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06/12/05 23:04
아...... 이거 고3 10월달 모의고사 수리영역 확률문제로 나왔었죠.....
구하는건 선택을 바꾸고 난 후의 상(?)을 탈 확률이었었는데.... 그 전제가 바꾸는것이 더 좋다~ 였던걸로 기억합니다..... 왜 그런지는 정재승님의 과학콘서트 보면 잘~ 나와있으므로 전 패스....
06/12/05 23:06
"정답은 바꾸는 것이 더 좋다." 일겁니다. 아무 상황에서나 적용한는 확률이 얼마나 무의미한것인지 보여주는 문제중 하나라고 볼 수 있죠.
06/12/05 23:10
일단 처음에 무엇을 선택하든 다시 둘중 하나의 선택이 있습니다..
그러므로 결국 처음부터 1/2의 확률이라는 말이므로 바꾸나 안바꾸나 확률은 똑같을것으로 보이는데요
06/12/05 23:11
하만™//
저도 이문제 처음봤을때 바꾸나 안바꾸나 똑같은주 알았는데 그게 아니더군요. 저는 이문제를 처음에 티비에서 접했는데 어떤 수학자가 나와서 설명했다는..
06/12/05 23:12
이프님//음.. 그러니까 제가 푼 건 아니구요. 제가 좋은 대학을 다녔던 터라 퀴즈를 즐겨하고 또 미친듯이 잘하는 친구들이 많았는데 그 놈이 설명하는게 참 명쾌했거든요. 그냥 문을 10개 100개 이렇게 늘려버리면서 사고해보면 됩니다. 그럼 예를 들어 100개 중에 내가 고른 것은 1/100이고 나머지 99개 중에 정답이 있다면 99/100 이 되겠죠? 그런데 그 99개중에 98개가 다 꽝이라는 걸 사회자가 보여줍니다. 지금 바꾼다는건 바로 99개를 모두 선택하는 확률과 다를 게 없죠. 그러므로 당연히 바꿔야 됩니다. 왜냐면 1/100보단 99/100이 훨씬 확률이 크니까. 라고 저는 설득당했습니다-_-;;
06/12/05 23:13
과학콘서트인가? 그책에서 읽었던 내용이군요
바꾸는게 유리하다 입니다. 심리적으로 바꿔서 틀리면 더억울하니 안바꾸겠다고 생각하시는게 일반적이지만 처음 골르건 1/3 바꾸면 1/2 입니다
06/12/05 23:16
이프님//근데 수학적으로 완전한 것 같진 않은데.. 마치 4색문제를 보는 듯한-_- 예전에 pgr에 엄청 어려운 퀴즈가 하나 올라왔었는데 9인가 8인가를 4개를 써서 어떤 숫자를 만드는 거였는데.. 그것도 저는 1시간 넘게 낑낑대다 결국 해답 봤는데 제 친구는 30분만에 풀어버리더군요. 허탈;
06/12/05 23:21
평범한 수1 문제지요.
바꾸고 정답을 고를 확률 처음 고른게 상품:1/3 x 0 처음 고른게 꽝: 2/3 x 1 = 2/3 ---> 처음 고른게 꽝이었고 사회자가 다른 꽝 하나를 보여주면 선택을 바꾸면 무조건 당첨됩니다. 안바꾸고 정답을 고를 확률 처음 고른게 상품:1/3 x 1 = 1/3 ---> 안바꾸면 그냥 닥치고 1/3의 확률로... 처음 고른게 꽝: 2/3 x 0
06/12/05 23:21
1, 2, 3번 문이 있고 참여자가 각각의 문을 고를 확률은 3분의 1
만약 1번문에 상품이 있다고 가정하고. 참여자가 1번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸면 당첨안됨 참여자가 2번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸면 당첨 참여자가 3번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸면 당첨 결과적으로 바꾸면 당첨될 확률이 2/3 다시 바꾸지 않을 경우를 생각하면 참여자가 1번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸지 않으면 당첨 참여자가 2번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸지 않으면 당첨안됨 참여자가 3번문을 고를 확률은 1/3 ---> 이경우 바꾸지 않으면 당첨안됨 결과적으로 바꾸지 않으면 1/3의 확률로 당첨
06/12/05 23:24
자동차 가격을 1로 하고 기대값을 계산해보면,
안 바꿀 경우의 기대값이 1 * 1/3 = 1/3 바꿀 경우는 기대값은 i) 처음 시도가 맞고, 바꾼 경우 1/3 * 0 ii) 처음 시도가 틀리고, 바꾼 경우 2/3 * 1 바꿀 경우의 기대값은 2/3 죠.
06/12/05 23:25
이상한데요;;
문제에서는 문이 3개만 있는 상태이고 하나의 문을 여니까 경우의 수가 '2'가 되어야 정상이 아닌가요? 한번 정한 확률이 계속 지속되는게 아니라 새로운 확률이 되는거 같은데요;
06/12/05 23:28
안바꾸면 어차피 1/3
안바꾸거나 바꾸거나 두 가지 선택밖에 없으니까 바꿀 때 확률은 1에서 빼면 2/3 사람들이 이 문제를 싫어하는 건 1/3이나 2/3이나 어차피 확률이기 때문이지요. :)
06/12/05 23:31
저는 똑같다고 보는데요. 왜냐하면 고수한다고 하더라도 이미 꽝인 건 아예 염두에 두지 않고 바꿀지 안바꿀지를 선택하기 때문에 바꿀 수 있다는 것 자체를 이전 선택과 아주 별개의 사건으로 생각할 수도 있지 않을까요.
06/12/05 23:34
아르테미스님//
사회자가 꽝을 열어 준 다음에 그때까지의 선택은 다 무로 돌리고 (자기가 무엇을 선택했었는지도 완전히 잊어버린 상태에서) 다시 선택을 하게 한다면 새로운 확률이 되겠지만, 문제에서 바라는 것은 '지킬 것인가, 바꿀 것인가' 이니까 차이가 생기죠.
06/12/05 23:38
수학적으로는 그렇지만...
꽝인 문을 하나 열어줬으면... 그 남자는 '앗싸 둘중 하나다.. 그냥 남자답게 뚝심으로 가자 -_-;;' 이게 정답 아닐까요? --> 바꾸나 안바꾸나.. 심리적으로 전혀 상관없다 (어차피 1/2)
06/12/05 23:46
실제 일어난 사실보다는 말 어투의 차이로 발생하는 문제지요
실제로 저기서의 '당첨확률'은 새로운 확율이니까 1/2이 맞는거 같은데요
06/12/05 23:48
바꿀 경우이고 우리는 자동차가 없는 상자를 선택했다고 가정합니다. 자동차가 없는 상자를 선택할 확률은 무조건 2/3입니다. 이럴 경우 사회자는 어떻게 하겠습니까? 자동차가 들어있는 상자 하나는 닫은 채로 놔두고, 일부러 자동차가 없는 남은 상자 하나를 선택해서 우리에게 보여줍니다. 이렇게 사회자가 선택을 해서 보여주는 행위 자체가 우리에게는 힌트이고, 바로 이 자동차가 없는 상자를 선택한다는 상황이 남은 하나의 상자가 정답일 확률을 높여주는 언어적으로 이해되는 이유입니다. 이렇게 하면 바꿀 경우 무조건 자동차 당첨이니까요.
06/12/05 23:51
이거도 유명한 문제네요 -_-;
자신이 천재라고 주장하는 아줌마가 낸 문제 아닌가요? 원로 수학자들이랑 엄청 싸웠죠. 결론적으로 이 아줌마는 바꿔야 유리하다! 였고 수학자들의 주장은 독립사건이라 상관없다 였던거 같네요. 저같으면 안바꿀랍니다. 답이 어떻게되던 -_-;;
06/12/05 23:57
그리고 이 문제는 현재 학원가 등에서 수1의 확률 파트를 학생들에게 가르치면서 예시로 간혹 들고 있는 문제입니다. 이미 결론이 난 문제라고 할 수 있지요. 과외 하면서 학생들 골탕 먹일 때도 유용한 문제지요. 확률을 배운 분들이면 누구나 이해할 수 있습니다.
정 이해 안되는 분들은 위의 시행을 30번 정도 해보고 통계적 확률을 내보는 것도 괜찮겠네요. 통계적 확률이 우리에게 구라를 칠 확률은 매우 적으니까요 ㅎ;
06/12/06 00:01
처음에 고르는건 아무 상관이 없고, 둘중 하나를 고르는거니까 1/2라고 봐야할것 같은데요. 확률과 직관이 서로 다른 경우가 아니라 확률을 잘못 적용하고 있는거라고 생각합니다. 상황이 달라졌으면 확률도 '새 판'에서 계산해야 올바른 답이 나오겠죠.
06/12/06 00:06
시점을 어디로 놓느냐, 정보를 얼만큼 가지고 있느냐에 따라서 확률이 달라집니다. 단적인 예로 어느 상자에 들었는지 아는 사람은 100%, 0% 겠죠. 이 문제도 그런 종류의 문제입니다. 일반적인 답은 2/3, 1/3 이지만 시점에 따라서는 1/2, 1/2을 답으로 하는 것도 가능합니다.
06/12/06 00:07
상황이 새로워 진다니요... 사회자가 자동차가 있는 상자를 피해서 선택해서 보여주고 있는데도요? 사회자가 아무 상자나 랜덤하게 선택해서 보여주는게 아니지요. 꽝인 상자를 골랐을 경우 사회자의 입장에서 보면 자동차가 없는 상자를 열어주지 않습니까? 남은 두 개의 상자 중에서 구지 꽝인 것만을 열어준다는 것이죠. 이럴 경우 바꾸면 100% 당첨되므로 매우 유리한데 1/2이라니...
사회자가 아무 상자나 마음 내키는대로 열어주는 것이 아니라 꽝인 상자를 골라서 열어주는 순간 확률은 유리하게 변합니다. 우리가 이미 꽝을 선택했을 경우에는 사회자는 간접적으로 답을 완전히 알려주는 셈이 되니까요.(그랬는데도 안바꾸면 그건 뭐...) 게다가 우리가 꽝을 선택할 확률이 높기까지 하구요. 이건 문제의 해석의 문제도 아니고 그냥 고등학교 수준의 확률 계산 문제입니다. 아니, 문제 해석도 확률을 구하는 과정의 일부분이죠.
06/12/06 00:10
아... 이제 마음으로도-_- 정확히 이해가 가네요
음..일단 간단히 문이 무한개라고 가정하면 현재 문이 당첨 됬을 확률은 어쨋건 0이니... 문을 바꾸면 당첨이 될 수 밖에 없어요. 저걸 그냥 문이 모두 공개된 시점부터 생각하면 1/2이 맞지만 선택하는 사람의 입장에서는 앞에서 문을 선택하는 과정이 있었기 때문에 1/2이 아니네요
06/12/06 00:18
앞에서의과정이라... 확률에서 그게얼마나 무의미한건데 말입니다....
문이 애초에 3개이므로, 남자가 어떤문을 고르던 사회자는 꽝인문을 열어보일수 있습니다 항상말입니다. 그리고 다시 선택인데 왜 앞에서의 확률을 신경써야하나요? 어디서 봤는데 이게답이러다 이런말씀은 하지마시고 한번 직접고민해보세요.
06/12/06 00:18
아르테미스님/ 그러니까, 바로 그 뜻으로 하신 말씀 같은데요 ^^; 확률 문제를 포함해서, 고등학교 수준 문제들 (특히 수능 수리영역)이
대체로 계산이 어렵다기 보다는 문제의 해석이 어려운 것이니까...이런 까다로운 예를 통해 설명해준다는 의미인 것 같네요 ^^ aoikase님/ 그게 아니죠. '모든 경우의 수'를 따졌을 때, '바꾸면 틀리는 경우' 는 한가지 뿐입니다. 처음 선택한게 맞을 경우죠. 반대로 '바꾸면 맞는 경우'는 두가지입니다. 처음 선택한게 틀렸을 경우인데, 그 틀린 선택 자체가 2가지가 있기 때문입니다. 말만 바꿔보면, 안바꾸면 틀릴 확률이 바꿨을 때에 비해 2배인 겁니다. 이건 말장난이 아닌 실제 확률이고 허구가 아닙니다. 상자의 모양이나 뭔가의 힌트로 '답을 유추할 수 있는 경우' 하고 단순히 랜덤으로 선택하는 경우하고 착각하시면 안됩니다. 무슨 시험 칠 때라던가 그럴땐 바꿔서 틀리는 경우가 많지요. 하지만 그건 단순한 찍기가 아니기 때문에 그런거구요... 낭만토스님/ '확률'은 거짓말하지 않습니다 ^^; 수학이 거짓말 할리가 없지요. 전제 자체가 틀리지 않은 이상은요. 거짓말 하는 것은 '통계' 입니다. 확률론이 물론 통계라는 것과 항상 붙어다니는 것이기는 하지만, 확률이 곧 통계는 아닙니다. 통계는 과정 자체에서 잘못이 끼어들 수 있지만, 확률은 단순히 계산되는 것 뿐입니다. 확률이 거짓말을 할 수 있다는 얘기는 바꿔말하면 '1+1이 3일 수도 있고 4일 수도 있다' 라는 얘기와 같습니다. 물론 가능합니다. 수학 자체를 처음부터 새로 만든다면 말이죠. '동일한 수학 체계 내에서 사고하는 한' 수학은 거짓말을 할 수가 없습니다. 그러므로 확률도 결코 거짓이 될 수 없습니다.
06/12/06 00:21
조건부 확률문제 아닌가요? 고등학교때 걍 학원선생님한테 듣고 쉽게 배운거 같은데.. 이게 시점에 따른 문제가 아니라 어떤 전략이 우월하냐? 라고 생각하면 쉽게 해결되는 거 같은데요.
1단계. 첨에 고를때 자동차가 있는 박스를 고를 확률. 1/3 자동차가 없는 박스를 고를 확률 2/3 2단계 바꾸지 않을 경우 ----- 1번전략 이경우에는 당첨박스를 고를 확률이 그냥 1/3이 됩니다. 더 액션이 일어나지 않으니까요. 2단계 바꿀경우 ----- 2번전략 자동차가 있는 박스를 처음에 골랐고 바꿀경우 당첨될확률 1/3(1단계의 확률) * 0(왜냐면 바꾼 박스는 안이 비었으니까) = 0 자동차가 있는 박스를 처음에 고르지 않았고 바꿀경우 당첨될 확률 2/3(1단계의 확률) * 100%(무조건 있으니까)= 2/3 따라서 바꾸는 전략의 경우 당첨확률은 0 + 2/3 = 2/3 (왜 더하는줄 다 아시죠?) 따라서 사회자가 이런 액션을 취한다는 전제가 깔려 있는한, 무조건 첨에 하나를 고르고 사회자가 하나 걸러주고 그리고 바꾸는 전략이 첨에 하나를 고른 것을 고수하는 전략보다 우월합니다. 만약 사회자가 자신의 재량에 따라 둘중에 하나의 문을 열어주는 행동을 할지 안할지를 결정한다면, 다시 2/3의 확률에 1/2의 확률이 곱해지므로 바꾸는 전략을 취하던 안바꾸는 전략을 취하던 같은 확률이지만(실수하시는 분들이 무의식적으로 인정하는 상황), 그러나 사회자가 둘중에 당첨이 되지 않는 문을 까준다는 약속이 있는한, 일단 하나고르고, 사회자가 거르게 만들고 다시 뽑는게 더 좋습니다. 찬찬히 생각해보시면들 이해가실겁니다.
06/12/06 00:25
올빼미님/ 문이 애초에 3개이므로, 사회자는 항상 꽝인 문을 열어보일 수 있습니다. 하지만 앞의 선택은 반드시 신경을 써야합니다.
애초에 선택지가 3개였기 때문에 처음 선택한 것이 자동차였을 확률 자체가 1/3이었지죠. 이 선택이 영향을 주지 않는단 말씀이죠? 선택지가 2개로 줄어들고 아예 새로 선택을 한다면 당연히 가능성은 1/2입니다. 문제는 '바꿔서 맞을 확률'이었다는 점이죠. 그러니까...용어가 틀린 것입니다. 완전히 그 전 상황을 잊어버리고, 자신이 어느 것을 선택했던가 자체를 모르고 선택하면 1/2입니다. 하지만 지금 확률 자체가 '처음 것을 고수할 경우 맞을 확률'과 '바꿔서 맞을 확률'이므로 용어가 틀리다는 말씀이죠. '처음 것을 그대로 고수했을때 거기에 자동차가 있을 확률'이 1/3이므로, 당연히 나머지 확률은 2/3인 것입니다. 그냥 단순하게 생각해보십시오. 만약 1/3과 1/2이라면, 나머지 1/6은 어디로 날아갔나요? ^^;
06/12/06 00:27
몬티 홀 알면서도 난해합니다.
바꾸었을 때 확률이 2/3이라면, 정말로 똑같은 방법으로 30번을 시행하면 20번에 가깝게 수렴하지는 않을 것 같은데요? 오히려 15 / 15가 되지 않을까요?
06/12/06 00:28
Adrenalin님// 해보세요. 꼭 부탁드립니다. 대신에 사회자 역할을 할 분을 한 분 초빙하세요. 아무 상자나 여는게 아니라 꽝인 상자만 열어주는 역할이 있어야 하니까요.
06/12/06 00:30
세츠나님. 사회자가 보여준 꽝을 제외한 두문의 당첨확률이 틀리다는거 자체가 이상하지 않으세요? a를 선택햇다가 a를 고수하는것과 다시a를 선택하는게 차이가 있다고 생각하시나요?
06/12/06 00:37
올빼미 // 제 댓글을 보시면 아시겠지만, 그것이 차이가 있습니다. 직관적으로 이 문제를 다시 설명드리면, 사회자는 분명 당첨되지 않을 문을 골라주는 역할을 할것이고 그것자체는 게임 참가자에게 유리하게 됩니다. 따라서 사회자의 액션을 자신의 결정행위에 포함시켜야 참가자에게 유리합니다. 즉, 처음에 선택한 문을 고수하면, 사회자의 조력이 없으므로 확률이 낮아지지만, 처음에 선택한 문에서 다른쪽 문으로 바꾸면, 자신의 행위에 사회자의 조력을 포함시키는 샘이 되므로 확률이 올라갑니다.
이문제는 사실 수학적으로 어려운 문제가 아니라, 사회자가 문을 골라 열어주는 자체가 마치 야바위꾼의 함정처럼, 게임참가자에게 도움이 되지 않는 행위처럼 보여주게 하는 심리적 트릭이 있어서 많은 분들이 헷갈리시는 걸겁니다. 다시 말하지만, 애초에 사회자가 자동차가 없는 문을 까준다는 약속이 없는한, 이문제는 완전 다른 문제가 되게 됩니다.
06/12/06 00:39
제 생각엔 문제에서 일단 '사회자의 의도'부분이 전제 되어야 한다고 생각 합니다. 사회자가 당첨을 원하는 것인지, 원하지 않는 것인지.
그리고, 선택을 한번 한 상태에서 '다시' 선택을 할 수 있다는 것은 확률적으로 볼때도 새로운 확률적 적용을 해야 한다고 생각 됩니다. 위의 어느 분이 말씀하신대로 이문제가 어떤 천재 아줌마와 원로 수학자들과의 의견이 상충되었던 문제라면 시험이나 학원가에서 이 문제를 사용하는것은 적합지 않다고 생각되기도 하네요.. 보통 이러한 유형의 문제에서 논란이 되는 것은 전제조건의 미비가 많더군요.
06/12/06 00:41
heymen님... 이미 결론이 난 문제입니다; 의견 충돌은 그 때 당시 잠시 있었던 것이고 그에 대한 이야기가 한 때 유명했던 과학 콘서트라는 책에도 나와있습니다. 천재 아줌마와 수학자들이라... 그건 어디서 나온 정보인지 궁금하군요.
06/12/06 00:46
딴 얘긴데요 앞에서 낭만토스님께서 확률은 허구적이란 얘기가 있어서요. 정확히 어떤 뜻으로 쓰신 건진 모르겠지만 확률을 믿지 못할 이유는 없는 듯 해요.
확률이 항상 맞을 수는 없겠지만..(동전 던지기를 10번 해서 꼭 앞이 5번 뒤가 5번 나오지는 않듯이요.. 4번 나올수도 6번 나올수도 아니면 10번 모두 앞이 나올수도 있겠지요.) 그래도 확률을 끼고 생각하는 편이 안 그런편보다 이득을 볼 경우가 더 많을걸요. 예전에 디아블로2를 하면서 몸으로 느꼈습니다^^; 매직아이템 떨굴확률 10~20%만 증가해도 들어오는 아이템이 달라지던.. 헛소리였습니다. 하여튼 확률을 허구적으로 치부하기에는 그를 통해 얻을 수 있는 메리트가 너무 많아요. 현재의 의학만 하더라도 통계에 의한 확률을 기반으로 세워진 학문이라고 해도 과언이 아니거든요. 만약 위암이 걸렸다고 가정하면 수술로 절제하면 생존율이 70%이고, 수술없이 항암제를 쓰면 30%라고 하면 당연히 의사로선 별다른 상황상 문제가 없다면 수술을 하겠죠. 확률이 우리 삶에 광범위하게 영향을 미치는 상황에서 그냥 무시할 수 있는 개념은 아닌 듯 해요.
06/12/06 00:46
그 차이를 없애보겟습니다.... 일단 a에 잇다고 합시다.
주인공 a선택-사회자 b열어줌-a,c 양자택일 주인공 a선택-사회자 c열어줌-a,b양자택일 주인공b선택-사회자 선택의권한없이 c열어줌-a,b양자택일 주인공c선택-사회자 선택의권한없이 b열어줌-a,c양자택일 어느길로 가나 결국은 양자택일입니다-_- 진짜 수학자들이 그아주머니를 설득시키지 못했나요?
06/12/06 00:47
어렸을때 과학콘서트에서 본 문제군요.. 어렸을때 보고 잘 이해는 안되는데 그냥 그런가 보다 하고 넘어갔는데. 지금보니 그 아줌마 말이 이해가 안가는 군요..처음의 확률은 1/3이고. 다른 하나가 아님을 확인했을때 그 확률은 1/2 로 변한다고 생각합니다. 나머지 하나가 당첨일 확률도 1/2이고요. 수학적으로 맞는지는 잘 모르겠지만 저는 이렇게 생각합니다.
06/12/06 00:48
올빼미님/ 그러니까요 ^^; 그게 전혀 이상하지 않습니다. ["이미 선택한 상자"에 자동차가 있을 확률]인 것입니다.
고른 순간에는 확률이 1/3이었는데, 다른 상자 하나를 보여줬다고 그것이 1/2로 갑자기 올라간다고 생각하는 편이 이상하지 않을지요? 원래 1/3, 1/3, 1/3의 확률인 상자가 있었죠. 이 시점에서 사회자가 하나의 상자를 제거해주었다면 당연히 확률은 1/2, 1/2이 됩니다. 이건 시행이 한번이기 때문이죠. 이 경우에는 1/6의 확률이 올라가게 됩니다. 하지만 문제는 '바꾸느냐 아니냐' 입니다. '두 문의 각각의 당첨확률'을 묻게되면, 그것은 사실 1/2이 맞습니다. 다시 말씀드리지만 용어 자체가 차이를 보이고 있지요? 잘 생각해보면, 지금 묻고있는 것은 "선택"을 "고수"해서 맞을 확률입니다. 다시말해, 이 자체가 이미 2번의 선택이 있다는 증거입니다. "처음 선택"을 "고수" 한다는 행위가 당첨을 가져다줄 확률을 묻고있는 것입니다. 경우의 수를 좀 더 자세히 따져보십시오. (굳이 재설명을 할 필요는 없겠군요. 사실 이미 위에 다 나온 얘기입니다. -ㅅ-;)
06/12/06 00:49
이 문제 친구한테 듣고 엄청나게 헷갈렸는데 이제 심증적으로도 대충 이해가 가더군요.. 이해가 갔던 방법은 위에 Dizzy님이 했던 대로 수를 늘렸을 때를 생각해 보니 좀더 쉽게 이해가 가더라고요. 1/3과 2/3은 그렇게 확률 차이가 크지 않기 때문에 체감이 잘 안 되지만, 1/100과 99/100은 다르겠죠
06/12/06 00:50
-_- 3개 중 1개를 고르는 것에서
2개 중 1개를 고르는 것으로 바뀌었는데;;; 사회자가 문을 열기 전 1/3 1/3 1/3이었다면 사회자가 문을 열고 나서는 1/2 1/2 아닙니까?
06/12/06 00:51
heymen 님 말씀이 어느정도 맞습니다. 그냥 친구랑 해보세요. 해보시면 쉽게 이해가 갑니다. 친구가 나를 속이려는 의도가 있다 하더라도 친구에게 자동차가 없는 문을 무조건 열게 만들 경우에는 친구의 의도가 작용될 여지가 없으므로 바꾸는 전략이 옳습니다.(한 30번정도 해보면 느낌 오려나요?)
그러나 친구가 문을 열 여부를 결정할 권한이 있다면 얘기는 달라집니다.(실제로 해보셔도 다른 결과가 나올겁니다.) 이문제에 거부감이 있는 것은 그때문입니다. 원초적으로, 사회자가 다른 문을 열어서 보여줄경우, '아 내가 맞는 문을 골랐기 때문에 이놈이 날 일부러 헷갈리게 만드는구나. 내가 당첨되면 지네 회사 손해니까...'라고 의심하게 된다는 겁니다. 실제로 이 의심은 애초에 사회자가 문을 열어주는 행위를 해야 한다는 강제성이 없는 경우에 타당한 의심이구요. 저라도 저런 상황에서 갑자기 씩 웃으면서 혹시 바꾸지 않을래? 라고 접근한다면, 저런 확률을 알고 있음에도 불구하고(혹은 알고 있으니까!!) 문을 안바꿉니다.
06/12/06 00:51
올빼미님/ '양자택일'이라는 단어에 얽매이셔서 스스로를 함정에 빠트리고 계십니다. -ㅅ-;
다시 한번 말씀드립니다. 두번째의 선택의 기회에서, '둘 중에 하나를 선택하는' 다시 말해 '양자택일'의 확률은 말씀입니다. 절대적으로 당연히 1/2이 맞습니다 -ㅅ-; 지금 얘기하고있는 것은 그게 아니지요. 용어가 다르다고 설명을 드렸는데... 공돌이지망생님/ 적어도...공대생으로서 말씀드리는데; [수학적으로 맞는지]가 가장, 무조건, 절대적으로 중요한 문제입니다...ㅠㅠ
06/12/06 00:51
그래도 이 경우 바꿔서 안 됐을 때랑 안 바꿔서 안 됐을 때랑 심리적 타격은 바꿔서 안 됐을 경우가 훨씬 클 것 같아서 안 바꾸는 게 정신 건강에 좋을지도..
06/12/06 00:54
세츠나님/음..아무리 생각해도 제가올려놓은 경우의수를 제외하고는 다른선택지가 없네요.(수학에 손놓은지가 벌써3년-_-) 숨겨진선택지 예하나정도만 올려주시면 감사하겟습니다.
06/12/06 00:54
안티테란님/ 그러게요..수학적으론 이미 결론이 난 문제니 그건 인정해야겠네요..저도 위의 글들을 읽어보니 이해는 갑니다. 아줌마vs수학자들 이야기는 위의 댓글들 중에서 읽은 거구요..
제가 윗 댓글에서 언급했듯이 '사회자의 의도'에 따라 수학적인 결과는 무시되어 질 수 있지 않느냐? 는 심리학이 개입되면 말입니다. 너무 깊이 들어 간건가요?
06/12/06 00:57
그러고 보니까 원래 문제가 잘못된 것같습니다. 그 문을 열어주는 행위가 사회자의 재량이나 즉흥에 의한 것인지 판단할 근거가 없군요. 만약 대본에 써있는 게 아니라 즉흥적인 거라면 당연히 shovel 님 등의 말씀처럼 걍 1/2, 1/2 같아지는 거라고 전 생각합니다.
06/12/06 01:00
올빼미님/ 이 이상은 사실 설명을 드릴게 없습니다. 확률을 볼 때는 각각의 시점에서의 확률과 전체확률은 당연히 다릅니다.
주사위를 한번 던질 때마다 1이 나올 확률은 1/6 이지만 1이 연속 2번 나올 확률은 1/36인 것과 같습니다. "처음 선택"을 "바꾸었을 때" 이므로 시행이 두 번이라는 점을 주목해주시면 좋겠습니다. 이 점을 왜 아무렇지도 않게 외면하시는지; 중요한 첫번째 선택을 외면하고 계시기 때문에 착각이 있는 겁니다. 두번째에 선택하는 확률만 따지면 말씀대로 1/2이 맞습니다. 하지만 지금 묻고있는 질문 자체가 "지금 선택해서 자동차가 있을 확률"이 아니라는 점을 계속해서 말씀드리고 있습니다...
06/12/06 01:01
그 차이를 없애보겟습니다.... 일단 a에 잇다고 합시다.
주인공 a선택-사회자 b열어줌-a,c 양자택일 주인공 a선택-사회자 c열어줌-a,b양자택일 주인공b선택-사회자 선택의권한없이 c열어줌-a,b양자택일 주인공c선택-사회자 선택의권한없이 b열어줌-a,c양자택일 모든경우의 수라고 생각합니다. 확률을 푸는 가장확실한 방법(이자 가장노가다인방법)으로 풀어서 답을제시햇는데, 식이 어느부분이 이상하다가 아나라 직곽적으로 안되시면 이라고 하시면 ㅠㅠ 슬프져
06/12/06 01:02
이거... 유게 초기에 pgr21님이 직접 내주셨던 문제이군요-_-;;;
프로그램으로 돌리는 법까지 설명해주셨는데;; 돌리면 답 나옵니다.. 바꾸는 쪽이 확률이 높죠;;
06/12/06 01:03
이문제가 무슨 확률의 허구성을 함의한다.. 이런거 아닙니다. 그냥 독립사건과 종속사건, 조건부확률 등의 개념을 이해하고 있는지에 대한 문제입니다. 거듭말하지만, 사회자의 문을 열어주는 행위가 당첨자를 탈락시키기 위한 즉흥적인(이 중요합니다.) 행위였다면 바꾸던 안바꾸던 확률은 1/2로 같습니다. (사실 윗 본문 자체는 논란의 여지가 있군요. 하지만 대부분의 쇼프로그램이 대본에 의해 진행된다는 점을 생각해보면 무리없는 설정이라고 생각합니다. 쿨럭.)
06/12/06 01:07
주인공이 A를 선택 -> 사회자가 B를 열어줌 -> A를 고수 혹은 C로 바꿈.
여기서, 양자택일이므로 확률이 1/2이라고 말씀하고 계십니다. 중요한 점은, 과연 그 A와 C에 자동차가 있을 확률이 얼마인가? 하는 점입니다. 사회자가 연 B는 반드시 자동차가 없습니다. 하지만 그 이전의 시점에서 생각해봅니다. 처음에는 어느 것에 자동차가 있는지 몰랐습니다. 그러므로 1/3이었습니다. A에는 자동차가 있을 수도 있고 없을 수도 있습니다. 만약 A에 있었다면? 사회자가 B를 열었을 때, C로 바꾸게 되면 반드시 틀립니다. 만약 C에 있었다면? 사회자가 B를 열었을 때, C로 바꾸면 반드시 맞습니다. (사실 설명하고 있는 저 자신이 웃기네요) 그럼 만약 B에 있었다면? 네, 그렇습니다. 이것이 바로 '숨겨진 확률' 입니다. 지금 2번째의 시점에서 1번째 시행의 시점을 역으로 설명하고 있기 때문에 '있을 수 없는 경우'를 미래의 시점에서 제거해버린 겁니다. 이 점이 이해가 안가신다면, 주사위를 2번 굴리면 왜 1/36의 확률이 되는지도 진실로 수학적으로는 이해를 못하시고 계신겁니다. -ㅅ-; 원래는 2번의 시행을 했다면, "A를 고수하거나" "B 혹은 C로 바꿀 수 있었던" 사실을 잘 기억해야합니다. 원래부터 2번째 문제가 고수하거나 바꾸는 문제였다고 생각을 해보십시오.
06/12/06 01:08
그러니까 애초에 이 문제는 '처음에 차를 고를 확률보다 차를 고르지 못할 확률이 높다'라는 전제를 기초로 합니다.분명 사회자가 꽝 하나를 지적한 시점에서 남은 두 개 중에 차를 고를 확률은 1/2가 맞습니다.하지만
이 문제가 묻고 있는 것은 '바꾸는 것이 유리하냐?안 바꾸는 것이 유리하냐?'이므로,Hero님의 댓글을 보고 이해하는 것이 가장 빠를 듯 합니다.
06/12/06 01:09
시행이 두번이라 하더라도 처음것을 무시하면 안되나요?
제가 저 상황이라면. 사회자가 다른 상자가 꽝이라는 것을 보여준 다음에 모든걸 잊고 그냥 두개니까 하나 고르자 하면 안될까요.
06/12/06 01:09
heymen님//사회자의 의도가 들어가도 아무 소용이 없습니다. 애초에 사회자가 어떤 의도를 가지고 있든 확실한 것은 자동차가 없는 상자를 연다는 것 뿐이지요. 사회자 입장에서 보도록 하지요. 저 쇼에 등장한 녀석이 맨 처음에 답을 못골랐을 경우에는 선택의 여지가 없습니다. 사회자는 기계적으로 자동차가 없는 나머지 한 상자를 여는 행동을 할 뿐 심리가 전혀 개입될 수 없지요.
한 편, 쇼에 등장한 녀석이 운이 좋게도 자동차가 있는 상자를 처음에 골랐다면? 그럴 경우에도 마찬가지입니다. 자동차가 없는 나머지 두 상자 중 아무거나 하나를 선택해서 열어주면 되며, 그 두 상자간에는 어떤 위계관계도, 힌트가 될만한 여지도 없습니다. 이것은 사회자에게도, 쇼에 등장한 녀석에게도 마찬가지지요. 심리학이 개입될 여지는 전혀 없다는 뜻입니다. 그런 것이 개입되는 순간 그것은 수학이 아니죠. 심리학이 개입되기 위해서는 각 상자들이 생김새가 달라서 선택자의 선택에 혼란을 주거는 상태에서, 사회자가 말빨로 사람을 유린하거나 거짓말을 하고, 구체적인 전제 조건이 없어야 하겠지요.
06/12/06 01:11
음... 대부분의 분이 확률이 높아진다고 단정하시니, 어딘가 재 계싼이 이상한부분이 있나봅니다. 일단은 자고 내일차분히 생각해본다음에 와야할듯하네요
06/12/06 01:12
안티테란 // 여지가 있습니다. 사회자가 어떤 의도를 가지고 있든 없던 '자동차가 없는 상자를 연다는 것'이 확실하다면 님말이 맞습니다만, 사회자의 '자동차가 없는 상자를 연다는 것'이 약속된 행위가 아니라면, 당연히 사회자의 의도를 의심하는 것이 옳은 일입니다. 이러면 확률의 영역이 아니라 가위바위보같은 심리게임 영역으로 넘어가는 것이며, 따라서 heyman님 말씀도 일리가 있습니다.
06/12/06 01:13
음.. 이 문제가 약간 부족해보인다는 저의 의견은 너무 공허한 외침이 되어버렸나요? 이문제가 실린 과학콘서트책도 저도 읽었던 거 같은데.. 문제가 이게 아니었는데.. 쩝.... ㅇㅇ;
06/12/06 01:19
The most common objection to the solution is the idea that, for various reasons, the past can be ignored when assessing the probability. Thus, the first door choice and the host's forced response are ignored. Because there are two doors to choose from, many people jump to the conclusion that there must be a fifty-fifty chance of choosing the right one.
이 풀이에 대해 가장 일반적인 반박은, 다양한 이유로, 확률을 다룰 때 과거는 무시할 수 있다고 생각하는 것이다. 그 결과, 처음에 문을 선택하는 것과, 사회자는 그에 따라 반응할 수 밖에 없게 되어 있는 상황을 무시하게 된다. 선택할 문이 두 개라는 사실에서, 많은 사람들이 옳은 문을 선택할 확률은 50대 50이라고 속단해 버린다. Although ignoring the past works fine for some games, like coin flipping, it doesn't work for all games. In this case what should be ignored is the opening of the door. The player's choice is between the originally picked door and the other two — opening one is simply a distraction. There is only one car. The original choice divides the possible locations of the car between the one door the player picks (1/3 chance) and the other two (2/3 chance). 과거를 잊는 것이 동전 던지기 같은 어떤 게임에서는 옳은 일이지만, 그것이 모든 게임에 다 적용되는 것은 아니다. 이 경우에서 정말로 무시해야 할 것은 사회자가 문을 열어주는 행동이다. 게임을 하는 사람은 자기가 원래 선택한 문과 선택하지 않은 다른 두 문 사이에서 선택하게 되는 것이다. 따라서 사회자가 문 하나를 열어주는 것은 단지 헷갈리게 만드는 요소일 뿐이다. 차는 하나밖에 없다. 첫 번째 선택으로 차가 있을 만한 위치는 둘로 나뉘게 되는데, 1/3 확률로 선택한 한 개의 문에, 2/3 확률로 선택하지 않은 두 문에 있게 된다. It is already known that at least one of the two doors contains a goat. The revealing of the goat therefore gives the player no additional information about his own door. It doesn't change the 2/3 probability that the car is still in the block of two doors. 여기서, 선택하지 않은 그 두 문 중에 최소한 하나에는 염소가 있다는 것은 이미 알려져 있는 정보이다. (*차는 한 개밖에 없으니까요:) 그 염소를 보여준다고 해서 게임하는 사람이 자기가 원래 선택했던 문에 대해 추가적인 정보를 얻을 수 있는 것이 아니라는 말이다. 애초에 선택하지 않았던 두 개의 문 중에 차가 있을 확률이 2/3라는 것은, 사회자가 그 중 하나를 열어 준다고 해서 달라지지 않는다. 위키피디아의 설명. *는 제 보충. 염소=꽝이라고 생각하고 보시면 되겠네요. :)
06/12/06 01:19
아.. 처음 골랐을 때와 비교해서 확률은 구하는건가요?
문제만 보면 마지막에 사회자가 하나의 문을 연 상태에서 바꾸는게 나을것인가인데 그 상태에서는 어차피 둘 중 하나인 확률이니까 바꾸나 안바꾸나 똑같다고 생각했는데. 문제를 어느 시점에서 보느냐에 따라 다른건가;;
06/12/06 01:25
답답해서 우리집 서재(저희집 조그만 집인데 역시 조그만 방하나가 책으로 가득차있습니다.)에서 10분동안 뒤졌는데, 과학콘서트 책 못찾겠어요. 누가 찾아서 위에 문제가 책에서 좀 빠뜨린 점이나 서술순서를 실수한점 같은것좀 지적해주세요. 쩝.
06/12/06 01:29
여자친구랑 실험결과 아주 간단히 증명되었습니다.
A, B, C 이렇게 방 3개가 있을때 편의상 A에 차가 들어있다고 가정하죠. A 를 처음 선택한 경우 B와 C 둘다 차가 들어있지 않으니 둘 방중 아무거나 열어서 보여줍니다. 그리고 A를 선택했던 사람이 바꾼다면 B나 C 옮기고 어떤 선택을 하던지 결과는 "꽝"이 될 수 밖에 없습니다. B를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 C방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(C방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. C를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 B방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(B방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. 결론: 마지막에 선택을 바꾼다고 했을 경우 제일 처음 A,B,C 중에 차가 들어있는 방을 선택했다면 "꽝"이 될 수 밖에 없고 차가 들어있지 않은 방을 선택했다면 무조건 "당첨"이 됩니다. 다시 처음으로 돌아가 맨 처음 옳은 방을 선택할 확률은 1/3이고 잘못된 방을 선택할 확률은 2/3 이기 때문에 바꾸는 것이 현명합니다. 직접해보면서 어떻게 되는지는 알겠는데 수학적으로 증명하지는 못하겠습니다 ㅜ_ㅜ.. (수학이 싫어요..)
06/12/06 01:32
프로그램을 돌리니 재미있는 결과가 나오는 군요.
선택을 바꾸는 경우 차를 얻지 못하려면 처음 선택이 차를 찍어야 됩니다. 즉, 처음 발생한 난수와 두번째 발생한 난수가 같은 경우에만 실패하게 됩니다. 그런데 C언어의 난수발생기는 어지간한 경우가 아니면 1~3범위의 두개의 난수를 발생시켰을때 같은 숫자가 연속해서 나오지 않습니다. 상식적인 확률은 난수를 2개를 뽑았을때 3번 중 1번은 같은 숫자가 연속으로 나와야 되는데, (9가지 경우중 3가지 경우이므로) 실제로는 10번중 한번정도 밖에는 나오지 않습니다. 때문에 비정상적으로 바꾸는 경우의 확률이 높게 나오는 군요. 그런데, 재미 있는 것은 우리가 스타에서 랜덤 대 랜덤으로 경기를 시작하면 동족전이 나올 확률도 매우 적다는 것입니다. 실제로는 1/3 확률로 동족전이 되어야 되는데 실제로 게임을 하면 체감상 동족전은 거의 안나오지요. 스타에서 랜덤 대 랜덤을 할 경우 역시 난수 2개를 동시에 발생시킬것이 분명하고, 스타 역시 C계열로 만들어졌다면 왜 동족전이 잘 나오지 않는 것인지 대충은 설명이 가능합니다. C의 난수발생기가 대채적으로 mod 3 원소를 기준으로 고루 분포되도록 만들어졌다는 설명이 될 듯 하네요. 그건 잘 모르겠지만 어쨌든 1~3을 뽑았을때 연속해서 같은 숫자가 잘 안나오는 것은 확실합니다. (그런데 이 문제와는 좀 동떨어진 결과이군요. 그래도 재미있는 결과라서 올려봅니다.)
06/12/06 01:33
율리우스 카이사르// 이 문제에서는 분명 그렇게 볼 수도 있겠군요. 자동차가 없는 상자를 연다는 것이 약속되어 있지 않고, 사회자가 자동차가 있는 상자를 열 가능성을 내포한 상황에서 사회자가 자동차가 없는 상자를 열어보였다면 얘기는 달라지지요. 의도가 개입되면 그야말로 확률을 계산할 수 없는 문제가 되며, 사회자가 단순히 의도가 없이 (자동차가 있는 상자를 보여줄 가능성도 내포한 상태로) 한 상자를 보여주는 것이었다면, 이 경우에는 조건부 확률 문제가 되며, 이때에는
(처음 고른게 상품 1/3) x (무조건 자동차 없는 상자를 보여줌 1) - 상자를 바꾸면 실패 (처음 고른게 상품 1/3) x (무조건 자동차 없는 상자를 보여줌 1) - 상자를 안바꾸면 성공 (처음 고른게 꽝 2/3) x (자동차 없는 상자를 보여줌 1/2) - 상자를 바꾸면 성공 (처음 고른게 꽝 2/3) x (자동차 없는 상자를 보여줌 1/2) - 상자를 안바꾸면 실패 (처음 고른게 꽝 2/3) x (자동차 있는 상자를 보여줌 1/2) - 상자 바꿀 여지 없이 그냥 당첨 (처음 고른게 꽝 2/3) x (자동차 있는 상자를 보여줌 1/2) - 상자 바꿀 여지 없이 그냥 당첨 이렇게 계산하여 1/3의 확률로 가만히 있다가 당첨되거나, 그렇지 않더라도 상자를 바꾸든 안바꾸든 당첨 확률은 둘다 1/2이 되는 재미없는 쇼가 되겠군요; 율리우스 카이사르 님의 의견처럼 이 문제는 '사회자는 반드시 자동차가 없는 상자를 보여준다'는 전제 조건이 반드시 필요한 것으로 보이고, 원 문제도 그랬던 것으로 기억합니다.
06/12/06 01:33
비롱투유 // 그러니까요, 사회자가, 차가 들어있지 않은 방을 보여주는 행위를 할지 안할지 선택할 권한 을 준다면 달라져요. 근데 이문제에는 그런 설명이 없어요. .. 아 답답해라 ㅠㅜ.
확률적으로는 저도 그렇고 위에 hero님도 그렇고 다들 썼으니까 .. (사실 비롱투유님이 쓴게 수학적으로 증명한거나 다름없어요..) 다들 아시게 될거에요. 답답한것은, 마치 이문제가 확률의 실생활에서의 무용성을 증명해주는 듯이 이해하고, 확률이라는 것이 좀 기괴한 것이라는 인상만을 받고 가시는 분들이 많은 것같아서 그래요. 이문제 낸사람은 학생들에게 독립/종속/조건부확률 등의 개념을 확실하게 심어주기 위해서 낸 똑똑한 교수이거나, 그것이 아니라면 일반인들 골려먹을려고 말장난 친 나쁜 놈이거나 둘 중에 하나라고 생각해요. 쩝.
06/12/06 01:36
안티테란 // '사회자는 자동차가 '없는' 상자를 보여준다' 가 중요한 전제조건인게 아니라(이거야 사회자가 어디에 자동차가 있는지 알면 당연한거니) '사회자는 자동차가 없는 상자를 보여주는 행위를 '꼭' 해야한다. 안보여줄 수는 없다.' 라는 전제조건이 중요한겁니다. 제말을 다르게 이해하셨네요.
제가 heyman님 말씀이 일리가 있다고 말씀드린것은, '사회자가 자동차가 없는 상자를 보여주는 행위를 '할'' 확률은 사회자마음이므로 정확한 확률을 계산할 수가 없게 된다는 거죠. 그러면 심리학의 영역, 가위바위보의 영역으로 넘어가게 되는 것이며 이럴경우 수학의 영역(물론 고등수학을 적용한다면 또 다르겠습니다만..)을 떠난 다는 거죠.
06/12/06 01:37
율리우스 카이사르// 안보여주는 것은 이 문제의 전제에도 어긋나는데요.
실제로 이 쇼는 매번 패턴이 정해져 있었고, 그것이 항상 사회자가 자동차가 없는 문을 추가로 열어주는 행위였죠. 이런 정보를 알고 있다면, 1/3, 2/3으로 계산하는 것이 옳다고 봅니다.
06/12/06 01:42
안티테란 // 맞아요. 근데 firewolf 님이 올린 문제에는 이 쇼가 매번 패턴이 정해져있는 쇼인지 아닌지에 대한 정보가 없지 않습니까? 님이라면 이문제에 나와있는 상황에 처했을때 상자를 무조건 바꾸시겠습니까? ^^ 저라면 사회자의 표정이나 말투 등을 느끼고 제감각에 의존해서 결정하겠습니다. 그건 완전 다른문제입니다. 지금 댓글의 흐름이 마치 수학을 실생활에 적용하는 것이 괴리가 있다. 라는 쪽으로 가는 것같아서 답답해서 그럽니다. 게다가, 이놈의 과학콘서트 책은 도대체 어디에 있는거야 ㅠㅜ.
06/12/06 01:46
율리우스 카이사르 // 패턴이 정해져 있다는 말이 없다면 애초에 아무 것도 구할 수 없게 되는거지요. 저도 과학콘서트 책을 병원에 기증해버려서 지금 확인해 볼 수는 없습니다만, 여기서 이 문제가 패턴이 정해져 있지 않으므로 답을 구할 수 없다는 결론을 낼 것이라고는 생각되지 않습니다. 더군다나 저 위에서 몬티 홀이라고 큰 힌트를 주지 않았습니까. 이것만으로도 충분히 검색으로 정보를 얻을 수 있고 사람들이 어떻게 계산하고 있고, 어떤 것이 결론인지 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 분명 위 문제의 정보만으로는 이 쇼의 패턴을 파악하기 쉽지 않고 때문에 이것은 글쓰신 분이 몬티 홀 문제에 대해 더 정확히 파악하고, '사회자는 항상 출연자가 상자를 선택하고 열기 전에, 자동차가 없는 양을 보여주는 행위를 한다'는 조건을 달아서 문제를 약간 수정하는 것으로 끝날 일이라고 생각합니다.
06/12/06 01:47
책에서 빠뜨린 점은 없는 것 같네요. 사회자가 꽝인 문 하나를 여는 것도 으레 그렇게 하는 것 같고요. 과학콘서트 책에서는 이 문제가 실제로 있는 쇼프로그램에서 저런 상황이 자주 발생하는데 어떻게 하는 게 유리하냐고 묻는 독자의 질문에 칼럼니스트가 바꾸는 게 유리하다고 답했다는 일화로 나옵니다.
06/12/06 01:57
안티테란 // .....패턴이 정해져 있다는 말이 없다면 애초에 아무 것도 구할 수 없게 되는거지요.... 라고 하셨는데, 지금 firewolf님이 올린 문제에 패턴이 정해져있다는 말이 없지 않습니까?
즐거운 하루 // 예, 그러니까 이문제는 그 '쇼프로가 으레 그렇게 한다.' 라는 전제조건을 빠뜨린 것이며, 잘못되었습니다. 이 전제조건이 중요한게 아니라고 생각하시면, 솔직히 전 진짜 당황스럽네요(왜 안중요하다고 생각하시는지?). 솔직히 많은 분들이 옛날에 책을 읽으시면서 답을 이해하신 후에, 이문제를 자세히 읽지도 않고 처음 이문제를 읽으시는 분들을 막 몰아부친거라고 전 생각이 드네요. 아까도 말했지만 heyman님 처럼 생각하는게 당연한겁니다.
06/12/06 02:16
율리우스 카이사르 // 님의 말을 들으니 좀 부끄럽네요. 이 문제를 처음 접하시는 분들의 생각을 못했네요. 저도 다른 퀴즈보면서 전제가 부족한 것 같다. 이것 가지고는 답이 한 가지가 아니다 생각 많이 했었는데, 제가 아는 문제가 나오니 생각이 좁아졌네요. 저도 사회자와의 심리 싸움이 들어가면 계산은 못하겠지만, 확률이 더 복잡해질지도 모른다는 생각이 듭니다.
06/12/06 02:30
즐거운하루 // 계산하긴 귀찮지만, 아마 사회자가 자동차가 없는 문을 여는 행위를 할 확률이 게임참가자의 선택과 상관없이 50:50이라면, 역시 같은 결론이 나올겁니다(확률은 조금 달라질듯). 이문제에 거부감을 느끼는 이유는, 그런 약속이 없는한(최소한 사회자가 중립적이라는 약속이라도) '내가 옳은 문을 골랐으니 이놈이 날 헷갈리게 할려고 장난치는 구나'라는 의심이 존재한다는 것이고 사실 현실세계에서 당연히 생각해보면 그것은 합리적인 의심이라는 것이죠.
관점을 바꿔보죠. 제가 여러분을 만나서.. 100원을 걸고 제가 드리는 3개의 통 중 하나를 고르는 게임을 제안한다고 합시다. 한통안에는 300원이 있구요. 못고르면 제가 100원 먹는거구요. 잘고르면 여러분이 300원 먹는거죠. (공정한 게임이죠.) 그래서 하기로 하고 한통을 골랐는데, 제가 씩 웃으면서 다른 두통중 비어있는 통을 까면서 이렇게 말합니다. '당신께서도 PGR에서 몬티홀 문제 봤으면 통바꾸는게 유리하다는거 아시겠죠? 바꾸실거죠?' 여러분은 저랑 이렇게 게임하면 통을 바꾸시겠습니까? ^^
06/12/06 02:45
볼수록 헷갈리는데요.
비롱투유님의 글을 보고 좀 수정해 보겠습니다. A, B, C 이렇게 방 3개가 있을때 편의상 A에 차가 들어있다고 가정하죠. A 를 처음 선택한 경우 B와 C 둘다 차가 들어있지 않으니 둘 방중 아무거나 열어서 보여줍니다. 그리고 A를 선택했던 사람이 바꾼다면 B나 C 옮기고 어떤 선택을 하던지 결과는 "꽝"이 될 수 밖에 없습니다. --> 여기서 사회자는 B와 C를 선택할 권한이 있습니다. 아무거나 선택해도 차이가 없다는 말에 중복으로 B의 경우와 C의 경우를 하나로 합쳐 버린 것 같습니다. 사회자가 차가 없는 'B'를 열었을 때 선택자가 'C'로 바꾸면 '꽝' 사회자가 차가 없는 'C'를 열었을 때 선택자가 'B'로 바꾸면 '꽝' 이렇게 두 경우가 다 존재 하는거죠. 사회자도 'B'와 'C'를 선택할 경우의 수를 넣어야 하는 거 아닌가요? 우리가 실제로는 선택 할 때 A, B, C상자를 각각 구분할 수 있죠. 위치든 색깔이든.. B를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 C방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(C방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. C를 선택한 경우 A에는 차가 들어있으니 사회자는 B방문을 열어서 보여줍니다. 선택자가 바꿀 경우 A로만 바꿀 수 있기 때문에(B방에는 없는게 확인되었으므로) "당첨"입니다. 결국 4 가지 경우 중에 '꽝' 두번 '당첨' 두번아닌가요? 헷갈리네...
06/12/06 02:52
온누리 님
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/9/9e/Monty_tree.svg/350px-Monty_tree.svg.png 참조. 확률이 다른 각 경우를 똑같이 세시면 곤란. :)
06/12/06 09:31
자고 일어나니까. 대충 이해가 될꺼 같은데요.. 처음 찍은게 맞다면 바꾸면 틀리는거고 틀리면 바꾸면 맞는건데 처음에 찍어서 맞을 확률이 1/3로 틀릴확률보다 작으니까 바꾸는게 유리하다. 이거 같네요.
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