간만에 쓰면서 퍽 즐거웠던 글을 블로그에 올렸습니다. 글이 길고, 상당히 난잡한데, 제 블로그가 하루 방문자 수가 밸리에 뭐 투고할 때나 500명 남짓인 관계로(...) 더 많은 사람들과 이야기를 공유해 보고자 합니다.

키 포인트는, 한 마디로 말하면, 이거에요. 비디오 판독, 얼마나 믿을 수 있는가.

이하 블로그에 올린 전문입니다. 손 좀 보고 어찌어찌하다보니 수업 10분 전이라(...) 피드백이 늦을 가능성이 좀 있네요. 수업 갔다와서 되는 대로 내용상의 문제에 대한 피드백을 받을 테니, 이 점 양해 부탁드리겠습니다.

대충 글 쓰는 데 한 두어 시간 반 정도 걸렸네요. 아이고 어지러워... 크크크



서문

일단, 링크(http://m.sportsseoul.com/section_view.html?idx=72874)의 기사를 먼저 읽고 오시는 걸 추천합니다.

링크의 기사에 따르면, 어제 9회초 고동진의 아웃판정은 오심이 아니었다고 주장합니다. 이 글은 이 오심이 아니었다는 주장이 사실이라는 가정 하에 쓰여지는 글이며, 또한 설령 오심이었다고 하더라도 이러한 상황(방송으로 비디오 판독을 한 것이 정확하지 않은 것처럼 보여질 가능성)이 벌어질 가능성 또한 없는 것은 아니므로, 그에 대한 이야기를 길게 늘어놓아보고자 합니다.

몇 가지를 먼저 밝히고자 합니다.

이 글은 절대 심판을 옹호하자고 쓰는 글이 아닙니다. 비디오 판독이 가질 수 있는 맹점과, 도입했을 때 이러한 문제(비디오 판독 결과 오히려 잘못된 판정이 나올 수 있을 확률)로 생길 수 있는 확률을 어디까지 잡을 수 있을 것인가에 대한, 다분한 수학적 접근입니다. 그리고 그럼에도 불구하고 우리는 왜 비디오 판독을 도입해야 하는가에 대해서도 이야기하려고 합니다.

또한, 아시다시피 저는 넥센 팬입니다. 어제의 3루 쪽 파울/페어 논란은 오심이라고 생각하지만, 기사를 쓴 기자의 손을 들어주고 싶은 마음이 없을 리가 없기 때문에 어느 정도 보는 관점이 치우쳐 있을 가능성이 분명히 있습니다. 가능한 한 그런 건 최대한 배제하고 싶습니다만, 이게 또 제가 원한다고 되는 일이 아니기 때문에, 그에 대한 것을 미리 밝힘으로써 혹여 제가 편견에 사로잡혀서 주장을 하고 있다면 그에 대한 지적을 부탁드리겠습니다.

글이 워낙 길어서, 일부러 장문을 두 번 강조했어요. 차라도 준비하시는 게 좋겠네요.



목차
　1. O. J. 심슨 사건, 0.1%의 미학
　2. 베이즈 정리
　3. 심판이 오심을 저지를 확률
　4. 비디오 판독에 베이즈 정리를 도입해 보면?
　5. 왜 비디오 판독은 도입되어야 하는가
　6. 결론



O. J. 심슨 사건, 0.1%의 미학

아마 확률이라는 요소가 개입된 여러 가지 법정 관련 사건 중 가장 유명한 것을 꼽으라면, 이 O. J. 심슨 사건을 꼽을 수가 있겠습니다. 엘리트 변호사들의 확률 말장난에 배심원들이 홀랑 넘어가서 생긴 대사건이죠. <정재승의 과학 콘서트>를 읽은 지 하도 오래 되어서 영 기억이 잘 나지 않지만 그 기억을 어렴풋이 더듬어 가면서 이 글을 적어 보자면, 당시 변호사들이 주장하는 게 미국에서는 아내에게 폭력을 행사하는 사람의 0.1%만이 사람을 죽인다는 결과가 있다, 그럼 심슨이 그 0.1%였단 말이냐, 이 말이었을 겁니다. 이 이야기가 있었던 걸로 기억을 해요. 아무튼 뭐 호화로운 스타 변호사들이 총출동한 만큼 유리한 이야기는 이것저것 가져다 썼겠죠. 그러니까 무죄가 떴을 거구요.

이 pdf 파일 11페이지에서는 이 사건과 관련해서 수학과에게만 재미있는 이야기를 하고 있습니다. 이걸 진짜로 확률을 구해서 계산을 해 본 거죠. 잡기를, 다음과 같이 잡았습니다.

S : 그러니까, 일종의 전체집합 같은 건데, 1988년 이래로 아내를 두들겨팬 남편의 집합입니다. 천하의 개쌍놈들이라고 할 수 있겠네요.
H : S 중에서 남편이 아내를 죽인 사람들의 집합입니다. 음, 인간 쓰레기라는 호칭을 붙여 볼까요.
M : S 중에서 1988년 이래로 살해당한 아내가 있는 가정의 집합... 말이 좀 어렵네요. 어쨌든 요점은, 아내가 살해당했다는 거죠. 주의할 것은(저도 처음에 이것 때문에 좀 헤맸습니다), 남편이 아닌 다른 사람에게 아내가 죽었을 수도 있습니다.

우리는 이제, 다음과 같은 확률을 구할 수 있습니다.

P(H) = 0.001. 변호인단의 주장이죠.
P(M|H) = 1. 어쨌든 아내가 남편에게 죽은 사건이 벌어졌으면, 아내는 살해당한 것이니까요.
P(M|!H) = 0.0001. 제가 여집합 표현을 도저히 못 찾겠어서, 전산에서 NOT을 의미하는 느낌표를 앞에다가 붙이는 것으로 대체하고자 합니다(...) 죄송 죄송 거듭 죄송. 아무튼 이 확률이 의미하는 바는, 음, 간단하게 말하면 살인 사건이 발생할 확률 정도로 보시면 될 것 같아요. 당시 미국에서 살인 사건이 일어날 최대의 확률이라는군요.

이제 이걸 바탕으로, P(H|M), 즉 아내가 죽었다, 확실히 타살로 죽었는데 그게 남편이 아내를 죽인 거냐, 아님 다른 놈이 죽인 거냐, 그 확률을 구하고자 하는 겁니다.

여기서 바로 뒤에서 나올 베이즈 정리를 써먹는 겁니다.

P(H|M)
= {P(M|H) * P(H)} / [{P(M|H) * P(H)} + {P(M|!H) * P(!H)}]

식을 좀 띄웠으면 좋겠는데 이놈의 귀차니즘이... 거듭 거듭 거듭 죄송. 음, 이런 점에서는 확실히 한글이 편해요. 아무튼 이제 실제 값을 좀 넣어볼까요? 기왕이면 종이에 써 가면서 하시는 걸 추천해요.

P(H|M) = (1 * 0.001) / {(1 * 0.001) + (0.0001 * 0.999)} = 0.91

즉, 살인율이 저렇고, 아내가 죽었을 때 그 아내가 남편에게 죽었을 확률은 무려 91%가 된다는 겁니다! 이게 이렇게 확률이 뻥튀기가 될 수 있는 거에요. 아내가 남편에게 맞아 죽을 확률은 0.1이지만, 그런데 그것이 실제로 일어났을 경우, 즉 실제로 아내가 죽었을 경우 그 범인이 남편일 가능성이 가장 높다는 이야기가 됩니다. 남편이 아닌 다른 사람에게 죽었을 확률보다 열 배 이상 높다는 거죠. 고로 심슨은 유죄일 가능성이 매우 높습니다. 이것만 해도 충격적인데, 여기에 다른 정황증거가 결합된다면? 그러니까 민사소송에서는 패소했죠.



베이즈 정리

인트로가 지나치게 길어지고 있으므로 이쯤에서 잘라 볼까요. 앞에서 우리는 아주 유용한 베이즈 정리를 어떻게 써먹는가를 실제로 보았습니다. 그럼 그 베이즈 정리라는 것이 뭔지에 대해서 이야기를 해 볼 필요가 있어요.

Bayes' Theorem. 1700년대에 살아계셨던 몹쓸 토마스 베이즈 선생이 고안한 정리인데요, 아마 학창 시절에, 특히 고등학교 때 확률 공부하면서 한 번씩은 들어보셨을 겁니다. 뭐, 수능 끝나고 다 잊어버리셨겠지만(...) 아무튼 이 학자에, 목사에, 철학자 노릇까지 하던 이 양반이 고안한 베이즈 정리라는 건 이거에요. 아, 참고로, 베이즈 선생은 1761년에 돌아가셨는데, 이걸 리처드 프라이스라는 몹쓸 친구가 1763년에 정리하면서 발표한 것이라는군요.

"우리는 사건 A가 일어날 확률과 사건 B가 일어날 확률을 알고 있습니다. 사건 A가 일어난 조건에서 사건 B가 일어났다고 쳐 보죠. 우리는 이걸 조건부 확률로 손쉽게들 구할 수 있죠어딜 봐서 손쉽게???. 자 그러면, 실제로 사건 B가 일어났습니다. 그 사건이 A라는 조건을 배경으로 하고 있을 확률은 얼마나 되겠습니까?" ...라는 게 이 베이즈 정리인 겁니다.

...어렵죠? 좀더 쉽게 실제 예를 들어 가면서 설명해 볼까요. 귀찮으니 위의 예를 들어서 설명해 볼게요.

우리는 남편이 아내를 때려죽일 확률과, 살인이 일어날 확률을 알고 있어요. 남편이 아내를 때려죽였는데 그게 살인일 확률은 사실 조건부 확률을 쓸 것도 없지만 어쨌든 쉽게 구할 수 있죠. 자 그럼, 아내가 죽었습니다. 이거 정황증거를 보니 살인 맞아요. 그 사건이 남편에 의해서 일어날 확률은 얼마나 되겠습니까? - 라고 묻는 것이 바로 베이즈 정리입니다.

어떤 상황에서 또 응용될 수 있는지, 한 가지 예를 더 들어볼게요. 이 예는 라이트 노벨로 배우는 수학... 제목이 <날 보고 첫 눈에 반했을 확률>(...) 책의 139페이지에서 인용을 했어요(의외로, 수학적인 내용은 잘 정리된 편입니다.).

어느 병을 검사하고자 하는데, 검사 정확도가 98%인 검사가 있어요. 즉, 병에 걸렸다고 판정을 했을 때 이게 진짜로 병에 걸렸을 확률이 98%라는 거에요. (이 미묘한 말, 주목하시기 바랍니다.)

이 병에 걸릴 확률은 0.5%라고 합니다. 그러니까, 1000명 중 고작 5명의 운도 지지리도 없는 기구한 팔자의 사람들이 이 병에 걸린다는 겁니다.

자, 내가 왠지 몸이 좀 아파요. 기침이 나오고 콜록콜록하고 머리도 좀 띵한 게 아 아무래도 올 게 왔구나 싶어요. 내가 바로 그 지리 운도 없는 5명에 들어간 건가! 싶어서 검진을 받아보니까 아니나다를까 양성 반응이 떴어요. 자 근데, 검사 결과가 양성이긴 한데 솔직히 확신이 없네요. 내가 진짜로 이 병에 걸린 건지 아님 다른 병이 걸렸는데 이 병에 걸린 것처럼 오인 판정이 나왔는지 그걸 모르겠네요. 죽을 때 죽더라도 정신승리는 하고 죽자는 마인드로 진짜로 내가 병에 걸렸을 확률을 구해 보고자 해요. 이럴 때 베이즈 정리를 쓰는 겁니다.

일단 적용하기 전에, 음, 결과값이 얼마나 나올까? 이걸 한 번 예상해 보시고 들어가세요. 단, 이 때는 좀 조심해서 적용을 할 필요가 있어요. 헷갈리기 딱 좋거든요.

P(A) = 감염되었을 확률. 0.005죠.
P(B) = 검사 결과가 양성일 확률. 이렇게 두어야 검사 결과가 양성일 때 내가 감염되었을 확률을 구할 수 있어요. 이거 진짜 조심해야 합니다. 무심코 이걸 0.98로 놓으면 진짜 큰일나요. 수능에서 한 문제가 날아갑니...
P(B|A) = 내가 감염되었고 검사 결과가 양성일 확률. 이게 0.98이겠죠.
P(B|!A) = 내가 감염되지 않았는데도 검사 결과가 양성일 확률. 이건 0.02죠.

우리가 구하고 싶은 건 P(A|B)입니다. 검사 결과가 양성인데 실제로 감염이 되었을 확률인 거죠.

베이즈 정리를 적용해 보면...

P(A|B) = {P(A) * P(B|A)} / [{P(A) * P(B|A)} + {P(!A) * P(B|!A)}] = (0.005 * 0.98) / {(0.005 * 0.98) + (0.995 * 0.02)} = 0.197

다시 말해, 어이없게도, 검사 결과가 양성으로 뜬 사람 중 실제 병에 걸린 사람의 비율은 고작 20%도 안 된다는 충격적인 결론이 나옵니다(...)

말의 미묘함에 주의하세요. 확률은 기본적으로 수학 싸움에 국어 싸움이 곁들여져 있습니다. 무엇을 보고 확률을 잡는지 그것을 명확하게 할 필요가 있어요. 제가 굳이 일일이 하나하나 길게 이야기하는 것은 바로 이런 때문입니다.

여담인데, 이거 사실 대학교에서도 확률론 시간에 또 배웁니다. 제가 화학/수학 이중전공하고 나왔지만 솔직히 수학과 학점은 영 아니올시다였고 확률론도 마찬가지였는데, 메인 토픽감으로 좋은 글거리를 던져주니 이렇게라도 써먹는구나 싶네요(...)



심판이 오심을 저지를 확률

자 이제, 이론적 배경은 다 끝났으니, 적용하는 일만 남았네요. 야구만 보는 분들에게는 지금까지 참으로 지루한 이야기가 아니고 또 아닐 수 없겠군요(...) 일단 죄송.

뜨거운 감자, 오심, 뭐 이게 하루이틀 일입니까? 2014 시즌의 야구는 정말 오심으로 불타오르고 있죠. 하루에 한 건은 기본이고, 아예 경기마다 하나씩 나온다고 해도 이상하지 않을 수준입니다. 원래 이 글은... 사실, 어제 오심 논란만 아니었으면 심판의 오심율을 한 번 구해봅시다 하고 달려드는 글이 될 것이었습니다. 맨 위의 기사가 사실이라는 전제 하에, 문승원 주심이 옳았다고 가정했을 때, 오히려 비디오 판독이 실수를 할 가능성이 얼마나 되느냐를 따지기 위해 지금까지 장황하게 O. J. 심슨 사건이니 베이즈 정리니 하며 주저리주저리 길~게 늘어놓은 겁니다.

보시다시피, 베이즈 정리 자체는 가치판단을 하지 않지만, 그 결과 자체는 굉~장히 양면적이에요. 실제로 O. J. 심슨 사건에서 적용된 베이즈 정리는 이 자식은 천하의 개쌍놈이다! 그 증거가 여기 있어! 하는 식으로 일이 진행되지만, 뒤에서 소개한 감염률 논란의 경우는 이거이거 검사가 이게 말이나 되냐? 이거 완전 헛다리 아냐? 하는 식으로 이야기가 진행되죠.

그래서, 가장 중요한 것은 확률을 어떻게 잡느냐입니다. 저는 이 글에서 제가 지금까지 보아 왔던 야구의 체감 확률을 가지고 확률을 세워 보고(솔직히 오심을 일일이 세고 있을 시간도 없네요. 글 쓸 시간은 있고?), 직접 비디오판독이 옳을/틀릴 확률을 한 번 계산해보고자 합니다. 이게 이 글의 메인 포인트가 되겠네요.

식은 그대로 따라가면 될 거고, 여러분들은 각자 여러분들이 체감하는 확률에 따라서 비디오판독이 과연 심판의 오심률에 비해서 얼마나 믿을 만한가를 직접 계산해 보시기 바랍니다.

자, 이제 확률을 세워야겠죠... 솔직히 쓰면서 겁나네요. 틀릴까봐. 그래서 저는, 제가 생각하는 확률을 직접 최대한 rational하게... 그러니까 이유를 대 가면서 적겠지만, 그래도 이건 어디까지나 개인적인 시선이 들어가는 것이기 때문에, 그러한 확률에 대해서는 파란색 굵은 글씨로 표시하겠습니다. 그 숫자를 여러분들이 아 이건 좀 아닌데 싶으시면 그때그때 바꿔서 계산하시면 돼요. 여담인데 돼요/되요 맨날 헷갈리네요. 해요/하요니까 돼요가 맞는데 왜 되요라고 쓰고 싶은 거지?

일단, 먼저 심판이 오심을 저지를 확률을 이야기해 봅시다. 스트라이크 같은 판정이 아니라, 타자의 타구가 인 플레이가 되었는데 그것이 페어냐 파울이냐 하는 걸로 한 번 따져볼게요. 그러자면, 타자가 일단 타석에 들어서고, 삼진을 안 당해야 하잖아요? 볼넷도 걸어나가는 거니까 여기에는 판정에 이의가... 아 물론 있을 수는 있죠. 하지만 저는 일단, 타자의 타구가 인 플레이로 된 상태에서 오심이 벌어지는 경우를 보고 싶기 때문에, 삼진과 볼넷을 제외하고, 희생번트나 희생플라이 같은 건 다 집어넣은 후에 계산을 해 보고자 합니다.

Daum의 프로야구 기록실을 볼게요. 이 모든 데이터는 이 자료를 참고로 해서 계산했음을 먼저 밝혀야겠네요. 엄연한 저작권 문제니까.

이 글을 쓰고 있는 5월 22일 현재, 타석에 가장 많이 선 선수 60명으로 뽑아 봤어요. 엥, 언제 강민호가 삼진 1위가 되고 툭하면 귀병 귀삼나오는 이 게레... 아니, 강정호가 4위까지 밀려났지?

아무튼 이 정도를 가지고 표본을 구해도, 타석수의 합이 무려 9430이에요. 세이버메트리션 사이에서는 보통 3천 타석 정도는 써야 의미있는 결과가 나온다고 하니까, 이 정도 표본 수라면 선수별 편차를 감안해도 적은 건 아니겠죠?

이제 타석수에서 삼진과 사사구를 빼면, 홈런이건 뭐건 타격으로 인 플레이가 나온 타석의 수가 나오겠죠. 그렇게 해서 빼서 더했더니 무려 6947이 나오네요. 그러니까, 타자가 타석에서 볼넷이나 삼진을 당하지 않고 타격을 해서 그게 땅볼이건 플라이건 병살이건 안타건 요시 그란도 시즌이건 인 플레이로 연결될 확률은 6947/9430 = 어바웃 0.73669141... 정도가 되겠네요. 계산의 편의를 위해서 0.75라고 할게요. (너무 그렇게 초반부터 벌써부터 반올림 장난질이냐고 하지는 말아 주세요. 어차피 뒤로 가면 갈수록 의미없을지도 모르는 데이터가 나올 테니까.) 아, 처음에는 삼진 상위 40명으로 구했는데, 그 때는 대략 0.69 정도가 나왔어요. 그러니까 못 치는 타자들이 많이 나올수록 볼넷이 적어지고 타격으로 이어질 가능성이 높으니까, 확률을 올리는 방향으로 가는 게 틀린 건 아니겠죠. 뭐 물론 틀릴 수도 있지만...

자 이제, 전 경기 타석수를 구해야 하는데... 아이고 머리야. 이걸 어떻게 다 구하죠? 이걸 구하기 위해서, 한 가지 꾀를 내 보네요. 아웃을 당하지 않으려면, 볼넷으로 나가던지, 안타를 치던지가 되겠죠? 그러니까 (볼넷 + 안타) / (전체 타석 수)가 가장 적합하겠네요. 출루율하고 똑같지 않냐고요? 출루율에는 희번이 들어가지 않잖아요.

그러니까 그냥 출루율 평균 내는 것도 좋지만 보다 정확한 계산을 위해서 (볼넷 + 안타) / (전체 타석 수)로 계산하면, 이게 곧 타자가 살아나갈 확률이 되겠죠. 모집단 전체를 일일이 다 구할 수는 없는 노릇이니까(뭐, 스탯 구하는 사이트라면 그렇게 해야겠지만요) 그래서 일부만 뽑은 거죠. 아무튼 그래서 한 번 계산해 보니까, 0.377이 되네요. 자, 여기서 뭐가 빠졌는지 아시겠어요? 바로 실책성 출루가 빠졌죠! 한 경기 몇 개씩 벌어지는 실책, 이걸 생각해 보면 0.377에다가 좀더 가중치를 둬야 할 것만 같은 느낌이에요. 음, 근데 실책성 출루는 경기당 한두 개 정도니까, 막 그렇게 확률을 팍팍 올릴 것 같지는 않고, 적당히 저 할푼리의 리를 반올림하는 정도로 보정해 주면 될 것 같아요. 그러니까 한 경기에서 타자가 실책이든 안타든 볼넷이든 어쨌든 살아서 1루를 밟을 확률은 0.38이 되겠네요.

이걸 왜 계산했는지 좀 의아해하실 것 같아서, 설명을 해 볼게요. 물론 기록지 일일이 확인해 가면서 전 경기에 타석이 몇 개나 나왔나를 보면 그게 베스트겠죠. 하지만 저는 안타깝게도 대학원생이고, 당장 계산 결과를 바쳐야 하는 입장이라(...) 그리 오래 글을 쓸 처지는 못 되네요. 다시 이야기하는데 글 쓸 시간은 있고? 아무튼 그래서 대략적으로 한 경기에 얼마나 많은 타자들이 평균적으로 살아나가는가를 본 다음, 그걸 이용해서 평균적으로 한 경기에 얼마나 많은 타석이 나오는가를 구해 보고자 하는 거에요. 그 다음에 그걸 경기수로 곱하면 이제 전 경기 타석수가 되겠죠?

앞서도 구했듯이 대충 한 40%의 확률로 타자가 살아나가네요. 야구라는 게 9회말이 있을 때도 있고, 없을 때도 있고 이렇긴 한데, 연장 가는 경기도 심심찮게 나오니까, 계산하기 편하게 양쪽 모두 26아웃씩 - 원래대로라면 25.5아웃씩을 배정해야겠지만 아무래도 연장이 있는 만큼 아웃카운트를 좀더 올려 주는 쪽으로 보정해 주는 게 맞겠죠? - 배정할게요. 26아웃을 모두 삼진 범타 플라이 이런 걸로 처리해 버리면 되겠지만, 안타깝게도 투수는 언젠가는 얻어맞아요. 아까 타자가 평균적으로 살아서 1루를 밟을 확률이 0.38이라고 했죠? 그러면 전체 타석 수는 몇 개나 될까요? 26아웃 곱하기 (1 + 0.38)이 되겠죠? (아웃은 높은 확률로 타자가 살아나가지 못하니까요. 일단 여기까지는 편의상 주루사는 제외했어요. 흔히 일어나는 일까지는 아니니까.)

그러면 실제로 타석 수는 35.88, 약 36타석인데, 아까 저는 실책 출루에는 보정을 해 줬고, 견제사나 주루사, 그리고 병살타는 보정을 하지 않았잖아요? 그러니까 이번에는 거기에 보정을 해서, 이번에는 타석 수를 좀 깎아보고자 해요. 그래도 주루사가 실책보다는 일어날 확률이 높아 보이니까(병살이야 뭐 두말할 것도 없죠), 아예 소수점 이하를 버리는 것으로 하는 게 좋을 것 같네요. 연장 갈 확률이 그리 높지 않다는 점도 전혀 고려를 하지 않았으니까... 그렇게 해서, 한 경기당 평균적으로 35번 타석에 설 수 있다, 이렇게 결론을 내릴게요.

그러면, 이제 우리는 전 경기 타석이 대략 몇 개 정도 될 것인가를 예측해볼 수 있어요. 경기 수를 세는 건 쉬워요. 일단 모든 팀의 경기 수를 더하고, 한 경기당 두 팀이 등장하니까세 팀이 야구하진 않잖아요? 오오 삼색싸움? 그걸 반으로 나누면 되네요. 5월 22일 PM 2시 현재, 총 178경기를 했어요.

이제 우리는 길고 길었던 과정을 통해서 타자가 얼마나 많이 타격을 해서 인 플레이로 얼마나 많이 연결되었는가에 대한 결과를 얻을 수 있어요. 178경기 곱하기 35타석 곱하기 인 플레이로 갈 확률 0.75를 해 주면 대략 4672.5번의 타격이 일어난 셈이네요. 음, 이건 좀 계산하기 복잡하고, 편의상 4500번으로 할게요. 신인의 경우는 아무래도 땅볼보다는 삼진을 많이 당할 것 같고, 덜 기용된 선수가 더 기용된 선수들보다 선구안이 좋을 경우는 좀처럼 드물 테니까. 너무 많이 줄였나요? 하지만 경기수는 178경기로 꽤 많으니까, 한 경기당 인 플레이 한 번 정도를 뺀 정도인걸요.

자 이제, 심판이 오심을 얼마나 했는지를 계산해 봐야겠죠? 근데, 솔직히 거의 매일 오심이 났다고는 하는데, 기사를 제가 일일이 뒤져 가면서 아 이거 오심 아 이건 오심 아님 이럴 수는 없어요. 맨 위의 링크도 오심이 아닌 것으로 결론을 내리는데 이걸 제가 일일이 다 확인할 수는 없잖아요? 그래서 또 잔꾀를 부려 보네요.

매일마다 오심 시비가 벌어진 건 확실해요. 지금까지 야구를 며칠 동안이나 했는지 정도는 셀 수 있겠네요. 마침 46일이네요. 근데 개막전 때 한화와 롯데가 하루 밀린 거 포함해서 46일이니까, 운 좋게 딱 계산하기 편하게 45일이네요. 하루에 오심이 뭐 한두 개도 아니고 굉장히 여러 개 났었죠? 그래도 시즌 초에는 5월 들어 하루에 몇 개씩 발생하는 정도까지 막장은 아니었으니까, 그걸 감안해서 하루에 1.5개 정도의 오심이 전 구장에서 벌어졌다, 이렇게 가정을 할게요. 솔직히 제가 생각해도 지나치게 적어 보여요. 그래도 초반에는 하루에 한 건 혹은 그 이하 정도로 오심이 벌어졌으니 거기에 대한 가중치를 둔 거라고 이해해 주세요. 뭣하시면 레이즈 치셔도 좋고...

4500번의 인 플레이 중에서, 심판이 오심일 일으킬 확률은 45 * 1.5 / 4500 = 1.5% 정도가 되겠네요. 너무 낮아 보인다구요? 하지만 심판이 제대로 판정하고 있는 게 훨~씬 많을 수밖에 없는 건 당연하잖아요.



비디오 판독에 베이즈 정리를 도입해 보면?

자, 여기까지 읽느라 수고 많으셨는데, 앞으로 1/4 정도는 더 가야 하니까어쩌면 더 갈 수도 있구요 몸이라도 좀 풀고 오시는 게 어떨까요?

어쨌든, 이제 비디오 판독을 했는데 그게 옳을 확률과 틀렸을 확률을 계산해야겠죠? 일단 그렇게 하자면, 심판이 오심을 일으키는 사건의 수로부터 좀 따져볼 필요가 있어요.

이번 시즌에서 심판은 제가 생각했을 때 총 67.5개의 오심이 벌어졌다, 이렇게 볼 수 있어요. 표현이 좀 이상하죠? 0.5개의 오심이라니? 하지만 이건 어디까지나 계산 과정에서 나오는 것이고, 당연히 오차는 있을 수밖에 없으니까 이건 이해해 주세요.

근데 비디오 판독이라는 게, 거의 정확하다가 어쩌다 오늘 같은 날에 하나 틀리는 거잖아요. 무슨 소리를 하고 싶은 거냐면, 작년에 비디오 판독이 틀리고 심판이 맞았다, 이 말은 없었단 말이에요. 즉 작년에는 비디오 판독이 문자 그대로 100% 팬들에게 올바른 방향으로 인도하는 역할을 했다는 거죠.

음, 100%라고 하니까, 막상 쓰고 보니까 조금 그렇네요? 비디오로 봐도 애매~한 결과는 충분히 있을 수가 있어요. 그거에 대한 보정을 좀 하고자 해요.

자... 그럼 작년에 일단 오심이 몇 개나 벌어졌을까, 그것부터 구해야겠죠? 오심논란에 비디오 판독이 빠지는 경우는 아예 없으니까요. 그리고 작년은 솔직히 작년도 막장이었지만 올해만큼 심한 건 아니었으니까, 하루 1개 정도로 가정할게요. 음, 128경기를 128일에 하지는 않았지만, 우천취소나 강우콜드 같은 것도 있었으니까, 그냥 계산하기 편하게 128개의 오심이 작년에 벌어졌다고 생각할게요.

이 중에서, 한 개 정도는 비디오 판독으로 따져보니까 워낙 애매해서 심판 재량에 맡길 수도 있는 걸 오심으로 판정했다, 이렇게 볼 수 있을 것 같아요.

작년에 하나, 그리고 올해에 하나. 총 두 개의 잘못된 비디오 판독이 벌어졌다고 가정해 볼게요. 전체 오심은 195.5개니까, 계산하기 편하게 그냥 200개로 할게요. 그러면 비디오 판독이 잘못될 확률은 1% 정도가 되겠네요. 너무 큰가요? 하지만 표본이 워낙 작은걸요.

어쨌든 비디오 판독이 맞을 확률 99%, 비디오 판독이 틀릴 확률을 1%라고 놓고 베이즈 정리를 도입해 볼게요. 쓰면서 정말 불안하네요. 틀렸을까봐. 혹시 제가 틀렸으면 지체없이 댓글로 남겨주세요.

P(A) : 오심이 일어날 확률. 1.5%.
P(!A) : 오심이 일어나지 않을 확률. 98.5%.
P(B) : 비디오 판독을 통해 오심으로 판정할 확률.
P(A|B) : 오심으로 판정했을 때 실제로 오심이 일어났을 확률.
P(B|A) : 오심이었고 비디오 판독을 했을 때 오심이었을 확률. 99%.
P(B|!A) : 오심이 아니었는데 비디오 판독을 하니까 오심일 확률. 1%.

검사 결과가 오심이었는데 실제로 오심일 확률
= (0.015 * 0.99) / {(0.015 * 0.99) + (0.985 * 0.01)} = 약 60%!

놀라셨나요? 저도 계산 결과 보고 깜짝 놀랐네요. 비디오 판독 들어갔는데 실제로 비디오 판독이 헛다리 짚을 가능성이 무려 40%라니요! 물론, 비디오 판독의 정확성을 너무 낮게 잡아서 그랬을 수 있어요. 그래서, 이번에는 다른 거 제쳐두고, 체감상 비디오 판독 확률의 정확도를 보고 한 번 이야기를 해 볼게요.

P(A) : 오심이 일어날 확률. 1.5%.
P(!A) : 오심이 일어나지 않을 확률. 98.5%.
P(B) : 비디오 판독을 통해 오심으로 판정할 확률.
P(A|B) : 오심으로 판정했을 때 실제로 오심이 일어났을 확률.
P(B|A) : 오심이었고 비디오 판독을 했을 때 오심이었을 확률. 99.7%.
P(B|!A) : 오심이 아니었는데 비디오 판독을 하니까 오심일 확률. 0.3%.

저 수치는 DNA 검사의 1995년 당시 정확도에서 따 온 거에요.

아무튼, 이런 식으로 되었을 때 검사 결과가 오심이었는데 실제로 오심일 확률
= (0.015 * 0.997) / {(0.015 * 0.997) + (0.985 * 0.003)} = 약 83.5%.

이제 좀 납득이 가는 수치가 나오나요? 근데, 사실 여전히 낮은 수치에요. 왜냐면, 저건 뒤집어 말하면 비디오 판독의 정확도가 99.7%라고 해도 여섯 번 중 한 번은 실수한다는 이야기가 되거든요. 심지어 비디오 판독의 정확도를 99.9%로 올려도, 열다섯 번 중 한 번은 실수한다는 결론이 나와요.



왜 비디오 판독은 도입되어야 하는가

그럼에도 불구하고, 저는 비디오 판독 도입에 찬성하는 입장입니다.

가장 큰 이유는, 유효한, 믿을 만한 분석이기 때문이에요. 왜 기껏 60%라고 구해 놓고 믿을 만하다고 이야기를 하냐구요? 체감상 느낌이라는 게 있고, 또 야구팬이 가장 납득하기 쉬운 게 비디오 판독이잖아요? 이걸 놓칠 수는 없다고 생각했어요.

근래에 들어서 야구 안 본다는 사람이 점점 늘어나가고 있어요. 오심도 오심이지만, 심판의 저 엿 같은 권위주의 때문이 더 크죠. 다들 오심은 일어날 수 있다고 이야기를 하고 또 이해하잖아요. 그러면, 그렇게 이해를 해 주면, 오심이 벌어지면 아 내가 잘못했다, 팬 분들 선수분들 죄송합니다 하면서 사과하고, 징계도 좀 강하게 주고(솔직히 50만원 벌금에 엄중 경고면 누가 그걸 강한 징계라고 생각하겠어요?), 심판들이 오심을 벌이지 않도록, 다시 말해 오심률을 낮추기 위해서 우리는 이렇게 노력한다는 모습을 보여야지, 맨 기사들은 하나같이 심판들도 한 가정의 아버지다, 이런 감성팔이만 하고 있잖아요?

거기에 대한 반감 때문에라도, 그간 심판이 쓸데없이 권위주의를 내세웠던 것 때문에라도, KBO에 대한 전체적인 징계적 차원에서 저는 비디오 판독이 도입되어야 하며, 일차적으로 심판이 판정하겠지만 비디오 판독 역시 믿을 만한 자료니까 충분히 참고계(械, 기계 계에요. 비디오 판독기가 사람은 아니니까.) 같은 걸 도입해 가면서 심판의 권위도 세우고 KBO의 흥행 저해요소도 줄이고 팬들도 납득하면서 경기를 보고. 얼마나 좋아요?

돈 문제가 걸려 있는 건 알고 있어요. 하지만 저는, 장기적으로 보았을 때, 비디오 판독기를 설치하고 감독하는 데 들어가는 돈이, KBO가 계속해서 무리성 운영을 하면서 팬들 다 떨어져나가게 하는 그 손실보다는 훨씬 적게 먹힐 거라고 생각해요. 100억 원이 들어간다고요? 한 경기에 입장료 만 원이라 치고 1만 관중이 들어가도 1억 원이고, 한 해 경기가 128 곱하기 4.5 해서 576경기니까 적어도 흥행수익으로 576억 원을 벌 수 있으니 이 중에서 세금 관리료 임대료 빼도 길게 잡아서 한 2~3년 모으면 충분히 비디오 판독기를 설치할 수 있고, 일단 설치하면 관리비는 설치비보다는 줄어들 테니까 충분할 거라고 생각하는 건 저뿐인가요?

오히려, 장기적으로 누적 총 50만 관중이 판정시비 때문에 야구판을 떠난다 치면, 당장 2~3년만 해도 손해액이 100억이 넘어가는데, 이걸 그대로 보고 있는 게 더 넌센스 아닐까요? 어차피 야구 볼 사람은 본다구요? 그럼 1년 누적 관중의 꾸준한 하락세는 어떻게 설명해야 할까요?

비디오 판독 분석이 사실 그렇게까지 믿을 만하지 못하다는 결론이 나왔는데도 비디오 판독을 도입해야 한다는 주장은 그래서 나오는 거에요.



결론

비디오 판독에는 분명 허점이 있어요. 생각보다 그 허점은 커요. 무작정 비디오 판독이 옳다 이렇게 이야기하기도 어려워요. 하지만 적어도 심판의 눈보다는 분명히 정확하고, 또 못 본 장면을 리와인드한다는 점에서 비디오 판독은 아주 좋은 판독기이며, 다른 거 제쳐두고 떠나는 팬을 잡기 위해서라도 큰 돈 들여 가면서 비디오 판독기를 설치할 가치는 분명히 있다고 생각해요. 단, 비디오 판독을 어디까지나 참고용으로 쓸 것이지, 비디오 판독이 길이요 진리요 생명이요 뭐 이런 식으로 비디오 판독만 찬양하는 것은 지양해야 할 것 같아요.

글이 많이 난잡했네요. 한 방에 들어 있는 걸 다 풀어 써 보려고 발악을 하다 보니 이렇게 되었네요. 여기까지 시간 들여서 공들여 읽어 주신 분들께 감사드리고, 피드백은, 혹시 댓글 달아주시는 분이 계시다면, 시간을 어떻게든 내 보겠지만 조금 시간이 걸릴 수는 있다, 그렇게 말씀드리고 싶네요. 전 대학원생이고, 당장 30분 후면 수업이라서요.