이곳 피지알에서도 몇 번 말씀드렸던 것 같은데 저는 학창시절에 수학을 너무 못했습니다. 지금 와서 생각해 보면 어떻게 그렇게 못할 수 있었을까 싶을 정도이지요. 물론 이제는 미적분 문제를 못 풀어도 제 삶에 있어서 아무런 영향도 없긴 합니다만 그래도 가끔씩 이제는 시험에 관한 압박도, 점수에 대한 부담도 없으니 수학의 정석 책을 다시 사서 취미 생활하듯 수학 문제들을 풀어볼까 하는 생각도 하곤 합니다.

저 같은 사람이야 정말 기본 수준의 수학 문제들을 가지고 그것들이 마치 희대의 난제이기라도 한 것처럼 쩔쩔 매겠지만 실제로 날고 긴다는 수학자들 사이에서도 아직까지 해결하지 못한 수학의 난제들도 꽤 있다고 합니다. 그것들 가운데는 "리만 가설"처럼 아주 유명한 것들도 있고 그런 난제들에 비해서 덜 알려졌지만 그래도 역시 최고 수준의 수학자들도 아직 풀지 못한 문제들이 여전히 남아 있다고 합니다. 오늘은 이렇게 많이 알려지지는 않았지만 아직까지 수학자들이 풀지 못하고 있는 문제들 몇 가지를 소개해 볼까 합니다.

만약 여러분들이 이 문제들을 해결한다면 아마 수학 분야의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 받게 되고 수학사의 한 페이지에 이름을 남기는 거 아닌가 모르겠습니다.


Brocard’s Problem

어떤 정수 n에 대해서 n!는 아래와 같이 정의됩니다.

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1

n!이 의미하는 것은 n개의 사물을 배열하는 가짓수라고 합니다. 예를 들어 영어 알파벳의 개수는 모두 26자인데 모든 영어 알파벳을 배열할 수 있는 가짓수는

26! = 403,291,461,126,605,635,584,000,000

만큼이 된다고 합니다.

그런데 헨리 브로카드(Henri Brocard)라고 하는 학자는 1876년과 1885년에 발표한 논문에서

4! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5의 제곱
5! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11의 제곱
7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 = 71의 제곱

임을 보였습니다. 그는 이 세 경우를 제외한 다른 정수의 계승에서는 1을 더해서 어떤 수의 제곱이 되는 경우를 발견하지 못했다고 했습니다. 그러면서 저 세 숫자들(4, 5, 7)말고 다른 정수의 계승에 1을 더하면 어떤 수의 제곱이 되는 경우가 더 있는 지 궁금해 했지요. 현재 수학자들이 숫자 10억 까지는 해당되는 경우가 없다는 것을 계산을 통해서 밝힌 상태라고 합니다.


Odd Perfect Numbers

어떤 수의 진약수들을 다 더해서 자기 자신이 될 때 우리는 그 수를 완전수라고 합니다. 여기서 진약수라는 것은 자기 자신을 제외한 약수들을 가리킨다고 합니다. 예를 들어 아래와 같이

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

6과 28은 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같아지므로 완전수들입니다.

유클리드는 2의 p승에서 1을 뺀 수가 소수일 때, 그 소수에 2의 p-1승을 곱한 수는 완전수라는 것을 증명했습니다. 즉 아래의 수식에서 괄호 안의 수가 소수라면 이 수식의 계산을 통해서 나온 수는 완전수라는 것입니다.



위의 수식에서 p가 2일 때가 바로 6의 경우이고 p가 3일 때가 바로 28의 경우입니다. 위와 같은 조건을 만족시키는 가장 큰 소수는 p값이 43,112,609라고 합니다.

유클리드는 짝수인 완전수는 모두 위 수식에 들어맞는다는 것도 증명했습니다. 즉, 저 수식을 통해 나오는 완전수들은 모두 짝수였습니다. 하지만 문제는 홀수인 완전수가 있느냐는 것이었습니다. 아직까지 홀수인 완전수는 발견되지 않았고 홀수인 완전수가 존재하지 않는다는 것도 증명이 되지는 않았다고 합니다.


Collatz Conjecture

아무 정수나 하나 선택합시다. 만약 그 정수가 짝수라면 그 수를 2로 나눕니다. 만약 그 정수가 홀수라면 거기에 3을 곱하고 난 후 1을 더합니다. 그리고 이렇게 계산해서 나온 값이 다시 짝수인지 홀수인지에 따라서 계속해서 위의 과정을 반복합니다. 그러면 어떤 현상이 벌어질까요? 예를 들어 12를 선택해 보겠습니다. 그러면 아래의 과정을 거치게 될 것입니다.

12 -> 6 -> 3 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

일단 계산 값으로 1이 나온 이후로는 계속해서 4 -> 2 -> 1이 무한반복 됩니다.

Collatz라는 학자는 여러분들이 초기 숫자를 무엇을 선택하든지간에 결국 마지막에는 저 4 -> 2 -> 1 무한반복의 결과로 나타나게 된다고 주장했습니다. 나중에 학자들은 5.764 x 10의 18승 까지는 Collatz Conjecture가 성립한다는 것을 보였습니다. 하지만 모든 정수가 다 Collatz Conjecture를 만족시키는 지는 아직 증명하지 못했다고 합니다.



모든 것은 1로 돌아온다...


이런 문제들을 보면 정말 수학의 세계는 신기한 것 같습니다. 그리고 여기에 빠지면 마치 마약 중독에 빠지는 것처럼 오직 수학 문제 하나의 증명을 위해 모든 인생을 다 걸 수도 있을 것 같다는 생각도 들면서 약간 무서워지기도 합니다. 제가 수학적 능력이 없었다는 걸 다행으로 여겨야 하는 걸까요? (--;;) 그런 의미에서 여러분들도 너무 저 문제들을 증명하겠다고 열의를 보이지는 마시길 빌겠습니다. 증명 없이도 우리의 삶은 충분히 의미가 있으니까요...--;;