1. ELO란 무엇인가?
아시는 분은 아시겠지만, ELO Rating은 체스의 선수의 실력을 평가하는 방식입니다. 처음에 일정 점수를 모든 선수에게 부여한 뒤, 승부에 임하는 양자의 포인트와 승패에 따라 가/감이 결정되어 점수가 오르내리는 방식이죠. 뒤에 자세히 설명하겠지만, 간단하게 이야기하면 강한 상대를 이길 수록 높은 점수를 얻을수 있고, 약한 상대에게 패할수록 큰 점수를 잃게 됩니다. 그 합리성 때문에 다른 분야에서도 종종 응용되곤 하는데, 스타크래프트의 배틀넷 래더 점수나 LOL의 랭킹전 포인트도 ELO 시스템에 의해 결정됩니다. 축구에서도 응용된 사례가 있는데, 이를 소개해보는 것도 괜찮겠다 싶어 글을 올려봅니다.
2. World Football Elo Ratings
현재 각국의 국가대표 축구팀의 전적을 토대로 ELO 랭킹을 발표하고 있는 곳은
http://www.eloratings.net 이라는 곳입니다. 다소간 난삽할 수 있는데, 일단 간단하게 보기 좋은 것은 영문 위키 백과의 페이지입니다.
http://en.wikipedia.org/wiki/World_Football_Elo_Ratings
3. ELO의 산출공식
산출 공식은 그리 어렵지 않습니다. 약호가 섞여 있어 헷갈릴 따름이지 잘 따져보면 초중등학교 산수 수준이죠.
Rn = Ro + P
P = KG (W-We)
Rn = Ro + KG(W-We)
가 산출 공식입니다. 다만, 현재
http://www.eloratings.net 사이트의 방식은 다소간의 추가 사항이 있어 일일히 풀어 설명합니다. 각각의 의미를 살펴보죠.
Rn = 현재의 총계입니다.
Ro = 이전까지의 총계입니다.
P = 포인트의 획득량입니다. 이전의 총계인 Ro에 P를 더해주면 현재의 총계인 Rn이 나오는 거죠.
K = 경기별 가중치입니다. 월드컵 본선은 60점, 대륙컵이나 컨페더레이션스컵은 50점, 월드컵이나 대륙컵 예선은 40점, 기타대회는 30점, 친선전은 20점인 구조입니다. 즉, 중요한 매치일수록 포인트 획득/감소의 폭이 큽니다.
G = 골의 차이입니다. 구체적으로는 G값은 1골 차일 때는 1, 2골 차일 때는 1.5, 3골 이상의 차이가 났을 때는 (11+득실차)/8이 됩니다. 이것 때문에 대승을 하면 할수록 점수가 많이 올라가게 되고, 대패를 하면 점수가 많이 깎이게 됩니다. 2골 차로 이기면 1골 차로 이겼을 때보다 1.5배 정도 높은 포인트를 획득하게 되는 거고, 5골 차로 이기면 1골로 이겼을 때보다 2배 높은 포인트를 획득하게 되는 거죠.
W = 경기결과값입니다. 승은 1, 무는 0.5, 패는 0입니다.
We = 기대값, 즉 기대승률입니다. 기대승률은 양팀의 포인트를 통해 계산됩니다. 구체적으로는 다음과 같습니다.
여기서 dr은 양팀의 포인트 차를 말합니다. 예컨대
브라질이 2000 포인트이고 한국이 1600포인트라고 할 때,
브라질의 기대 승률을 계산해봅시다. 양팀의 포인트 차는 400이죠. 이러면 식은 1/{10^(-1)+1} =1/(0.1+1) = 10/11이 되므로,
브라질의 기대 승률은 약 91%가 됩니다. 반대로 한국의 기대 승률은 9%가 되겠고요.
이렇게 가정할 때, 기대승률이 약 0.91인
브라질이 만약 한국을 상대로 무승부를 거두었다고 할 경우, 결과값인 W는 0.5가 되고 기대값인 We는 약 0.91이니 W-We는 약 -0.41이 되는 셈이죠. 그러니
브라질은 경기에 비길 경우 포인트가 깎이게 됩니다. 이는 합리적입니다. 한참 약팀 상대로 비겼다면 점수가 떨어져야 마땅하니까요. 이겼을 경우에도 거의 포인트를 따지 못합니다. 이 역시도 합리적입니다. 이기는 게 당연한 상대니까요.
김도훈의
브라질전 결승골. 이 때 한국의 승리 확률은 얼마였을까?
참고로 홈 어드밴티지의 경우, ELO로 100점으로 계산합니다. 즉, 위의 예에서 경기가 한국 홈에서 열렸다면 한국의 포인트는 1700점인 셈으로 치고 P값을 내는 것이죠.
이상의 설명이 다 귀찮다 싶으시면 그냥 아래의 기대승률값을 보시면 되겠습니다. 맨 좌측의 숫자가 포인트 차이입니다.
0 0.500 0.500
10 0.514 0.486
20 0.529 0.471
30 0.543 0.457
40 0.557 0.443
50 0.571 0.429
60 0.585 0.415
70 0.599 0.401
80 0.613 0.387
90 0.627 0.373
100 0.640 0.360
150 0.703 0.297
200 0.760 0.240
250 0.808 0.192
300 0.849 0.151
350 0.882 0.118
400 0.909 0.091
450 0.930 0.070
500 0.947 0.053
550 0.960 0.040
600 0.969 0.031
650 0.977 0.023
700 0.983 0.017
750 0.987 0.013
800 0.990 0.010
* 이 기대 승률은 임의로 나온 것이 아니라 정규 분포 곡선에 따른 것입니다. 자세한 설명은 아래 링크가 괜찮습니다. 제 글보다 훨씬 간결하게 ELO의 개략적인 특성을 설명해주고 있는 글입니다.
http://young2write.wordpress.com/2010/05/21/elo-rating-%EC%B2%B4%EC%8A%A4%EB%B6%80%ED%84%B0-%EB%B9%84%EB%94%94%EC%98%A4-%EA%B2%8C%EC%9E%84%EA%B9%8C%EC%A7%80-1/
쉽게 요약하자면, 40점 차이나면 55:45, 70점 차이나면 60:40, 150점 차이나면 70:30, 200점 차이나면 75:25, 400점 차이나면 90:10, 800점 차이나면 99:1 정도가 되겠습니다. 위에서 홈 어드밴티지는 100점이라고 했는데, 100점 차이 날 경우에는 64:36이네요. 홈 어드밴티지가 무시무시함을 알 수 있습니다.
ex)
한국과 튀니지의 친선 경기를 두고 살펴 봅시다. 이 경기 이전에 한국은 1690포인트, 튀니지는 1512 포인트를 가지고 있었습니다. 포인트 차이는 178포인트가 났죠. 여기에 한국의 홈이었으니, 100점을 더하여 278 포인트 차이. 한국의 기대 승률은 약 83%, 즉 0.83이었습니다. 그리고 경기 결과 한국은 튀니지에게 0:1로 한 골 차 패배를 합니다.
Ro는 1690이고, K는 친선 경기니 20이고, 한 골 차 패배니 G는 1이고, W는 0, We는 0.83이므로,
Rn = 1690 + 20 * 1 (0-0.83) = 1690 - 16.6 = 1673.4
이렇게 한국의 점수는 16점 이상 깎이며 약 1673점이 되었습니다. 반대로 튀니지는 16점 이상 오르며 약 1529 포인트가 되었고요.
83%를 무색케 하는 패배
4. ELO가 피파랭킹에 대해 가지는 강점
1) 현 피파랭킹은 기본적으로 가점만 있고 감점이 없습니다. 감점이 있는 것은 5점차 이상의 대패를 한 경우나, 현재 자신의 팀의 랭킹보다 20위 이상 낮은 상대에게 패배할 경우 뿐입니다. 때문에 패배는 큰 문제가 안 되기 마련이고, 경기를 많이 치르는것이 유리해지는데, ELO 랭크에서는 패배 시에는 감점이 있으며, 특히 약체 상대로의 패배는 포인트 타격이 크기 때문에, 다전은 아무 의미가 없게 됩니다.
2) 물론 피파 랭킹 시스템에도 상대의 전력에 따른 보정이 있습니다. 200에서 상대의 피파 랭킹을 뺀 값을 기본값으로 획득하게 되죠. 가령 피파랭킹 50위 팀을 이겼을 시에는 150점을 기본으로 주는 식입니다. 하지만 여기에도 제한이 있는데, 150위 이하의 팀들에게 승리했을 경우에도 최소한 50점은 주어진다는 것입니다. 즉, 피파랭킹 상으로는 아무리 약한 상대라고 하더라도 이기면 최소 50점은 얻습니다. 그러니 약팀과 다전을 치르는 것이 꽤나 유리합니다. 또한, 피파랭킹 1위팀을 이겨도 200점에 불과하지만 그보다 한참 약한 50위 팀을 상대하더라도 150점이 주어지며, 명백한 약체팀인 100위 팀을 이기면 100점을 얻을 수 있다는 점에서 변별력이 떨어집니다. 현재 피파랭킹 1위인 스페인을 한 번 이기는 것과 피파랭킹 100위인 카타르를 두 번 이기는 것이나 피파랭킹 끄트머리에 있는 산 마리노를 네 번 이기는 것이 아무 차이가 없게 되는 거죠. 하지만 ELO에서는 한참 차이나는 약팀 상대로 이겨봐야 점수 증가분은 얼마 안 됩니다. 때문에 다량의 양학으로 포인트 거품을 만드는 것이 사실상 불가능합니다.
3) 피파랭킹도 경기별, 지역별 가중치를 두긴 합니다. 유럽 팀이나 남미팀 간의 경기에는 경기의 기본 점수에 1을 곱하고, 북중미 팀 간의 경기에는 0.88, 아시아 팀이나 아프리카 팀 간의 경기에는 0.86, 오세아니아 팀 간의 경기에는 기본 점수에 0.85를 곱하는 식이죠. 하지만 이 정도 차이는 사실 큰 차이가 아니기 때문에 실질적인 변별력은 떨어집니다. 오세아니아에서의 경기나 유럽에서의 경기나 15% 정도의 차이 밖에는 안 난다는 거죠. 게다가 지역 내에도 팀 간의 편차가 상당히 다양하기 마련인데, 피파랭킹에서는 이를 무시하고 지구를 6분할 해서 일괄적으로 가중치를 적용합니다. 이 점에서 주먹구구식이라는 비판을 피하기 힘들죠. ELO에서는 이런 요소를 아예 두지 않고 승부에 임하는 양자 간의 포인트 차이만으로 모든 수치가 나오며, 양자 간의 포인트 차이에 따라 산출값의 편차가 클 수 있다는 점에서 피파랭킹에 비해 변별력이 있습니다.
4) 한 마디로, 피파랭킹은 일관된 근본적인 점수 체계랄 것이 없고, 그러다보니 이런저런 부가적인 요소들이 외삽되면서 흡사 누더기 같은 형태를 띠는데, 그에 반해 ELO 랭킹은 굉장히 단순하고 간결합니다.
심플?
5. 현재의 랭크
다소 설명이 지루했을 줄 압니다. 그러니 이런 산출 공식에 의해 어떤 랭킹이 나왔는지부터 보도록 하죠.
이탈리아가 지나치게 낮아보이고 잉글랜드와 네덜란드가 높다 싶을 수 있습니다. 그러나 이는 이상할 게 없는 것이, 이탈리아는 최근의 A매치 7전에서 6무 1패를 기록하는 최악의 부진을 거듭하고 있기 때문입니다. 그에 반해 잉글랜드는 유로 2012 이후를 기준으로 할 때 스웨덴과 독일과 칠레에게 패한 3전 외에는 패배가 없고,
브라질을 상대로 홈/어웨이로 두 번을 싸워 1승 1무를 기록하기도 했죠. 네덜란드 같은 경우에는 말할 것도 없는 것이, 2012년 9월 이후로는 단 한 경기도 지지 않았고, 월드컵 유럽 지역 예선에서 9승 1무를 기록했으니 포인트가 낮을래야 낮을 수가 없습니다. 이렇듯, 어떤 순위들은 이미지와 잘 부합하지 않는 경우가 있지만, 곰곰이 따져보면 그 이미지들의 대부분은 우리의 편견에 불과할 뿐이란 것을 알 수 있죠. 우측에 피파랭킹도 적혀 있는데, 둘을 비교해보는 것이 꽤 재미가 쏠쏠합니다.
6. 현재는 이렇고, 그럼 역대 최강의 국가대표는?
역사상 어느 팀이 가장 포인트가 높았는지를 추산해본 것입니다. 스1으로 치면 역대 래더 최고 점수자...비슷한 게 되겠죠. 결과는 다음과 같습니다.
1 Hungary 2166 30 June 1954
2 Brazil 2153 17 June 1962
3 Spain 2142 23 June 2013
4 Argentina 2117 3 April 1957
5 France 2106 15 August 2001
6 Netherlands 2101 6 July 2010
7 Germany 2099 4 September 1974 (as West Germany)
8 Italy 2079 20 July 1939
9 Poland 2047 1 September 1974
10 England 2041 22 October 1966
1954년 월드컵 당시의 매직 마자르가 체고시다! 그 다음을 잇는 것이 월드컵 2년패 즈음의
브라질이고, 그 다음이 근자의 스페인...50년대의 아르헨티나는 저도 잘 모르겠네요. 5위는 01년의 프랑스. 물론 이것은 최고점만을 의미할 뿐, 지속기간이 나와있지는 않다는 점에서 부분적인 판단만이 가능하겠습니다만, 어쨌든 참고는 되리라 봅니다.
약간 아쉬운 것은 한 국가를 한 번만 등재했다는 것입니다. 이 때문에 74 네덜란드나 70, 82
브라질이나 80년대의 서독, 90년대
브라질 같은 역사적인 강팀들은 점수가 어땠는지 알 수가 없네요.
ex) 많은 분들이 마르바이크의 네덜란드가 왜 저리 높은 순위에 있는지 의아하실 수 있습니다. 하지만 이 역시 자명한 결과입니다. 저것이 월드컵 결승전 직전까지의 점수인데, 마르바이크의 네덜란드는 월드컵 지역 예선에서 전승을 거두었으며, 본선의 조별리그에서도 전승이었고, 결승전 전까지도 승부차기 없이 정규 시간 내에 승리를 거두고 토너먼트를 뚫었죠. 월드컵 결승전 이전까지 10연승을 달리고 있었으며, 2008년 9월 이후 A매치에서 29전 25승 4무의 말도 안 되는 전적을 거두고 있었습니다. 포인트가 높을만 하죠.
7. 월드컵 본선 진출국들의 ELO 랭크 현황.
A조
브라질 1위, 2113
멕시코 16위, 1820
크로아티아 21위, 1787
카메룬 56위, 1602
1강 2중 1약의 구도라고 할 수 있겠습니다. 일단 전체에서 유일하게 2100점을 넘긴
브라질이 그 다음 랭커인 멕시코와 300점 가까운 차이를 보입니다. 여기에 홈 어드밴티지 100점까지 고려하면 뭐...물론
브라질이 지금까지 포인트를 쌓은 데에는 컨페더레이션스 컵이 홈에서 열렸다는 점 등이 있겠습니다만, 어쨌든 월드컵도 홈에서 하니까요.
B조
스페인 2위, 2086
네덜란드 5위, 1959
칠레 9위, 1895
호주 33위, 1699
세간의 인식과는 달리 네덜란드와 칠레의 포인트가 굉장히 높은 편이라 포인트만 놓고 볼 때는 3강 1약의 구도가 되겠습니다. 물론 스페인과 네덜란드는 순위 차이는 얼마 안 나도 실질적인 포인트 차이는 제법 크기 때문에 포인트를 놓고 볼 때는 스페인은 안정권에 있다고 볼 수 있겠습니다만, 어쨌든 A조와 유사하면서도 훨씬 빡빡한 조가 되겠죠.
C조
콜롬비아 9위, 1897
그리스 1796, 20위
코트디부아르 22위, 1778
일본 24위, 1753
예상대로 고만고만하죠. 그리스와 코트디부아르와 일본이 2위 간격으로 다닥다닥 붙었습니다. 1강 3중으로 말할 수 있겠죠.
D조
잉글랜드 6위, 1914
우루과이 9위, 1895
이탈리아 11위, 1879
코스타리카 32위, 1707
잉글랜드가 최고 순위인 것이 다소 예상 외겠죠. 그래도 어차피 다들 비슷비슷합니다. 3강 1약.
E조
프랑스 12위, 1869
스위스 16위,1820
에콰도르 19위, 1813
온두라스 45위, 1642
에콰도르가 프랑스, 스위스와 크게 차이나지 않는다는 점이 주목할만한 점입니다. 남미 버프까지 감안하면 에콰도르의 약진을 예측해볼 법도? 네덜란드에게 원정 가서 비기기도 했고 잉글랜드와도 비겼으니.
F조
아르헨티나 4위, 1989
보스니아 헤르체고비나 25위, 1751
나이지리아 30위, 1719
이란 34위, 1695
특별히 평할 게 없는 무난한 1강 3약입니다.
G조
독일 3위, 2046
포르투갈 7위, 1902
미국 13위, 1832
가나 38위, 1687
각각의 팀 간의 격차가 꽤나 나는 편이죠. 1최강-1강-1중-1약. 독일과 포르투갈이 순위 상으로는 비슷해보이지만 포인트 차이는 140점에 달합니다. 즉 포르투갈이 독일 상대로 3번 싸워 한 번 이기면 잘 한 편이라고 할 수 있겠죠. 하지만 그 한 번이 이 대회가 될 수도 있는 것일 테고. 의외로 가나의 순위가 낮고, 미국은 꽤 높습니다.
H조
벨기에 14위, 1824
러시아 15위, 1821
한국 42위, 1673
알제리 53위, 1609
벨기에와 러시아는 거의 난형난제 수준의 점수입니다. 그에 반해 한국과 알제리는 한참 아래에 있고...
포인트 상으로는 2강 2약 내지 2중 2약이라고 해도 무방합니다.
8.
클럽 축구에 대해서도 이를 적용하고 있는 사이트가 있습니다.
http://clubelo.com 란 곳이죠. 이곳 역시 ELO를 토대로 클럽팀의 랭크를 평가한다는 점에서 위의
http://www.eloratings.net 와 동일하나, 산정과정에서의 보정치 등이 다소간 차이가 있습니다. 자세한 것은
http://clubelo.com/Articles/RatingSystem.html 를 참고하실 수 있고...
현 시간 클럽팀 ELO 랭크표입니다. 오렌지 색은 LFP, 초록색은 분데스리가, 붉은색은 EPL, 파란색은 세리에A입니다.
1 Real Madrid 2082
2 Bayern 2060
3 Barcelona 2043
4 Atlético 1965
5 Man City 1959
6 Chelsea 1921
7 Dortmund 1913
8 Juventus 1904
9 Liverpool 1899
10 Paris SG 1873
11 Benfica 1864
12 Arsenal 1849
13 Man United 1842
14 Bilbao 1822
15 Sevilla 1818
16 Everton 1811
17 Schalke 1792
18 Napoli 1782
19 Sociedad 1781
20 Porto 1774
21 Valencia 1773
22 Leverkusen 1773
23 Tottenham 1772
24 Shakhtar 1758
25 Roma 1753
26 Villarreal 1752
27 Wolfsburg 1751
28 Gladbach 1727
29 Zenit 1723
30 Celta 1714
리그 랭킹은 LFP-EPL-분데스리가-세리에A-리그앙-프리메이라 리가 순입니다. UEFA 랭킹과는 다소 다르죠. 포르투갈 리그의 경우, 상위 3팀이 유럽 대항전에서 선전하며 UEFA 리그 포인트를 많이 따가긴 했지만, 리그 내에서 나머지 팀들이 상위 3팀들을 거의 이기지 못했기 때문에 ELO 포인트를 거의 따지 못했고, 이것이 리그 평균 포인트가 낮은 원인입니다. 즉, 자국 리그 내에서의 불균형이 심한 것을 의미합니다.
리그별 현황을 훑어보자면
LFP 팀은 50위 안에는 12개팀, 100위 안에는 23개 팀(2부리그 포함)
EPL 팀은 50위 안에 9개팀, 100위 안에 18개팀,
분데스리가는 50위 안에 9개팀, 100위 안에 16개팀,
세리에A는 50위 안에 5개팀, 100위 안에 10개팀,
리그앙은 50위 안에 5개팀, 100위 안에 8개팀,
프리메이라 리가는 50위 안에 3개팀, 100위 안에 3개팀(즉 51~100위 사이에 0개팀)
이렇습니다.
참고로 여기에도 올타임 테이블이 있습니다.
Real Madrid 2164 13 Mar 1961 Miguel Muñoz
Bayern 2129 26 Mar 2014 Pep Guardiola
Barcelona 2118 15 Apr 2012 Pep Guardiola
Milan 2066 18 Mar 1993 Fabio Capello
Man United 2027 12 Mar 2009 Alex Ferguson
Chelsea 2019 23 Oct 2008 Luiz Felipe Scolari
Ajax 2013 7 May 1973 Stefan Kovács
Hamburg 2008 9 Nov 1980 Branko Zebec
Atlético 2004 1 May 2014 Diego Simeone
Gladbach 1999 25 Jan 1976 Udo Lattek
Liverpool 1994 18 Nov 1990 Kenny Dalglish
Bilbao 1990 29 Oct 1956 Ferdinand Daucík
디 스테파뇨와 푸슈카시, 헨토, 산타마리아 등으로 유명한 저승사자 군단의 레알이 1위를 차지했습니다. 그 뒤를 잇는 것이 최근의 바이언, 바르샤..그 다음은 카펠로의 밀란이고, 08-09 챔피언스리그 전의 맨유도 당당히 순위에 올랐습니다. 그 다음은 08-09 시즌 초의 첼시네요. 스콜라리 첼시라는 점에서 의아할 수 있을 것이나, 저 시점인 10월 23일까지만 해도 첼시는 리그와 챔스에서 무패를 달리고 있던 시점이었죠. 한창 데쿠 잘 데려왔다는 이야기 나오던 시점. 이후 리버풀과 로마 등에게 연이어 패배하며 난조를 겪게 됩니다. 아약스는 순위가 낮은 편인데, 이는 이 랭크가 국가 단위 리그와 유럽 클럽 대항전만을 반영하고 리그컵이나 기타 대회를 반영하지 않기 때문에, 강팀을 상대할 기회가 유럽 클럽 대항전 이외에는 없었고 자국 리그의 많은 약팀들에게서 벌어들인 포인트가 얼마 안 되는 아약스 입장에서는 다소 불리할 수 있을 것 같습니다. 그 외에 함부르크, 글래드바흐, 리버풀, 빌바오 등이 있고...이번 시즌 시메오네의 아틀레티코도 있다는 것이 놀랍죠.