 고민합니다. '내가 당첨복권을 뽑든 말든 9998개의 꽝을 공개할 예정이었다면 이 회사는 돈이 많아서 그냥 상품을 주기위한 이벤트를 연 거고 나는 선택을 바꿈으로써 9999/10000의 확률을 가져갈 수 있다' 와 '내가 뭘 뽑든간에 이 회사는 랜덤으로 힌트(꽝 9998개공개)를 줄지 안줄지 결정해서, 힌트를 준다. 그런데 운좋게 힌트가 나왔으니 난 지급된 힌트를 바탕으로, 선택을 바꿈으로써 9999/10000의 확률을 가져가는 결론을 내릴수 있다', 그리고 '이 회사는 돈이 없어서 처음부터 상품은 줄 생각도 없었는데 내가 당첨복권을 뽑아서 어떻게든 내 판단을 흐리게 하고 선택을 바꾸게 하기 위해 (그리고 위의 계산과정을 통한 결론으로) 당첨복권을 뽑았을 경우에 한해서만 나머지 꽝들을 공개한다' 이 세가지 문제입니다. 그런데 위의 두개는 결국 같은 말입니다.(힌트는 이미 지급 '된' 상황이니) 주최측이 당첨금을 지급할 의도가 있는지/ 없는지 로 나뉘지요. 남은 선택지는 결국 두개입니다. 헷갈리지 말아야 할것은, 복권 2개중에 하나를 골라서 1/2이 아닙니다. '주최측이 상품지급을 훼방하는가/ 아닌가' 를 판단하는 1/2 입니다. 그건 알 수가 없어요. 그래서 확률로 놓습니다. 주최측이 상품을 주던말던 상관없다고 판단한다면 이미 공개된 힌트를 통해서 당연히 선택을 바꿔서 9999/10000의 확률을 가져갑니다. 주최측이 상품을 주지 않을 것이라고 판단한다면 당연히 자신이 처음 선택한 복권이 당첨복권이라는 말입니다. 그래서 '내'가 그런 주최측의 의도를 아느냐 모르느냐가 가장 중요한 단서가 되는 거고, 그게 불분명하거나 곡해의 여지가 있는 이 문제에는 수정이 필요하다는 거죠. 다들 문제 수정따윈 필요없이 답은 하나라고 말씀하시는데, 그게 틀렸다는 겁니다. Rookie-Forever님, As it were님, 무지개곰님// '주최측이 선택지 하나를 삭제할 것을 처음부터 알고있다' 또는 '주최측은 선택지를 삭제할수도 하지 않을수도 있지만 내가 당첨복권을 선택하던 꽝을 선택하건 상관없이 선택지 삭제를 행한다' 라는 경우'만'을 놓고 봤을때 계산하는 공식은 이미 알고 있습니다. 공실이님// 사회자가 랜덤이고 아니고는 제가 계산할수 있는 한계를 넘어서서 잘 모르겠구요 (-_-;;) 선택자가 그 진행방식에 대한 정보를 아느냐 모르느냐가 가장 중요해집니다. 그 정보를 알면 당연히 큰 확률을 따라가고, 그 정보를 모르면 진행방식의 함정(위에 길게 설명했습니다;;)까지 염두에 두지 않으면 안되지요. keke님// workbee님께 단 덧글 후반부를 읽어보세요. 그걸 아느냐 모르느냐가 가장 중요한 문제가 됩니다. nuzang님// 인물의 의도를 모르기 때문에 그걸 확률로 넣는 겁니다. 애초에 '사회자(&주최측)이 수작을 부릴 속셈이었다/아니다' 이 두가지를 놓고 새로운 확률이 탄생한다고 생각합니다. 그 의도를 모르기 때문에 새롭게 남은 두 선택지를 놓고 1/2 의 확률이 되네요. 그리고 원래 문제 자체에 헛점이 있는경우, 대부분의 정답은, '문제의 이러이러한 부분의 설명이 부족해서 성립안됨. 이러이러한 조건을 추가하는게 문제로써 완벽해지고, 그 조건이 추가 되었다면 정답은 무엇무엇이 됨' 이라는 식으로 결론이 나기 마련인데 어째 이 문제는 큰 헛점이 있고 그게 해답 도출에 가장 큰 영향을 주는데에도 불구하고 '문제가 어찌되었든 정답은 이것' 이라는 결론이 대세라서 납득할 수가 없는 겁니다. FIsher_Ob님// 그러니까 이 프로그램 자체가 '사회자가 수작을 부릴 의도는 아니다' 라는 전제하에 계산되는 공식이잖아요? 어차피 어려운 분수도 아니고 기껏 1/2 1/3 2/3 정도 밖에 안나오는 계산인데 그걸 코드까지 짜면서 멀리 돌아갈 필요는 없겠습니다. 지금 하는 얘기는 수작을 부리나/안부리나 이고, 그걸 모르는 선택자는 결국 1/2의 확률을 놓고 결정해야겠지요.
07/01/17 07:35
아만자님 말씀이 옳아요... 이게 단발성 이벤트이면서 사회자가 꽝인문을 열어준다는것이 애초의 규칙이 아닌한 바꾸던지 말던지 그건 심리전의 영역이죠. 수학문제가 아닙니다.
다만 사회자가 꽝인문을 열어주는 것이 애초에 약속되어있는 것이었다면 당연히 바꾸는게 유리합니다. 이문제의 함의는 조건부확률이나 사건의 개념 같은것을 심어주는 교육적인데 있는 것이지, 마치 수학확률이 실생활에는 적용되지 않는다 .. 는 식의 오해를 불어일으키는 것이 아닙니다.
07/01/17 08:05
이 문제는 유명한 속임수 문제일뿐입니다. 애초에 두개의 독립적인 사건이 있습니다.
사건 1. 처음 3개의 문이 다 존재할 때 하나 선택하는 사건 사건 2. 꽝 하나가 공개되고 2개의 문만 남았을때의 사건 이 두개의 사건이 서로 연결되어 독립사건이 아니라고 착각하기 쉽지만, 그래서 조건부 확률을 계산하고 복잡한 생각을 유도하게 되지요. 이게 다 속임수입니다. 지금 문제는 사건 2에서 1) 애초의 선택 유지 2) 선택을 바꿈 둘중에 무엇이 유리한가에 대한 겁니다. 정답은 유불리 없이 정확히 1/2일뿐입니다. 사건 1과 사건2는 완전히 독립되어있는 개별 사건일뿐입니다. 저런 쇼가 실제로 있다면 제법 복잡하게 쇼를 하고 있는 것에 불과합니다. 처음부터 문2개만 만들어 놓고 고르라고 하는 것과 전혀 다르지 않다는 거죠. 야만자님의 지적대로, 사회자의 행동은 그저 심리적 싸움을 거는 것일뿐, 수학적 확률에는 변함이 없습니다. 제가 알기로 몬티 홀 문제는, 사회자는 애초에 약속된대로 두개의 꽝 중 하나를 오픈해주는 것일뿐이죠. 첫번째 시도에서 무엇을 골랐든 말이죠. 즉, 오리지널 몬티 홀 문제의 정답은 1/2. 선택을 바꿀 필요가 없다. 이고, 사회자의 심리전이 가미된다면, 이건 더이상 확률의 문제가 아닌거죠.
07/01/17 09:14
마술피리님/ 오리지널 몬티 홀 문제는 약속된대로 선택하지 않은 꽝중 하나를 오픈해주기 때문에... 바꿀 경우 2/3입니다. -_-; 바꾸어야 좋습니다.
심리전이 가미된다면 확률로 계산할 수 없는것은 맞구요. 그런데 저런 문제가 나왔으니 확률로 계산할 수 없는데도 경험적 심리상 계산해보고 싶어지거든요. 그래서 세상을 살아가는 경험적인 심리상 -_-; 바꿔도 바꾸지 않아도 확률은 1/2정도인 것처럼 보일 수도 있습니다.
07/01/17 11:13
다들 정말 어렵게들 하시네요..무슨말인지 이해가 안가는 것도 있다는^^:;
그냥 간단히 생각해서 자신이 어던 문을 선택 하던지 사회자는 꽝하나를 공개 하죠.그럼 남은 문은 두개 꽝 자동차 여기서 다시 선택을 할 기회를 주니 결국 1/2 확률이란 거죠. 마술 피리님 말대로 서로 따로 두고 생각을 해야죠 연관되어 있다고는 생각이 들지 않네요. 누군가 복권 예를 들어서 해보겠습니다.복권이 10000장이 있다고 합시다.1~10000번.그 중 하나를 제가 샀는데 복권 인쇄가 10000번이 없고9999번 2장 인쇄되어 그 두장은 당첨 복권이 아니라고 공개했습니다.그러면 복권이 9998개 남죠.여기서 당신은 복권을 바꿀 수 있습니다.여기서 다시 당신이 복권을 선택 할 때 당첨확률은 어떻게 될까요?당연히 복권이 두개가 준만큼 확률이 올라가게되죠. 그리고 야만자님 2/3의 확률은 처음 3개 있을때 상대편이 가지는 확률입니다. 문을 하나씩 따로 보면 각각1/3의 확률을 가지고 있죠.여기서 상대 편의 꽝하나를 제외시키면 상대편도 문이 하나남게 되는거죠. 그러면 결국 문이 하나씩 남아 문이 두개가 되죠.여기서 다시 선택할기회가 주어지면 각각의 문에 당첨 확률이 1/2씩 있게 되는겁니다.문제에서 바꿀기회를 준다는 건 자신이 다시 선택할수 있다는 것과 같은 의미로 생각하면 쉽게 생각되지 않을까요?
07/01/17 11:25
저는 제생각 대로 모든 걸 다 풀어서 써봤는데요..=ㅁ= 아만자님 말씀하고 비슷한 결론이 나오네용..=ㅁ= 일단 3번이 당첨이라고 가정을 하고 각각각의 경우의 수를 다 풀어서 써보겠습니다..
1선택->2번보여줌->1재선택 이경우의 경우 1을 선택할 확률이 1/3 이고 사회자가 2를 보여줄 확률은 1이 됩니다.(3을 보여줄수 없기 때문이죠) 그리고 다시 재선택 1이라 함은 1/2 가 되겠죠 (그냥 원래 선택이라 하는것은 마지막에 설명하겠습니다.) 그러면 1을 선택하고 2를 보여주고 1을 재선택할 확률은 1/3 * 1 * 1/2 가 되므로 1/6이 되죠 2의 경우도 마찬가지라서 1/6이되구요 3을 선택할 경우 1과 2를 보여주는 두가지 경우가 있는데 3을 선택하는 경우 1/3이 되고 1을 보여줄 확률은 1/2가 되고 다시 3을 선택하는 경우는 1/2가되어서 1/12가 되고 2를 보여주고 3을 다시 선택하는 경우는 마찬가지로 1/12 가 되게 됩니다. 즉 1->2->1, 2->1->2, 3->(1or2)->3 의 각각의 경우가 1/6이 되고요 꽝을 보여줬을 때 재선택으로 같은 것을 고를 확률 (엄밀히 얘기하면 똑같은 걸 유지하는 경우) 는 1/2 가되구요 그때 맞출확률은 3->1or2->3 인경우 이므로 (1/6)/(1/2) 가 되므로 안바꾸고 맞출 확률은 1/3 이 됩니다.
07/01/17 11:42
반대로 바꿔서 맞출 확률을 다시 생각해 보겠습니다. 이는 1->2->3 과 2->1->3 그리고 3->1->2 와 3->2->1 이 되게 되는데 1->2->3 의 경우 마찬가지로 1/6 이되고 2->1->3의 경우도 1/6이 되게 됩니다. 3->1->2의 경우는 1/12 가 되고 3->2->1의 경우는 1/12 가 되죠 결국 꽝을 보여주고 바꿀 확률은 1/2가 되고 맞출경우는 1->2->3 과 2->1->3의 경우 이므로 (1/3)/(1/2) 가 되므로 2/3 이 바꿔서 맞추는 경우가 됩니다. 즉 경우의 수로 만 따지면 2/4 가 되지만 각각의 경우의 확률이 모두 같은 확률을 지니지 않기 때문에 2/4가 될수는 없습니다. 질문을 드리겠습니다. 그럼 내일 비가 올확률이 20%이고 비가 오지 않을 확률이 80%인데 내일 비가 올 확률은 비가 오고 안오고 두가지 경우의 수밖에 없기 때문에 1/2인가요??? 문제가 너무 유치하죠..=ㅁ=:;; 즉 경우의 수로 보면 2가지 사건이지만 각각이 일어날 확률이 다르다면은 그냥 1/2가 되지 않는 것을 의미 합니다.
07/01/17 11:54
락타아제님/ 비가 올 확률은 저희가 선택하는게 아니지 않습니까.그건 어쩔 수 없는 거라고 생각합니다만..
그리고 이문제는 마술피리님 말대로 각각 독립된 문제로 봐야지 그게 연관되어있다고는 생각하지 않습니다. 간단히 생각해서 사회자가 우발적이 아닌 남자가 어떠한 것을 선택하던지 꽝하나를 제외시킨다고 칩시다.그러면 남는문은 두개.여기서 의 확률을 게산해야된다고 생각합니다만. 애초에 어떤문을 선택해도 꽝하나가 없어지게 되니 그 후 사건 두개가 남았을때의 확률만 생각하면 된다고 생각합니다.
07/01/17 12:09
다시 본문을 읽어 봤습니다. 그런데 사회자가 무조건 꽝하나를 연다는 것은 없네요..흠...그럴때는 심리전이 가미되어 잘모르겟습니다.사회자가 안열 수도 있지않습니까. 그냥 단순히 사회자가 무조건 꽝하나를 열어 준다고 하면 각각의 사건을 독립된 사건이라 생각이 되네요. 뒤에 사건은 앞에서 어떤 것을 고르던지 결국 문이 두 개만 남게되어 그 두 개중 하나를 선택하는 상황이 오게 됩니다. 결국 앞사건은 뒤에 사건에 영향을 주는게 없죠.그래서 두 사건을 각각 독립된 사건으로 봅니다.
07/01/17 12:31
일단 백수님께 낸 문제가 아니라서 긴급 수정을 했구요 마술피리님과 백수모드 님의 생각처럼 1번째와 2번째 사건은 독립이 아닙니다. 확률 계산을 해보시면 충분히 아실 수 있을 꺼 같습니다. 독립일 경우 둘다 1/2가 나와야 하지만 첫번째 사건까지 계산해 보면 2/3이 나오게 되거든요
07/01/17 12:32
마술피리님이 농담으로 저런 이야기를 한거라고 생각했는데, 진지하게 받아들이는 분이 있으니 난감하군요.
원래 몬티홀문제는 머리로는 이해되지만, 가슴으로는 이해가 잘 되지 않는 문제입니다. 왜냐하면 사람들은 최초의 선택에 대해 틀리지도 모른다라는 것을 쉽게 인정하기가 힘들기 때문에 문이 열린 전과 후를 완전히 분리해서 생각하기 쉽상입니다. 그래도 고등학교 수학-확률과정을 정상적으로 공부하신 분들이라면 틀리지는 않죠. 그러면 몬티홀문제를 변형해보면 어떨까요? 문이 100개가 있습니다. 그 중에 상품이 1개의 문안에 있습니다. 먼저 도전자가 문 하나를 선택합니다. 그러면 사회자가 나머지 99개의 문중에 상품이 없는 문98개를 열어줍니다. 여기서 다시 도전자에게 변경의 기회를 한번 더 줍니다. 도전자는 선택한 문을 바꿔야할까요 말아야할까요?
07/01/17 13:00
비스무리한 문제. 흰색 아니면 검은색 구슬이 한개 있는 주머니가 있다. 그 주머니에 흰 구슬을 하나 더 넣고 흔든 다음,임의로 구슬 하나를 꺼내라. 꺼낸 구슬이 흰색이었다면 남아있는 구슬이 흰색일 확률은? 답 2/3
07/01/17 13:13
음..락타아제님 계산은 두번째 과정으로 계산한건 상자를 열 확률이지 당첨 확률이 아닙니다. 3번을 선택했어도 두번째는 100%로 꽝이기 때문에 1로두고 생각해야 되죠.그러면 같은 확률이 나와 독립 사건이 맞습니다.
07/01/17 13:48
그리고 혹시 3-1-2에서 1/3 * 1/2 *1/2 에서 마지막의 1/2가 1로 되어야 한다는 것이라면 제가 계산을 잘못하긴 했지만 답은 변함이 없는 것 같습니다. 바꿔서 맞추는 경우를 생각해 보면 1을 고를 확률 1/3이고 2를 보여줄 확률은 1이 맞죠 그리고 3으로 바꾸기 때문에 1을 곱하는 것이 맞아 1/3이 됩니다. 2의 경우도 마찬가지구요 그리고 3을 선택하는 경우 사회자가 1이나 2 둘중하나를 보여주기 때문에 1/2가 들어가고 그다음에 바꾸는 것은 1이 되죠 그렇게 되면 3-1-2 와 3-2-1의 경우는 각각 1/6이 되구요 이렇게 바꾸는 경우를 합쳐보면 총사건의 확률은 1이되고 이 때 맞추는 경우는 (1/3) *2가 되므로 (2/3)/1 이되어서 2/3은 변함이 없는것 같습니다.
07/01/17 14:23
한 30~40분 인터넷을 찾아본것 같네요.
아직 이해가 잘 안갑니다..그래도... 결국 이문제를 쉽게 생각하면 문하나를 선택했을때 너 문 그대로할래?아니면 나머지 두개의 문이랑 바꿀래?이거 같네요..맞나??어떤 문을 선택해도 나머지 문에는 꽝이있으니 그하나를 미리 보여준 셈이고요..이렇게 이해하는게 맞나요??^^;; 아무튼 제가 우긴건 마지막에 상품 탈확률을 단순히 나타낸거고 이문제는 지켰을때와 바꾸었을때의 유불리를 나타내는 거네요.지켰을때 탈확률 바꾸었을때 탈확률..전 단순히 둘 중 하나를 선택했을 때 탈확률을 나타낸거고요.. 제가 잘못 생각한거 같습니다.^^:;
07/01/17 15:48
아만자님의 설명이 옳은것 같습니다..
정보의 차이마다 각각의 확률을 따로 고려해야하고.. 서로 다른 정보상태의 확률은 비교불가하다 생각합니다.. 역시...생각하면 생각할수록...된다 아니면 안된다..인생 1/2네요.. 전 이번주 1/2확률로 로또를...
07/01/17 16:12
고등학교 수학에서 나오는 복권문제랑 같은것 아닌가요..
20장의 복권이 있고 2장의 당첨복권이 있는데 A와 B가 "순서대로" 복권을 뽑으면 A가 당첨복권을 뽑을경우 B가 당첨될 확률은 내려가고 A가 꽝을 뽑을경우 B가 당첨될 확률은 올라가는거죠.. (두개를 종합하면 먼저 뽑으나 나중에 뽑으나 당첨확률은 그게 그거다 라는 결론이 나오죠) 이걸 적용시키면 위의 경우에서는 진행자가 일부러 꽝을 뽑았기 때문에 진행자보다 나중에 뽑는게 확률이 더 높다는거..
07/01/17 16:24
아만자님이 무슨 말씀을 하시는지 알겠네요.
사회자가 어쩔때는 꽝인 문을 열어주고 어쩔때는 문을 안열어준다면 확률이 1/2가 맞겠지요. 하지만 어디까지나 수학문제인만큼 있는 그대로 받아드려야 한다고 생각합니다. 사회자는 꽝인 문을 열어주었고 언제나 열어준다고 가정 해야지요. 그러면 사회자의 의도가 무엇이든 바꾸면 맞을 확률이 2/3이 되는거 아닌가요.
07/01/18 10:15
제가 중학교 수학 수준에서 완벽하게 설명해 드리죠.
사회자는 항상 꽝인 문을 열어준다를 가정하고 1/3 당첨 * 1/2 (바꾼다) = 1/6 꽝 1/3 당첨 * 1/2 (바꾸지 않는다) = 1/6 당첨 2/3 꽝 * 1/2 (바꾼다) = 2/6 당첨 2/3 꽝 * 1/2 (바꾸지 않는다) = 2/6 꽝 총 당첨확률은 1/6 + 2/6 = 1/2 선택의 유보는 존재하지 않으므로 (바꾸거나/바꾸지 않거나) 전체 기대값1에서 바꾼다의 기대값은 2/3. 바꾸지 않는다의 기대값은 1/3 바꾸어서 당첨될 확률은 2/6, 꽝일 확률은 1/6 그러므로 바꿀 경우 | 당첨의 확률은 2/3 같은 방식으로 바꾸지 않고 당첨될 확률은 1/6, 꽝일 확률은 2/6 바꾸지 않을 경우 | 당첨의 확률은 1/3 말장난은 사회자가 꽝을 열어주는 것을 선택자가 알고 말고 하는데 있는 것이 아니라 마지막 결론을 내릴 때 바꾸는 것과 바꾸지 않는 것이 서로 별개의 사건으로 나타나는데 있습니다.
07/01/18 10:24
사회자가 랜덤하게 문을 선택할 때
1/3 당첨 * 1/2 (바꾼다) = 1/6 꽝 1/3 당첨 * 1/2 (바꾸지 않는다) = 1/6 당첨 2/3 꽝 * 1/2 (꽝) * 1/2 (바꾼다) = 1/6 당첨 2/3 꽝 * 1/2 (꽝) * 1/2 (바꾸지 않는다) = 1/6 꽝 2/3 꽝 * 1/2 (당첨) = 1/3 꽝 총 당첨 확률은 1/3 바꿀 기회가 생길 경우엔 바꾸거나 바꾸지 않거나 당첨확률은 1/2
07/01/18 13:21
일단 아만자님의 의견자체가 틀린것은 아닙니다만, 수학적인 이런 문제에 있어서 문제자체에서 이미 열어줬다고 하는데 사회자의 심리나 그런것을 염두에 둘 필요는 전혀 없다고 생각합니다.
전에도 이점을 자꾸 주장하시던데, 참 고집이 강하시군요 -_-; 만약 사회자가 멋대로 그렇게 열어줬다 말았다 한다면 문제가 바뀌어야 겠죠. 아만자님의 의견은 괜히 문제만 더 복잡하고 헷갈리게 만드는것 같네요.
07/01/19 03:51
리플 다 읽어보진 못했습니다만..
66v님/ 그런 다양한 경우에 대해서 고찰한 결과를 어떤 수학교육학회지에 정리해서 올린 것을 본 적이 있습니다. 지금 다 기억은 나지 않는데, 대략 다섯가지 정도의 시나리오를 생각해 보고 확률 계산을 해 보고(사회자의 행동이 우발적인 것이었다면 과거 쇼에서부터 확률을 계산해 볼 수 있다는 시나리오 등등), 이러한 내용을 학생들에게 어떻게 가르쳐야 하는가 하는 내용이었는데, 여튼 결론은 미리 정해진 규칙대로(무조건 꽝인 문을 열어준다) 행해지는게 아니라면 고려해야 할 요소가 많아지고(심리적인 면 포함) 단정적으로 계산하기는 어렵다는 것이었습니다. 즉 제기하신 의문이 타당하다는 것이죠. 참고가 되셨길. 덧/ 리플을 조금 읽어보니 이미 비슷한 지적이 있군요. 워낙 유명한 문제이고, 확률 초보자의 직관을 무너뜨리는 문제이다보니 더욱 얘깃거리가 많은 것 같네요. 심리적인 측면까지 고려해서 확률의 틀로 생각해 보는 것도 의미가 없진 않을 듯하네요.
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